Première S - Angles orientés de deux vecteurs
La mesure en radians de l'angle orienté ( ; ) sont les mesures en radian de (. ? ;. ?). II) Propriétés des angles orientés 2) Relation de Chasles.
Angles orientés de vecteurs Trigonométrie
1.3 Angles orientés de vecteurs – Cas général . 2.2 Quelques relations . ... 3.2 Relation de Chasles .
ANGLES ORIENTES DE VECTEURS
Les mesures en radians de l'angle orienté de vecteurs (. ? u . ? v ) sont celles de l'angle B ) CONSEQUENCES DE LA RELATION DE CHASLES.
Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés
Il y a une relation de proportionnalité entre les degrés et les radians. Une relation de Chasles existe également pour les angles orientés.
Vecteurs et colinéarité. Angles orientés et trigonométrie
21 févr. 2017 On effectue un parallélogramme afin de reporter le deuxième vecteur per- mettant d'appliquer la relation de. Chasles. ???. OA + ??. OB. O.
Les angles
appelé ensemble des angles orientés de vecteurs et noté A : A = (C Proposition 3.9 (Relation de Chasles) Pour tous vecteurs non nuls u v et w
Angles orientés de vecteurs_1s_cours
Mesure de l'angle orienté d'un couple de vecteurs non nuls. 1) Ensemble des mesures 3) Conséquences de la relation de Chasles. Propriétés 3 : Soit et.
( );v w ( ) ( ) ( )
I. Relation de Chasles pour les angles orientés. II. Angles orientés opposés. III. Angles orientés formés par les opposés de deux vecteurs non nuls.
Angles géométriques angles orientés
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/mobile/~perrin/Projet-geometrie/Coursangles.pdf
Chapitre16 : R-ev euclidien orienté de dimension 2
II Angle orienté de deux vecteurs non nuls du plan L'angle orienté (?uˆ?v) = ... Relation de Chasles : soient ?u
Vecteurs et colinéarité.
Angles orientés et trigonométrie
Table des matières
1 Rappels sur les vecteurs2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Colinéarité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Géométrie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Équation cartésienne d"une droite5
2.1 Vecteur directeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Équation cartésienne d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Équation réduite d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Angles orientés7
3.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Mesure d"un angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Trigonométrie9
4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
PAUL MILAN1PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
1 Rappels sur les vecteurs
1.1 Définition
Définition 1 :Un vecteur?uou-→AB est défini par :une direction (la droite (AB)).
un sens (de A vers B)
Une longueur : la norme du vecteur
?u?ou AB Égalité de deux vecteurs-→AB=--→CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. ?A? B C? D1.2 Opérations sur les vecteurs
1.2.1 Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs est définie par la relation de chasles : --→AC=-→AB+-→BCCette relation permet de décomposer
un vecteur.On a l"inégalité triangulaire :
?u+?v????u?+??v? ?u? v u+?v A? B CConstruction de la somme de deux vec-
teurs de même origine.On effectue un parallélogramme, afin
de reporter le deuxième vecteur per- mettant d"appliquer la relation deChasles.
--→OA+-→OB ?O? A B? CPropriété 1 :La somme de deux vecteurs :
Est commutative :?u+?v=?v+?u
Est associative :(?u+?v) +?w=?u+ (?v+?w) =?u+?v+?w Possède un élélment neutre?0 :?u+?0=?u tout vecteur possède un opposé-?u:--→AB=-→BAPAUL MILAN2PREMIÈRE S
1. RAPPELS SUR LES VECTEURS
1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire
Lorsqu"on multiplie un vecteur par un
réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék?uest tel que :Sa longueur est multiplié par|k|
Sik>0 son sens est inchangé
Sik<0 son sens est inversé.
Sik=0 on a : 0?u=?0
32-→AB
-2-→ABB A Propriété 2 :Bilinéarité. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v
1.3 Colinéarité de deux vecteurs
Définition 2 :On dit que deux vecteurs?uet?vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que :?v=k?u Remarque :Le vecteur nul?0 est colinéaire à tout vecteur car :?0=0?u Propriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"alignement. -→AB et--→CD colinéaires?(AB)//(CD) -→AB et--→AC colinéaires?A, B, C alignésExemple :Voir figure ci-contre :
Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :
AE=13-→BC ,-→CI=23-→CB et
AF=13--→AC .
