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Angles orientés de vecteurs

Trigonométrie

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2017/2018Table des matières

1 Mesures d"angles orientés de vecteurs

3

1.1 Cercle trigonométrique - mesures d"arcs orientés

3

1.2 Angles orientés de vecteurs unitaires

4

1.3 Angles orientés de vecteurs - Cas général

5

2 Trigonométrie6

2.1 Cosinus et sinus

6

2.2 Quelques relations

7

2.3 Angles associés

7

3 Propriétés des angles orientés

10

3.1 Angles orientés et colinéarité

10

3.2 Relation deChasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 ?

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1

TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX

Table des figures

1 Le cercle trigonométrique

3

2 Exemples de mesures d"arcs orientés

3

3 Angles orientés de vecteurs unitaires

4

4 Angle orienté de vecteurs - cas général

5

5 Cosinus et sinus

6

6 Angles remarquables

7

7 Cosinus et sinus de-x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

8 Cosinus et sinus deπ-x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

9 Cosinus et sinus deπ+x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

10 Cosinus et sinus de

π2 -x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

11 Cosinus et sinus de

π2 +x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

12 Quelques cas particuliers

11

Liste des tableaux

1 Conversion degrés-radians

4

2 Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangente

7 2

1 MESURES D"ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS

Activité 1 (fp) :Arcs orientés sur un cercle

1 Mesures d"angles orientés de vecteurs

1.1 Cercle trigonométrique - mesures d"arcs orientésDéfinition :On appellecercle trigonométrique u ncercle de cen treO, de rayon1, orienté dans lesens

direct (v oirfigure 1 ).Figure1 - Le cercle trigonométrique

L"arc orienté

÷ABa une infinité de mesures :π2

,-3π2 ,5π2 ... Elles sont toutes définies au nombre de " tours » près. Toute mesure de l"arc orienté

÷ABest donc de la formeπ2

+ 2kπ, oùk?Z. Plus généralement :Propriété :SoitAetMdeux points du cercle trigonométrique.

Silest une mesure de l"arc orientéøAM, alors toutes les mesures de cet arc sont de la formel+ 2kπ,

oùk?Z.

On note alors :

øAM=l+ 2kπ(k?Z)ouøAM=l[2π].

La deuxième notation se lit : "lmodulo2π».Exemples :A l"aide des propriétés géométriques de la figure2 , on a :Figure2 - Exemples de mesures d"arcs orientés

AE=π3

[2π];÷AF=π4 [2π];÷AG=-π6 [2π];÷AH=5π6 [2π];øAK=-π3 [2π] Exercices :30, 33 page 205 et 37 page 2061[TransMath]1. Utilisation du cercle trigonométrique. 3

1.2 Angles orientés de vecteurs unitaires 1 MESURES D"ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS

1.2 Angles orientés de vecteurs unitaires

Définition :Soit-→uet-→vdeux vecteurs unitaires (?-→u?=?-→v?= 1).

Il existe deux pointsMetNdu cercle trigonométrique tels que--→OM=-→uet--→ON=-→v(voir figure3 ).

On appelle mesure de l"angle orienté de vecteurs(-→u ,-→v)toute mesure de l"arc orientéøMN. On utilisera

donc les mêmes notations.

L"unité de mesure est le

radian (noté rad) .Figure3 - Angles orientés de vecteurs unitaires

Remarque :πrad correspond à 180°. Un tableau de proportionnalité permet donc de passer facilement

des degrés aux radians (et réciproquement), voir tableau 1 .Mesure de l"angle en radians0π 6π 4π 3π 2π

Mesure de l"angle en degré030456090180

Table1 - Conversion degrés-radians

On passe de la première à la deuxième ligne en multipliant par

180π

Exemples :On se reportera à la figure2 .

1.

€-→OA,--→OEŠ=π3

[2π](exemples de mesure :π3 ;π3 + 2π=7π3 ;π3 -2π=-5π3 ,π3 + 4π=13π3 2.

€-→OA,--→OGŠ=-π6

[2π](exemples de mesure :-π6 ;-π6 + 2π=11π6 3. €--→OF ,-→OLŠ=π[2π](exemples de mesure :π;3π;-π;5π) 4.

