[PDF] Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?

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Mathématiques PTSI1, Chapitre IV 2018-2019

Chapitre IV : Calculs algébriques

Dans tout ce chapitre, on noteKle corps des réels ou celui des complexes. Ainsix?Ksignifiex?Roux?C.

Une famille d"éléments.

SoitIun ensemble. Une famille(ai)i?Iest une collection d"objetsaique l"on indice, indexe ou " numérote » par les

éléments deI.

•Dans une famille un même nombre peut être répété (on peut avoirai=ajpouri?=j). Par exemple si

I=J-3;3K={-3,-2,-1,0,1,2,3}et si pour touti?I,ai=i2, alors la famille(ai)i?Icontient, entre autres,

deux fois l"élément1. Il ne faut donc pas confondre la famille(ai)i?Iavec l"ensemble{ai|i?I}={0,1,2,3}.

•Dans une famille l"ordre des éléments n"a pas d"importance. Ainsi(i)i?{1,2,3}= (4-i)i?{1,2,3}. Une famille finie

n"est donc pas le même objet qu"unn-uplet pour lequel l"ordre est important(1,2)?= (2,1). •Exemples : -2i

06i65est la famille1,2,4,8,16et32.

-(2k+ 1)k?Nest la suite des entiers naturels impairs. -(⎷x)x?R+est une autre écriture pour désigner la fonctionx?→⎷x. -f2 f?F(R,R)est la famille des carrés des fonctions deRdansR.

Dans tout ce chapitreIdésignera un ensembleFINIEd"éléments. Même si rien n"interdit de considérer un ensemble

fini de réels, de complexes ou autres, on pourra toujours considérer queIdésigne un ensemble fini d"entiers (naturels

ou relatifs). On aura souvent en particulier (mais pas toujours)I={0,...,n}ouI={1,...,n}.

I La somme

Pet le produitQ

I.1 Notation

PetQSoitIun ensemble fini et(ai)i?Iune famille de nombres réels ou complexes. On note •X i?Ia ila sommede tous les éléments de la famille(ai)i?I, Y i?Ia ile produitde tous les éléments de la famille(ai)i?I. SiI=Jq;pK={q,q+ 1,...,p-1,p}, avec(p,q)?Z2, on note également X i?Ia i=X q6i6pa i=pX q=1a i=aq+aq+1+aq+2+···+ap Y i?Ia i=Y q6i6pa i=pY q=1a i=aq×aq+1×aq+2× ··· ×ap.Définition I.1

Exemples 1 :

•SiI=J1;5Ketai=ipour touti?I, alors 5 X i=1a i=5X i=1i=5(5 + 1)2 = 15et5Y i=1a i=5Y i=1i= 120 = 5!. •SiI={0,2,4,6}etai= 2ipour touti?I, alors X i?Ia i= 20+22+24+26= 1+4+16+64 = 85etY i?Ia i= 20·22·24·26= 212= 46= 163= 4096. 1

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Remarque 2 :D"une façon général il est possible de noter la somme (la même remarque est valable pour le produit)P

IaiparP

description de l"ensembleIsans accoladeai. Par exemple siI={i?N|idivise12}alors X i?Ii=X i?Ni|12i= 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.

Remarque 3 : L"indice de sommation est muet!

L"indiceiutilisé pour décrire la famille(ai)i?Iainsi que la sommeP i?Iaiou le produitQ i?Iaiest un indice muet qui peut être modifié en une autre lettre sans porter à conséquence : X i?Ia i=X k?Ia k=X f?Ia f=X

Naturellement et comme à l"accoutumée, on veillera à ne pas utiliser une lettre précédemment réservée.

Remarque 4 : IMPORTANT.La somme totale (ou le produit) ne doit JAMAIS dépendre de l"indice de sommation

(ou de multiplication). Des monstruosités du genreP10k k=1akouP100 k=1ak=57k+2100 ne doivent jamais être commises.

Remarque 5 :La longueur d"une sommePp

k=q···est dep-q+ 1.

I.2 Premières manipulationsSoientn?N?,Iun ensemble fini ayantnéléments,(ai)i?Iet(bi)I?Ideux familles de réels ou de complexes et

λ?K. On a

1.(P i?Iai) + (P i?Ibi) =P i?I(ai+bi). 2.(Q i?Iai)(Q i?Ibi) =Q i?I(aibi). 3. P i?I(λai) =λP i?Iai. 4.Q i?I(λai) =λnQ i?Iai.Proposition I.2 Exemple 6 :Soientn?N?,I=J1;nKet(ak)k?Ila famille des entiers pairs de2à2n. 1.

