[PDF] Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés

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Chapitre7

Trigonométrieetanglesorientés

7.1Cerc letrigonométriqueetmesu red'angle

Définition7.1.1.Unce rcletrigonométrique Cestuncer clederay on1surleq uelnousdistingueron s deuxsensdep arcours: •les ensdirectlor squelecercleestparcou rudanslesensinversedesaigui llesd'un emontre; •les ensindirect lorsquelecercleestparcouruda nslesensdesai guillesd'unemontre. Remarque.Lesmes uressuivantesseron tutilesparlasuite:lalong ueurd'uncerclevaut2π,celle dude mi-cerclevautdoncπetcel led'unqua rtdecerclevaut 2 Lecer cletrigono métriquepermetd'introduireunenouvelleunitédemesured'angles:leradian. Définition7.1.2.Lera dian,notérad,estlamesured'unangleaucentrequiinterceptesurle cercleCuna rcdelongue ur1. Remarque.Ilya une rel ationdepr oportionnalitéentrelesd egrése tlesradians.Eneffet,nous savonsquelarela tionsuivan teestvé rifiée

360de gréséquivautà2πrad( lalongueurd ucercletrigonométrique)

C'estpourquo inousavonsletableausuiv ant:

Degrés360d

Radian2πr

Ceta bleaudeproportionnal iténou sfournitlarelationsuivante180×r=d×2πquiper metde convertirdesdegrésenradian etvice-ver sa. Lesv aleursremarquablessui vantessontàconnaitre

Degrés030456090120135150180

Radian0

6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 57

58CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

7.2Anglé orientéd'uncoup ledevecteurs

Nousallons voirqu'ilestpossi bled'orienter leplanetd'utiliserlecercletrigo nométri quepour associerlamesured'unangle entrede uxvecteursnonnul s.Aceteffet,soi ent uet vdeuxvect eurs nonnuls. Apartirducentr eOduce rcletrigonométriqueC,ilexistedeuxpointsduplanMetN telsque OM= uet ON= v Depl us,observonsque lesdemi-droites[OM)et[ON)coupentlecercleendespointsAetB.La longueurl,surlecercleC,entrelespointsAetBvape rmettrededéfinirlamesuredel 'angle associéauxvecteurs uet v.

Définition7.2.1.Danslec ontexte précédent,lafamilledes nombresréelsl+2kπ,aveck∈Z,est

unemesur edel'angleorien té( u, v). Remarque.Dema nièreinformelle,lenom brekindiquelenombredet our (ducercletrigonomét rique) quiaété fai t.Enprati que,nousallonss ouvent confondreunangleavecl 'unedesesmes ures.Notons aussiquel'ordre desvecteu rs uet vestimpo rtant.Eneffet,si( u, v)=lalors( v, u)=2π-l.

7.2.1Mesure principaled'unangl eorientédevecteurs

Certainsmesuressontplu ssimplesàutiliserque d'autres. Définition7.2.2.Parmilesmesur esl+2kπ,aveck∈Z,d'unangleorienté( u, v),ilenexiste uneetune seuleap partena ntàl'interva lleI=]-π;π].Cettemesures'appellelamesureprincipale de( u, v). Remarque.Lava leurabsoluedelam esureprincipaled'unang lecoïnci deavecl'anglegéométrique définiparle sdeuxvec teurs uet "toursdecercle»:si( u, v)=lalorstoute slesautresmesuresd ecetangles ontdelaforme l+2kπaveck∈Z

Voyonscequenous obteno nssurdeux exemples.

Exemple7.2.1.1.Su pposonsque(

u, v)= 37
6

πetdét erminonslamesureprincipaledecet

angleorienté. Pourcela,ilsuffitd'observerque

37π

6

6×6+1

6

π=(6+

1 6 6 +3×2π; lame sureprincipaleestdonc 6

2.De manières imilaire,si(

u, v)=

202π

3 nousavons

202π

3

67×3+1

3 3 +67π;
ici,ilfau tpo ursuivreunpeu noscalculsafindefaireapparaitreunmult iplede2πàlaplace de6 7π.Celas'effectuedelama nièresu ivante

67π=68π-π,

7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ59

ainsi 3 +67π=
3 +68π-π=-
2π 3 +34×2π.Lamesureprincipalevautdonc-
2π 3 etl 'angle géométriqueassociéapourmesure 2π 3 2π 3

7.2.2Proprié tésdesanglesorientés

Voiciquelque spropriétésdesanglesori entés,celles-cis'obtiennentgrâceàducalculvecto riel.

uet vdeuxvecteu rsnonnuls.Alors •direque uet vsontcoliné airesetdemêmesensestéquivalentà( u, v)=0; •direque uet vsontcoliné airesetdesensopposéestéquivalentà( u, v)=π Remarque.Ceré sultatdonneuneautrefaço ndeprouverquetr oispoints sontaligné soudemontrer quedesd roitesson tparallèles. Unerel ationdeChaslesexisteéga lemen tpourlesanglesorientés.

