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Pondichéry mai 2018

Exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points

Dans l'espace muni du repère orthonormé (O;⃗i;⃗j;⃗k)d'unité 1 cm, on considère les points A, B, C et D de

coordonnées respectives (2;1;4), (4;-1;0), (0;3;2) et (4;3;-2).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD).

2. Soit M un point de la droite (CD).

2.a. Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale.

2.b. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées (3;3;-1). Vérifier que les droites (BH) et

(CD) sont perpendiculaires.

2.c. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm2.

3.a. Démontrer que le vecteur

⃗n(2 1

2) est un vecteur normal au plan (BCD).

3.b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).

3.c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ passant par A et orthogonale au plan (BCD).

3.d. Démontrer que le point L d'intersection de la droite Δ et du plan (BCD) a pour coordonnées

(2 3;1 3;8 3).

4. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

Pondichéry mai 2018

CORRECTION

1. La droite (CD) est la droite passant par C(0;3;2) et de vecteur directeur ⃗CD(4

0 -4). M(x;y;z) appartient à la droite (CD) si et seulement s'il existe un réel t tel que ⃗CM=t⃗CD ⇔ ⃗OM=t⃗CD+⃗OC. On obtient pour représentation paramétrique de (CD) : (CD) {x=4.t+0 y=0.t+3 z=-4.t+2 t décrit R

2.a. La distance BM est minimale si et seulement

BM2 est minimal.

BM2=32t2-48t+36=4(8t2-12t+9).

La distance BM est minimale si et seulement si T(t)=8t2-12t+9 est minimal.

T'(t)=16t-12

T'(t)=0

⇔ t=12 16=3 4

Le coefficient de

t2 : 8 est positif donc T(t) est minimal pour t=3 4 . M (4×3

4;3;-4×3

4+2) M(3;3;-1).

2.b. B(4;-1;0) H(3;3;-1)

⃗BH(-1 4 -1) et ⃗CD(4 0 -4) Les droites (BH) et (CD) sont orthogonales, de plus H appartient à (CD) donc les droites (BH) et (CD) sont sécantes en H.

Conclusion

Les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires.

2.c. (BH) est la hauteur du triangle BCD issue de B.

L'aire ( en

cm2) du triangle BCD est égale à : 1

2×CD×BH.

CD2=42+02+(-4)2=32

1

2×CD×BH=1

2×12×2= 12 cm2

3.a. ⃗CB et ⃗CD sont deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) ⃗CB(4 -4 -2) ⃗CD(4 0 -4) ⃗n(2 1

2) est un vecteur normal au plan (BCD) si et seulement si ⃗n est orthogonal à ⃗CB et ⃗CD.

⃗CB.⃗n=4×2-4×1-2×2=8-4-4=0 ⃗CD.⃗n=4×2+0×1-4×2=8-8=0

Pondichéry mai 2018

Conclusion

⃗n est normal au plan (BCD).

3.b. M(x;y;z) appartient au plan (BCD)

⇔ ⃗BMest orthogonal à ⃗n ⇔ ⃗BM.⃗n=0 ⇔ (x-4)×2+(y+1)×1+(z-0)×2=0 ⇔ 2x-8+y+1+2z=0 ⇔ 2x+y+2z-7 = 0 .

3.c. Δ est la droite passant par A et de vecteur directeur

⃗n. {x=2×k+2 y=1×k+1 z=2×k+4 k décrit R

3.d. Pour calculer les coordonnées du point d'intersection de

Δ et du plan (BCD), on résout le système : {2x+y+2z=0 x=2k+2 y=k+1 z=2k+4

On obtient :

2×(2k+2)+k+1+2×(2k+4)-7=0 ⇔ 4k+4+k+1+4k+8-7=0 ⇔ 9k+6=0 ⇔ k=-6

9=-2 3 x=2×(-2

3)+2=-4

3+6 3=2

3, y=-2

3+1=-2

3+3 3=1

3, z=2×(-2

3)+4=-4

3+12 3=8 3 L(2 3;1 3;8 3) .

La hauteur issue de A du tétraèdre ABCD est

h=AL.

AL2=(2

3-2)2 +(1 3-1)2 +(8 3-4)2 =16 9+4 9+16 9=36

9=4 AL = 2 cm.

Le volume du tétraèdre ABCD est égal à : 1

3×2×12= 8

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