€--→OE ,--→OKŠ=-2π3

[2π]Définition :Une seule mesure de l"angle orienté(-→u ,-→v)appartient à l"intervalle]-π;π]. Cette mesure

est appelée mesure principale de l"angle (-→u ,-→v).4

1 MESURES D"ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS 1.3 Angles orientés de vecteurs - Cas général

$%Exercice :Trouver la mesure principale de l"angle17π3

On sait que la mesure principale est de la forme

17π3

+ 2kπ(aveck?Z) et qu"elle doit être dans l"intervalle]-π;π]. On a donc : -π <17π3 -1<173 -1-173 203
103

De plus, on sait quek?Z. Or, le seul entier relatif vérifiant l"encadrement précédent estk=-93

=-3.

La mesure principale de l"angle est donc :

17π3

+ 2×(-3)×π=17π3 -6π=17π-18π3 =-π3 Exercices :31 page 205 et 36 page 2062- 34 page 2053- 35 page 2054[TransMath]

1.3 Angles orientés de vecteurs - Cas généralDéfinition :Soit-→uet-→vdeux vecteurs non nuls. On noteCle cercle trigonométrique de centreO. On

se référera à la figure 4

On pose

les demi-droites[OM)et[ON)coupent respectivement le cercle trigonométriqueCenAetB.

Les vecteurs-→OAet--→OBsontunitaires et resp ectivementde même direction et de même sens que -→uet-→v.

On appelle alors

mesure d el"angle orien té(-→u ,-→v), toute mesure de l"angle orienté€-→OA,--→OBŠ.Figure4 - Angle orienté de vecteurs - cas général

Exercices :29, 32 page 205 et 38, 40, 42 page 2065- 43 page 2066[TransMath]2. Angles orientés de vecteurs unitaires.

3. Mesure principale.

4. Algorithmique.

5. Angles orientés de vecteurs.

6. Ensemble de points.

5

2 TRIGONOMÉTRIE

2 Trigonométrie

2.1 Cosinus et sinusDéfinition 1 :On dit qu"un repère(O;-→ı;-→?)du plan orienté estorthonormal direct si :

-→ı?=?-→??= 1et(-→ı;-→?) = +π2

[2π]Définition 2 :SoitCle cercle trigonométrique de centreOetA,Bdeux points du cercleCtels que le

repère€O;-→OA;--→OBŠsoitorthonormal direct (v oirfigure 5 ).

Soitxun réel.

Il existe un unique pointMdu cercle trigonométriqueCtel que€-→OA;--→OMŠ=x[2π].

On appelle

cos inuset si nus

de x(notéscosxetsinx) les coordonnées du pointMdans le repère€O;-→OA;--→OBŠ.

cosx:abscisse du p ointM sinx:ordonnée du p ointM.Figure5 - Cosinus et sinus

Remarques :1.Si k?Z,x+ 2kπest une autre mesure de l"angle orienté€-→OA;--→OMŠ. On a donc :

cos(x+ 2kπ)= cos x sin(x+ 2kπ)= sin x

2.A(1; 0)donc :cos(0) = 1etsin(0) = 0.

B(0; 1)donc :cosπ2

= 0etsinπ2 = 1. A ?(-1; 0)donc :cos(π) =-1etsin(π) = 0. B ?(0;-1)donc :cos-π2 = 0etsin-π2 =-1. 3. Le triangle OHMest rectangle enHdonc, d"après le théorème dePythagore: OH

2+HM2=OM2

Or,OM= 1,OH2= (cosx)2etHM2= (sinx)2. On a donc :

(cosx)2+ (sinx)2= 1 Dans toute la suite, on notera :cos2x= (cosx)2etsin2x= (sinx)2. La relation précédente devient alors : cos

2x+ sin2x= 1

6

2 TRIGONOMÉTRIE 2.2 Quelques relations

2.2 Quelques relations

On a déjà les relations suivantes :Propriété :Pour toutx?Ret toutk?Z: cos(x+ 2kπ)= cos x sin(x+ 2kπ)= sin x cos

2x+ sin2x=1

Les cosinus, sinus et tangente des angles remarquables sont données dans le tableau 2 .x0π 6π 4π 3π 2π cosx1⎷3

2⎷2

21

20-1sinx01

2⎷2

2⎷3

210
tanx0⎷3

31⎷30

Table2 - Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangente

Remarque :Pour retenir tous les résultats du tableau2 , on peut s"aider du cercle trigonométrique (voir

figure 6 ).Figure6 - Angles remarquables

Exercice :Calculersinαetcosβsachant que :

-cosα= 0,6et-π2 < α <0 -sinβ= 0,8etπ2 Exercices :59, 60, 61 page 2087- 44 page 206 et 89 page 2118[TransMath]

2.3 Angles associés

Dans toute cette section,xdésigne un réel etMle point associé au réelxsur le cercle trigonométrique suivant

ladéfinition 2du2.1 . 7

2.3 Angles associés 2 TRIGONOMÉTRIE

Figure7 - Cosinus et sinus de-x

Cosinus et sinus de-x:voir figure7 .