P ourtout k?Idécrireaken fonction dek.

2.

En déduire une écriture d eQ

k?Iaken fonction den! =Qn k=1k.

Rappel : deux ensemblesIetJsont disjoints si leur intersectionI∩Jest vide, si pour touti?I,i?=Jet pour tout

j?J,j?=I.SoientIetJdeux ensemblesdisjointset(ai)i?I?June famille d"éléments de réels ou de complexes, alors

X i?Ia i! X j?Ja jŽ X i?I?Ja iet Y i?Ia i! Y j?Ja jŽ Y i?I?Ja i. En particulier on a larelation de Chasles: pour tout(p,q,m)?Z3,q6m < pon a mX k=qa kŽ pX k=m+1a k! =pX i=qa ket" mY k=qa kŽ pY k=m+1a k! =pY k=qa k.Proposition I.3 Exemple 7 :Soitn?N?. On noteBnle produit des entiers impairs entre1et2n+ 1etAnle produit des entiers pairs entre1et2n. Démontrer que(2n+ 1)! =Q2n+1 k=1k=AnBnpuis à l"aide de l"exemple 6, déterminerBnen fonction de(2n+ 1)!etn!. 2

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I.3 Techniques de calculs

Soit(p,q)?N2,q6pet(ak)k?Nune famille de réels ou de complexes. Pour toutr?N, on a p+rX k=q+ra k=pX k=qa k+retp+rY k=q+ra k=pY k=qa k+p.Proposition I.4 (changement d"indice)

Exemple 8 :Soitn?N?etSn=Pn

k=12k(k+1). Puisque pour toutk?N?,2k(k+1)=1k -1k+1, alors S n=nX k=11k -nX k=11k+ 1.

Par le changement de variable

˜k=k+ 1on a

n X k=11k+ 1=n+1X k=21˜ k=n+1X k=21k

Donc, pourn>2,

S n=nX k=11k -n+1X k=21k = 1 +nX k=21k -nX k=21k -1n+ 1= 1-1n+ 1=nn+ 1.

Remarque 9 :Il est possible d"effectuer d"autres changements de variables plus exotiques transformant un ensemble

Ien un ensembleJpourvu que ces deux ensembles aient exactement le même nombre d"éléments. Exemple 10 :On reprend l"exemple 6 et on noteAnle produit des entiers pairs entre2et2n:An=Q

16k62n

kpairk.

Dans cet exemple l"ensembleI={k?J1;2nK|kpair}est en bijection avec l"ensembleJ1;nK. Donc en posant le

changement de variable˜k=k2 , on obtient : A n=Y

16k62n

kpairk=nY k=1

2˜k=nY

k=1(2k) = 2nn!Soient(p,q)?Z2,q6pet(ai)i?Jq;p+1Kune famille de réels ou de complexes. On a p X i=q(ai+1-ai) =ap+1-aq.

Si de plus lesaisont non nuls alorspY

i=qa i+1a i=ap+1a q.Proposition I.5 (somme et produit télescopique) Démonstration.Soient(p,q)?Z2,q6pet(ai)i?Jq;p+1Kune famille de réels ou de complexes. Alors, p X i=q(ai+1-ai) =pX i=qa i+1-pX i=qa i.

En procédant au changement de variable

˜i=i+ 1, on observe de plus que

p X i=qa i+1=p+1X i=q+1a i=pX i=qa i+ap+1-aq. 3

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Par conséquent,

pX i=q(ai+1-ai) =pX i=qa i+ap+1-aq-pX i=qa i=ap+1-aq.

Sommation par paquets

Exemple 11 :Soientn?N?etSn=P2n

k=1(-1)kk. On regroupe les termes deux par deux : S n=-1 + 2|{z} -3 + 4|{z} ...-(2n-1) + (2n)|{z} =nX k=1(k+ 1-k) =nX k=11 =n. I.4 Sommes et produits remarquablesSoit(p,q)?Z2,q6p. Pour toutλ?K, p X k=qλ= (p-q+ 1)λetpY k=qλ=λp-q+1.Proposition I.6 (somme et produit d"une constante)

Pour toutn?N, on a

1. Pn k=1k=n(n+1)2 . 2.Pn k=1k2=n(n+1)(2n+1)6 . 3.Pn k=1k3=€n(n+1)2

2.Proposition I.7

Démonstration.