Proposition24(RelationdeChasles).Soient

u, vet wdesvect eursnonnuls,alors u, v)+( v, w)=( u, w) Remarque.Encons équencedecetterelationdeChasles,n ousavo nslesrelationssuivantes: v, u)=-( u, v);( u,- v)=( u, v)+π;(- u, v)=( u, v)+π;(- u,- v)=( u, v) Iles tégalemen timportantd'observerquelas ubstitutiond'unvect eurparunautrevecteur coli- néaire,demêmesens,n'affectepasl emesuredel 'angle orienté.Par exemple (2 u, v)=( u, v);( u,3 v)=( u, v);(2 u,3 v)=( u, v)

7.3Foncti oncosinusetsinusd 'unangleorienté

Pourintro duirecesnouvellesfonctions,il estimport antdeseplacerdansunrepèreorthonormé (O;I;J)direct;si i= OIet j=

OJcecisi gnifieque

i∥=∥ j∥=1et ( i, j)= 2 Définition7.3.1.Dansunt elcadr e,àtoutpo intsMappartenantaucercletrigonomét riq ueCde •nousnotero nsθunemes uredel'angleorie nté( OI, OM); •leco sinusdeθ,notécos(θ),correspondraàl'abscissedupointM; •lesi nusdeθ,notésin(θ),correspondraàl'ordonnéedupointM.

60CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

OO II JJ MM cos(θ) sin(θ) Voyonsquelquesp ropriétésdecesnouvelles fonctions.Toutd'abord,ilestimportantdecalculer quelquesvaleursrema rquablesdecesfonctions .

7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ61

x y 0 30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4

11π

6 2π 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 (-1,0)(1,0) (0,-1) (0,1) Surla figurepréc édente,l'a bscissedechaquepointfournilavaleurducosinusdel'anglecor- respondantetl'ordonnéelavale urdus inus.Parexemple,lepointM( 1 2 3 2 )permetdesavoir que cos 3 1 2 etsi n 3 3 2

62CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

Iles tessentie lderetenirlesvaleurssuivan tes.

θ(enradi ans)0

6 4 3 2 cos(θ)1 3 2 2 2 1 2 0 sin(θ)0 1 2 2 2 3 2 1

Lesau tresvaleurspeuventêt reretrouvéesdemanière élémentaireàl'aided'a rgu mentsgéomé-

triquesquenousallon sdécrire ci-dessous.

7.3.1Propri étésdesfonctionstrigonométriques

Proposition25.Pourtoutx∈Retto utk∈Zlesid entitéssuivantessontsatis faites •cos 2 (x)+sin 2 (x)=1.

Voicilespropr iétésgéom étriquesdontnousparlionsplus tôt.Ile nexist eencored 'autresmais

nousneles abo rderonspasdans cecours.

Proposition26.Pourtoutré elx,nousavons

•(Relationentrelesdeux)sin 2 -x =cos(x)etcos 2 -x =sin(x). Atoutefinutilementionnonségalementlesformulesd'additionssuivant es:

Proposition27.Soienta,bdeuxréelsal ors

7.4Equati onstrigonométriques

Enfin,pourconclu recechapitre ,ilfaudrarésoudredeséq uationsdelaform e cos(x)=uousi n(x)=uavecu∈[-1;1] Autrementdit,lorsqueuestunev aleurdonnée, ilfauttrouverl' ensembledesréelsxsatisfaisant leséqua tionsprécédentes.Pourrés oudre,cecinousavonslerésultatsuivant

7.4.EQUA TIONSTRIGONOMÉTRIQUES63

Remarque.Enprat iquepourrésoudrecos(x)=uilfa udrad'abordtrouvera∈Rtelquec os(a)=u

pourensuit eappliquerlerésultat précédent.Cegenred'équationsseratrèsim portantl'anné e

prochainelorsquevousét udierezlesnombrescompl exes.

64CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS

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