M(cosx; sinx)etM1(cos(-x) ; sin(-x)).

CommeMetM1sonts ymétriquesp arrapp ortà l"axe des ab scisses, on en déduit que : Cosinus et sinus de-x

cos(-x) = cosx sin(-x) =-sinxCosinus et sinus deπ-x:voir figure8 .Figure8 - Cosinus et sinus deπ-x

M(cosx; sinx)etM2(cos(π-x) ; sin(π-x)).

CommeMetM2sonts ymétriquespar rapp ortà l"axe des ord onnées, on en déduit qu e: Cosinus et sinus deπ-x

cos(π-x) =-cosx sin(π-x) = sinxCosinus et sinus deπ+x:voir figure9 .7. Lignes trigonométriques.

8. Repérage polaire.

8

2 TRIGONOMÉTRIE 2.3 Angles associés

Figure9 - Cosinus et sinus deπ+x

M(cosx; sinx)etM3(cos(π+x) ; sin(π+x)).

CommeMetM3sonts ymétriquespar rapp ortà l"origine du rep ère, on en déduit que : Cosinus et sinus deπ+x

cos(π+x) =-cosx sin(π+x) =-sinxCosinus et sinus de π2 -x:voir figure10 .Figure10 - Cosinus et sinus deπ2 -x

M(cosx; sinx)etM4cosπ2

-x; sinπ2 -x.

CommeMetM4sonts ymétriquesp arrapp ortà la droite d"é quationy=x, on en déduit que :Cosinus et sinus deπ+x

cos π2 -x = sinx sin π2 -x = cosxCosinus et sinus de π2 +x:voir figure11 .

M(cosx; sinx)etM5cosπ2

+x; sinπ2 +x. CommeM4etM5sonts ymétriquespar rapp ortà l "axe des ordonnées, on en déduit qu e: 9

3 PROPRIÉTÉS DES ANGLES ORIENTÉS

Figure11 - Cosinus et sinus deπ2

+xCosinus et sinus de π2 +x cos π2 +x =-sinx sin π2 +x

= cosxRemarque :Pour retenir ces relations, il est vivement conseillé de se référer au cercle trigonométrique.

Exemples :1.cos2π3

= cosπ-π3 =-cosπ3 =-12

2.cos7π6

= cosπ+π6 =-cosπ6 =-⎷3 2

3.sin-π4

=-sinπ4 =-⎷2 2 Exercices :1, 2, 3 page 197 et 63 page 2089- 34, 35 page 208 et 21 page 20210- 22 page 20211- 5,

6, 7, 8 page 198 et 68, 69 page 208

12- 70 page 208 et 71, 72 page 20913- 82, 83, 84, 85 page 21014

TransMath

3 Propriétés des angles orientés

3.1 Angles orientés et colinéaritéPropriété :Soit-→uet-→vdeux vecteurs non nuls.

Les v ecteurs-→uet-→vsontcolinéaires et de même sens si et seulemen tsi (-→u ,-→v) = 0[2π].

Les v ecteurs-→uet-→vsontcolinéaires et sens con trairessi et seuleme ntsi (-→u ,-→v) =π[2π].Remarque :On peut donc utiliser les angles orientés pour prouver un parallélisme ou un alignement.

3.2 Relation de ChaslesThéorème :Relation deChasles(admis)

Soit-→u,-→vet-→wtrois vecteurs non nuls. Alors : -→u ,-→v) + (-→v, -→w) = (-→u ,-→w) [2π]9. Angles associés.

10. Lignes trigonométriques d"angles associés.

11. Utilisation d"angles orientés pour démontrer.

12. Équations trigonométriques.

13. Avec la calculatrice.

14. Équations plus difficiles.

10

RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESQuelques conséquences :Ces égalités sont illustrées sur la figure12 .

1.(-→v ,-→u) =-(-→u ,-→v) [2π]

2.(-→u ,--→v) = (-→u ,-→v) +π[2π]et(--→u ,-→v) = (-→u ,-→v) +π[2π]

3.(-→u ,-→v) = (-→u ,-→v) [2π]Figure12 - Quelques cas particuliers

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