1.

Soien tn?N?etSn=Pn

k=1k. En effectuant le changement de variable˜k=n-k+ 1, on écrit S n=nX k=1k=nX k=1 n-˜k+ 1=nX k=1(n+ 1)-nX k=1k= (n+ 1)n-Sn.

Ainsi2Sn=n(n+ 1)et donc

S n=n(n+ 1)2

Autre démonstration :pour toutk?N?, on a(k+ 1)2-k2= 2k+ 1dont on déduit l"égalité suivante :

n X k=1 (k+ 1)2-k2=nX k=1(2k+ 1) = 2Sn+n. Or le premier terme est une somme télescopique. Donc (n+ 1)2-12= 2Sn+n.

De cette égalité on conclut que

S n=n2+ 2n+ 1-1-n2 =n2+n2 =n(n+ 1)2 2.

Soien tn?N?etSn=Pn

k=1k2. Pour toutk?N, on a(k+ 1)3=k3+ 3k2 + 3k+ 1et donc(k+ 1)3-k3=

3k2+ 3k+ 1. Donc en sommant entre1etn,

n X k=1€ (k+ 1)3-k3Š=nX k=1

3k2+ 3k+ 1= 3nX

k=1k

2+ 3nX

k=1k+n. 4

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Or d"après le point précédent, on sait que Pn k=1k=n(n+1)2 . Donc, n X k=1€ (k+ 1)3-k3Š= 3Sn+ 3n(n+ 1)2 +n.

D"autre part

Pn k=1€(k+ 1)3-k3Šest une somme télescopique. DoncPn k=1€(k+ 1)3-k3Š= (n+ 1)3-1 = n

3+ 3n2+ 3n. Ainsi,

n

3+ 3n2+ 3n= 3Sn+ 3n(n+ 1)2

+n ?n3+ 3n2+ 2n-3n(n+ 1)2 = 3Sn ?2n3+ 6n2+ 4n-3n2-3n= 6Sn ?2n3+ 3n2+n= 6Sn ?Sn=n2n2+ 3n+ 16 ?Sn=n(n+ 1)(2n+ 1)6 3. On effectue la même métho deque précédemmen t.Soit n?N?et posonsSn=Pn k=1k3. Puisque pour tout k?N,(k+ 1)4=k4+ 4k3+ 6k2+ 4k+ 1, on en déduit que (n+ 1)4-1 =nX k=1€ (k+ 1)4-k4Š=nX k=1

4k3+ 6k2+ 4k+ 1.

En utilisant les points précédents, on obtient, (n+ 1)4-1 = 4Sn+ 6n(n+ 1)(2n+ 1)6 + 4n(n+ 1)2 +n ?n4+ 4n3+ 6n2+ 4n= 4Sn+n((n+ 1)(2n+ 1) + 2(n+ 1) + 1) ?n4+ 4n3+ 6n2+ 4n= 4Sn+n2n2+ 3n+ 1 + 2n+ 2 + 1 ?nn3+ 4n2+ 6n+ 4-2n2-5n-4= 4Sn ?nn3+ 2n2+n= 4Sn ?Sn=n2n2+ 2n+ 14 =n2(n+ 1)24 2

Soient(un)n?Nune suite de réels ou de complexes etr?K. Les assertions suivantes sont équivalentes.

1. La suite (un)n?Nest une suite arithmétique de raisonr. 2.

P ourtout n?N,un+1=un+r

3.

P ourtout n?N,un=u0+rn

4. P ourtout (p,q)?N2,q6p,up=uq+r(p-q).Rappel (suite arithmétique) Soientr?Ket(un)n?Nune suite arithmétique de raisonr. Alors pour tout(p,q)?N2,q6p, p X k=qu k=up+uq2 (p-q+ 1).Proposition I.8 (somme arithmétique)

Démonstration.Soientr?C,(un)n?Nune suite arithmétique de raisonretpetqdeux entiers naturels tels que

q6p. Alors, pour toutk?Jq;pK,uk=uq+r(k-q). Donc en sommant cette égalité entreqetp, p X k=qu k=pX k=q[uq+r(k-q)] = (p-q+ 1)uq+rpX k=qk-rq(p-q+ 1). 5