Démontrer que I, E et F sont alignés
A B CE I F Exprimons-→EI et-→EF en fonction de-→AB .-→CI=2
3-→CB donc-→BI=13-→BC .
On en déduit que
-→AE=-→BI donc que AEIB est un parallélogramme. On a alors :-→EI=-→ABPAUL MILAN3PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
De plus :-→EF=-→EA+-→AF=13-→CB+13--→AC=13(--→AC+-→CB) =13-→AB
On en déduit alors :
-→EF=13-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc
les points E, F et I sont alignés.1.4 Géométrie analytique
Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère orthonormé, les formules suivantes sont valable dans tout repère. Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du vecteur-→AB vérifient :-→AB=?xB-xA;yB-yA? Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du milieu I du seg- ment [AB] vérifient :I=?xB+xA
2;yB+yA2?
On appelle déterminant de deux vecteurs?u(x;y)et?v(x?;y?), le nombre : det(?u,?v) =????x x? y y =xy?-x?y Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est égale à 0 uet?vcolinéaires?det(?u,?v) =0 Dans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur?uet la distance entre les points A(xA;yA)et B(xB;yB)vérifient : ?u||=? x2+y2et AB=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2 Exemples :Dans un repère orthonormé(O,?ı,??)1) Soit A(1; 4) et B(-5; 2). Calculer les coordonnées de-→AB de I =m[AB] et la
longueur AB -→AB= (-5-1 ; 2-4) = (-6 ;-2)et I =?1-52;4+22?
= (-2 ; 3) AB = (-6)2+ (-2)2=⎷40=2⎷102) On donne
?u(2 ; 3)et?v(3 ; 4). Les vecteurs?uet?vsont-ils colinéaires? det(?u;?v) =????2 33 4???? =8-9=-1. Comme det(?u;?v)?=0 les vecteurs ne sont pas colinéaires.Dans un repère quelconque
ABCD est un parallélogramme. M, N, Q sont tels que : --→DM=45--→DA ,--→AN=34-→AB ,--→CQ=23--→CD
PAUL MILAN4PREMIÈRE S
2. ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UNE DROITE
La parallèle à (MQ) menée par N coupe BC en P. Déterminer le coefficientkde colinéarité tel que-→BP=k--→AD .Faisons une figure, en prenant comme
repère(A;-→AB ,--→AD): D"après l"énoncé les coordonnées de M,N et Q sont :
M 0;1 5? , N?34;0? , Q?13;1?P est sur (BC), son abscisse est 1.
A B CD ?M N? QP? ? ?
De plus commekest tel que :-→BP=k--→AD , son ordonnée vautk.Les coordonnées de P sont : P(1;k)
Comme (NP)//(MQ), le déterminant de
--→MQ et--→NP est nul, on a :3-0 1-34
1-15k-0???????
3144 =0 k
3-15=0?k3=15?k=35
2 Équation cartésienne d"une droite
2.1 Vecteur directeur
Définition 3 :Soit une droiteddéfinie par deux points A et B. Un vecteur directeur ?ude la droitedest le vecteur-→AB . Remarque :Le vecteur?un"est pas unique, car 2 points quelconques de la droite définissent un vecteur directeur. Si ?uet?vsont deux vecteurs directeurs de la droited, alors les vecteurs?uet?vsont colinéaires. On a donc det(?u,?v) =0. Exemple :Soit la droite (AB) définie par : A(3 ;-5)et B(2 ; 3)Le vecteur
-→u=-→AB est un vecteur directeur de la droite (AB), on alors : u=(2-3 ; 3-(-5))= (-1 ; 8) Théorème 1 :Une droite est entièrement définie si l"on connaît un point A et une vecteur directeur ?u. Démonstration :La démonstration est immédiate car à partir du point A et du vecteur directeur ?u, on peut déterminer un autre point B tel que :?u=-→ABPAUL MILAN5PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
2.2 Équation cartésienne d"une droite
Théorème 2 :Toute droiteddu plan peut être déterminée par une équation de la formeax+by+c=0, avecaetbnon tous les deux nuls. Une telle équation est appeléeéquation cartésiennede la droited. Réciproquement une équation du typeax+by+c=0 définie une droite de vecteur directeur ?u(-b;a) Démonstration :Soit la droitedpassant par le point A(xA;yA)et de vecteur directeur ?u(-b;a). Soit un point quelconque M(x;y)de la droited. On a alors--→AM et?ucolinéaires. Leur déterminant est alors nul. On a :--→AM= (x-xA;y-yA), donc : det(--→AM ,?u) =0?????x-xA-b y-yAa???? =0? a(x-xA) +b(y-yA) =0?ax+by-(axA+byA) =0On posec=-(axA+byA), on a donc :ax+by+c=0
Réciproquement :Soitl"équationax+by+c=0.Deuxcaspeuventseprésenter a=0 oub=0, on obtient respectivementy=-cbetx=-caqui sont respectivement une droite horizontale et une droite verticale. Sia?=0 etb?=0 on peut déterminer deux points de cette équation en pre- nant respectivementx=0 ety=0. On obtient alors les points A? 0 ;-c b? et B? -c a; 0? on obtient alors le vecteur directeur-→AB=? -ca;cb? . Vérifions que ce vecteur -→AB est colinéaire au vecteur?u(-b;a) det(-→AB ;?u) =???????- c a-b c ba??????? =-c+c=0 Exemple :Soit la droiteddéfinie par les point A(2 ; 3)et?u(-2 ; 1). Déterminer une équation cartésienne de la droited.En posant M(x;y), on a :
det(--→AM ,?u) =0?????x-2-2 y-3 1???? =0?(x-2) +2(y-3) =0 x+2y-2-6=0?x+2y-8=0 ?L"équation cartésienne d"une droite n"est pas unique. On peut toujours multi- plier les coefficients par un facteurknon nul. Par exemple, on peut trouver pour la droite de l"exemple :-2x-4y+16=0 en multipliant par(-2).PAUL MILAN6PREMIÈRE S
3. ANGLES ORIENTÉS
2.3 Équation réduite d"une droite
Théorème 3 :Toute droitednon parallèle à l"axe des ordonnées admet une équation de la formey=mx+pappelée équation réduite ded. Le vecteur u(1 ;m)est un vecteur directeur ded3 Angles orientés
3.1 Le radian
Définition 4 :Le radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrdLa mesure en degré de 1 radian vaut
donc :1 rd=180
π?57°
Remarque :Le radian est une grande
unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.1 rd O 11 -1 -1Tableau des angles remarquables en radian :
Degré30°45°60°90°
Radianπ
6 4 3 23.2 Définition
Définition 5 :Un angle orienté est défini par deux vecteurs?uet?v, noté(?u,?v).L"angle est alors orienté de
?uvers?v.Sur la figure ci-contre, on a repré-
senté deux angles orientés, représen- tant le même angle(?u,?v). Le premier est orienté dans le sens direct et l"autre dans le sens indirect. ?u? vPAUL MILAN7PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
3.3 Mesure d"un angle orienté
Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian) et un sens de parcours. Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure ci-dessus. Ces mesures sont alors équivalentes. Elles sontégales à 2πprès, on dit alors qu"elles sont égales modulo 2π. Définition 6 :On dit que les mesures (en radian)θ1etθ2d"un même angle orienté(?u,?v)sont égales modulo 2π, s"il existe un entier relatifktel que :2=θ1+k×2πon écrit alorsθ1=θ2[2π]
Exemple :-5π3=π3[2π]en effet,-5π3+2π=-5π+6π3=π3 Définition 7 :On appelle mesure principale d"un angle orienté(?u,?v), la me- sureθavecθ?]-π,π]. On appelle mesure positive d"un angle orienté(?u,?v), la mesureθavecθ?[0,2π[ Exemple :Voici ci-dessous le cercle trigonométrique avec les angles remar- quables exprimés en mesure principale. O?0 ?π6 π4 π3 π22π3
3π4
?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3 -π2 -2π3 -3π4 ?-5π63.4 Propriétés
1) Les vecteurs?uet?vsont colinéaires si et seulement si :