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D"après la Proposition I.7, on a, siq>2,

p X k=qk=pX k=1k-q-1X k=1k=p(p+ 1)2 -(q-1)q2 p2+p-q2+q2 (p-q+ 1)p+pq-qr+q2 =(p-q+ 1)p+ (p-q+ 1)q2 =(p-q+ 1)(p+q)2 Notez que cette égalité est encore vraie siq= 1ou siq= 0. Ainsi p X k=qu k= (p-q+ 1)uq+r(p-q+ 1)(p+q)2 -rq(p-q+ 1) (p-q+ 1)2 (2uq+r(p+q)-2rq) (p-q+ 1)2 (uq+uq+r(p-q)).

En utilisant le rappel ci-dessus, on obtient

p X k=qu k=uq+up2 (p-q+ 1).

Exemple 12 :Calculer la somme des nombres impairs de1à99en utilisant une suite arithmétique.Soient(un)n?Nune suite de réels ou de complexes etq?K. Les assertions suivantes sont équivalentes.

1. La suite (un)n?Nest une suite géométrique de raisonq. 2.

P ourtout n?N,un+1=qun

3.

P ourtout n?N,un=qnu0

4. P ourtout (m,n)?N2,m6n,un=qn-mum.Rappel (suite géométrique)

Soientq?Ket(un)n?Nune suite géométrique de raisonq. Supposonsq?= 1, alors pour tout(m,n)?N2,m6n,

n X k=mu k=um1-qn-m+11-q.

En particulier pour toutn?N,nX

k=0q k=1-qn+11-q.Proposition I.9 (somme géométrique)

Remarques 13 :

•Le cas particulier doit être connu sur le bout des doigts. Le cas général se déduit aisément du cas particulier

comme le montre la démonstration ci-dessus.

•Il est naturellement très important de vérifier queq?= 1pour utiliser les formules ci-dessus. Le casq= 1

correspond à la suite constante, dont la somme se calcule facilement (voir la proposition I.6). Démonstration.Soientq?Ket(un)n?Nune suite géométrique de raisonq. Commençons par démontrer le cas particulier. Fixonsn?Net remarquons que (1-q)nX k=0q k=nX k=1 qk-qk+1 6

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est une somme télescopique. Ainsi, (1-q)nX k=0q k=q0-qn+1= 1-qn+1. En divisant chaque membre de l"égalité par1-qon obtient la formule souhaitée.

Traitons maintenant le cas général et fixons deux entiers naturelsmetntels quem6n. On écrit que

n X k=mu k=nX k=mq k-mum.

On remarque que l"on peut sortirumde la somme (puisqu"il ne dépend pas de l"indice de sommationk) et effectue le

changement d"indice˜k=k-m, nX k=mu k=umn-mX k=0q k. En utilisant le cas particulier précédemment démontré, on conclut que n X k=mu k=um1-qn-m+11-q.

Exemple 14 :Soitn?N. CalculerSn=Pn

k=12kcoskπ2 .Soientn?N?etaetbdeux réels ou complexes. On a a n-bn= (a-b)n-1X k=0a n-1-kbk= (a-b)an-1+an-2b+an-3b2+···+a2bn-3+abn-1+bn.Proposition I.10

Démonstration.Soientn?N?et(a,b)?K2. On a

(a-b)n-1X k=0a n-1-kbk=n-1X k=0a n-kbk-n-1X k=0a n-1-kbk+1. Dans la dernière somme, on effectue le changement de variable

˜k=k+ 1. On obtient alors

(a-b)n-1X k=0a n-1-kbk=n-1X k=0a n-kbk-nX k=1a n-1-(k-1)bk=n-1X k=0a n-kbk-nX k=1a n-kbk=an-0b0-an-nbn=an-bn, ce qui achève la démonstration. On pouvait aussi se rendre compte que Pn-1 k=0an-kbk-an-1-kbk+1est une somme

télescopique (ce qui revient au même ici nous avons redémontré le calcul de la somme télescopique dans ce cas

particulier). Exemple 15 :Soita?C. Donner le développement de(a+ 1)4-a4.

II Coefficient binomial et formule du binôme de NewtonSoitn?N. On appellefactoriellen, notéen!, le produit

n! =nY i=1i= 1×2× ··· ×(n-1)×n.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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