?u,?v) =0[2π]ou(?u,?v) =π[2π]2)Relation de Chasles: Soit trois vecteurs?u,?vet?w, alors :
?u,?v) + (?v,?w) = (?u,?w)3) Soit les vecteurs
?uet?v, alors on a : ?v,?u) =-(?u,?v) (-?u,?v) = (?u,?v) +π ?u,-?v) = (?u,?v) +π (-?u,-?v) = (?u,?v)PAUL MILAN8PREMIÈRE S
4. TRIGONOMÉTRIE
Exemple :
D"après la figure suivante, déterminer
à l"aide des propriétés des angles orien- tés :(-→AB ,--→AC)A BC 6π 12 (-→AB ,--→AC) = (-→AB ,-→BC) + (-→BC ,--→AC)relation de Chasles (-→BA ,-→BC) +π? + (-→CB ,--→CA)inversion des vecteurs6+π-π12=9π12=3π4
Remarque :On aurait pu retrouver cet angle de façon "classique" en faisant le complément àπ4 Trigonométrie
4.1 Définition
Définition 8 :Dans un repère orthonormal direct,αest l"angle orienté dans le cercle unité, on a alors : cosα=projection de l"angle sur l"axedes abscisses sinα=projection de l"angle sur l"axedes ordonnées tanα=projection de l"angle sur ladroite tangente au cercle 11 -1 -1αcosα sinαtanα O4.2 Tableau des angles remarquables
α0π
6 4 3 2 sinα01 2 ⎷2 2 ⎷3 21cosα1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tanα0 ⎷3
31⎷3∞
PAUL MILAN9PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
4.3 Relations trigonométriques
4.3.1 Relations de base
On a les encadrements suivants :-1?sinα?1 et-1?cosα?1 On vérifie facilement avec le théorème de Pythagore dans le cercle unité, la relation : sin2α+cos2α=1
On vérifie avec le théorème de Thalès, la relation : tanα=sinαcosα À l"aide des relations précédentes, on déduit que : 1+tan2α=1cos2α4.3.2 Relations de symétrie
Avec l"angle opposé :
sin(-α) =-sinα cos(-α) = +cosα tan(-α) =-tanαAvec l"angle supplémentaire :
sin(π-α) = +sinα cos(π-α) =-cosα tan(π-α) =-tanα sinα -sinα cosα-cosα -απ+α11 OAvec l"angle diamétralement opposé :
sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα tan(π+α) = +tanαRemarque :On peut constater que les fonction sinus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire.4.3.3 Relations de déphasage
Avec le complémentaire
sin?π2-α?
=cosα cos2-α?
=sinαAvec un déphasage d"un quart de tour
sin?π2+α?
=cosα cos2+α?
=-sinα sinα-sinα cosα2-απ2+α
11 OExemple :Simplifier :A=cos?
x+π2? -3cos? -π2-x? -4sin(π-x) A l"aide des formules de symétrie et de déphasage, on a :A=-sinx-3cos?π
2+x? -4sinx=-sinx+3sinx-4sinx=-2sinxPAUL MILAN10PREMIÈRE S
4. TRIGONOMÉTRIE
4.4 Équations trigonométriques
Résolution des équations dansR: cosx=aet sinx=aSi|a|>1, il n"y a pas de solution.
Si|a|?1, on a les solutions pour :
1) cosx=a?cosx=cosα
On détermineα?[0;π]tel queα=arccosaà l"aide du cercle trigonomé- trique. D"après les règles de symétrie :x=αoux=-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2π cosx=a?x=α+2kπoux=-α+2kπ,k?Z Remarque :l"expressionx=α+2kπpeut s"écrirex=α[2π]qui se prononce "x=αmodulo 2π"Exemple :Résoudre dansR:⎷
2cosx-1=0
2cosx-1=0?cosx=1⎷2=⎷
22?cosx=cosπ4
Les solutions dansRsont :x=π
4+2kπoux=-π4+2kπ,k?Z
2) sinx=a?sinx=sinα
On détermineα??
2;π2?
tel queα=arcsinaà l"aide du cercle trigonomé- trique. D"après les règles de symétrie :x=αoux=π-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2πExemple :Résoudre dansR: 2sinx-⎷
3=02sinx-⎷
3=0?sinx=⎷3
2?sinx=sinπ3
Les solutions dansRsont :x=π
3+2kπou
x=π-π3+2kπ=2π3+2kπ?????
k?ZAutre exemple
Résoudre dansRl"équation : cos2x=1
2On visualisera les solutions sur le cercle trigonométrique.
cos2x=12?cos2x=cosπ3Les solutions dansRsont donc :
2x=π
3+2kπ
2x=-π
3+2kπ?x=π
6+kπ
x=-π6+kπ?????
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