Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque PDF

12 oct. 2017 2 Dérivées successives. 5. 2.1 Définition . ... 3 Dérivée de la fonction réciproque ... taires en précisant leur ensemble de définition :.

20. Dérivées successives

Les dérivées successives des fonctions permettent entre Si les splines sont aujourd'hui massivement présents dans le domaine informatique

Dérivées successives - Formules de Taylor

De même dans une IPP les fonctions u et v doivent être de classe C1. Proposition 2. (Dérivée n + 1-ième d'un polynôme de degré n). Soit f une fonction

Recherches sur les dérivées successives des fonctions analytiques

de contribuer à l'étude de la famille des dérivées successives d'une fonction détermination des fonctions par les zéros de leurs dérivées^ le 2^ dé-.

Compléments sur les polynômes Formule de Taylor

Formule de Taylor pour un polynôme a) Dérivées successives. Dé nition 2.1 (Dérivées successives). Lorsque K = R la dérivation des fonctions polynômes

Les dérivées des fonctions méromorphes et la théorie des défauts

fonctions holomorphes ou méromorphes et leurs dérivées. Une propriété la fonction /(^)

Dérivation des fonctions

Limite de la dérivée. 3. Dérivation d'ordre supérieur. Dérivées successives. Classe Cn. Opérations. 4. Convexité d'une fonction. Fonctions convexes.

Dérivées successives

Dans ce chapitre nous allons parler des propriétés des fonctions que l'on peut dériver plusieurs fois. Nous introduirons ainsi la notion de dérivées

FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE : DÉRIVABILITÉ Les deux

dérivées successives par rapport à cette variable. dérivées première seconde et troisième de la fonction ... ses fonctions dérivées successives.

Quatre leçons sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle

sur les fonctions quasi-analytiques qui fera l'objet de la deuxième effet définies par leur valeur et celles de leurs dérivées successives.

DERNIÈRE IMPRESSION LE12 octobre 2017 à 9:08

Composition de fonctions, dérivées

successives et fonction réciproque

Table des matières

1 Dérivée de la composée2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Variation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Dérivées successives5

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Relation de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Interprétation de la dérivée seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Dérivée de la fonction réciproque7

3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone. . . . . . . . . . . . 7

3.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

1 Dérivée de la composée

1.1 Définition

Définition 1 :Fonction composée defparg

On appelleg◦fdéfinie surDfpar :g◦f(x) =g[f(x)] Remarque :Celarevientàappliquersuccessivementlafonctionfetlafonctiong. x f----→y=f(x)g----→z=g(y) =g[f(x)]=g◦f(x) Cela nécessite la conditionf?Df??Dg, i.e. :?x?Df,f(x)?Dg. soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement parf(x) =x+3 etg(x) =lnx. La fonctiong◦fest telle queg◦f(x) =ln(x+3) La fonctionfest définie surR, mais comme on applique ensuite la fonction ln, il est nécessaire d"avoirf(x)>0, soitx+3>0?x>-3.

On réduit doncDfà]-3 ;+∞[

?La composée de deux fonctions n"est pas une opération commutative. En effet dans la plupart des casg◦f?=f◦gcomme sur l"exemple suivant : Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =x-2 etg(x) =4x+3. Les deux fonctions étant définies surR, les fonctionsg◦fetf◦gsont donc aussi définies surR. On a alors : g◦f(x) =g(x-2)=4(x-2) +3=4x-5 f◦g(x) =f(4x+3)= (4x+3)-2=4x+1 Exemple :Décomposer les fonctionsf1,f2etf3suivantes en fonctions élémen- taires en précisant leur ensemble de définition : f

1(x) =1

3x-1f2(x) =?4-x2f3(x) =ln(ex+2)

f1est définie surR-?13?

et l"on décomposef1=h◦gavec : g(x) =3x-1 eth(x) =1 x f2est définie sur[-2 ; 2]et l"on décomposef2=k◦h◦gavec : g(x) =x2h(x) =4-xetk(x) =⎷ x f3est définie surRet l"on décomposef3=k◦h◦gavec : g(x) =exh(x) =x+2 etk(x) =lnx Remarque :La composition de fonctions est une opération associative : h◦(g◦f) = (h◦g)◦f=h◦g◦f

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1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

1.2 Variation d"une fonction composée

Théorème 1 :Soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement sur I etf(I). Sifetgontmême variationresp.t sur I etf(I)alors la fonctiong◦fest croissantesur I. Sifetgont desvariations opposésresp. sur I etf(I)alors la fonctiong◦f estdécroissantesur I. Démonstration :Nous ferons la démonstration pour une fonctionfcroissante sur I et une fonctiongdécroissante surf(I). fest croissante sur I :?x1,x2?I,x1On a donc :?x1,x2?I,x1g[f(x2)]

La fonctiong◦fest décroissante sur I.

Exemple :Soit la fonctionhdéfinie sur]-∞;1]parh(x) =⎷ 1-x

1) Décomposerhen deux fonctions élémentaires.

2) Déterminer les variations deh.

1) La fonctionhse décompose eng◦f, avec :f(x) =1-xetg(x) =⎷x

2) On sait que la fonction :

fest décroissante sur]-∞; 1]etf(]-∞; 1]) = [0 ;+∞[

gest croissante sur[0 ;+∞[

d"après le théorème des fonctions composées,hest décroissante sur]-∞; 1] ?Il n"est donc pas nécessaire pour ce cas particulier de déterminer le signe de la dérivée pour connaître les variations de la fonctionh.

1.3 Le théorème

Théorème 2 :Soituetvdeux fonctions dérivables respectivement sur les intervalles I et J tel queu(I)?J.

Soit la fonctionfdéfinie sur I par :f=v◦u

La fonctionfest dérivable sur I et :f?=u?×v?◦u. Démonstration :Soitaun point de I etxun point de I du voisinage dea. Calculons le taux de variation de la fonctionfena.

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1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

f(x)-f(a)

On poseX=u(x)etA=u(a), on a donc :

f(x)-f(a) x-a=v(X)-v(A)X-A×u(x)-u(a)x-a SurIlafonctionuestcontinuecardérivable,donc limx→aX=limx→au(x) =u(a) =A. Commeuetvsont dérivables respectivement sur I et J, on passe à la limite : lim

X→Av(X)-v(A)

X-A=v?(A)

lim x→au(x)-u(a)

Par produit, on a :

lim x→af(x)-f(a)x-a=u?(a)×v?(A) La fonctionfest dérivable en tout point de I, commeA=u(a), on a alors : f ?=u?×v?◦u.

1.4 Applications

Déterminer la dérivée de la fonctionf(x) =cos?x-12x+1?

On décompose la fonctionfen :???u(x) =x-1

2x+1 v(x) =cosx La fonctionuest une fonction rationnelle donc dérivable surR-? -1 2?

La fonctionvest dérivable surR.

La fonctionfest donc dérivable surR-?

-1 2? . On dérive alors la fonc- tionf: f ?(x) =u?(x)×v?◦u(x) =(2x+1)-2(x-1) (2x+1)2×? -sin?x-12x+1?? -3 (2x+1)2sin?x-12x+1? Soit la fonctionfdéfinie pour toutx?=1 par :f(x) =x2+1x-1 a) Calculer la dérivéef?de la fonctionf. b) En déduire la dérivée des fonctionsgethsuivantes : g(x) =x+1 ⎷x-1eth(x) =x4+1x2-1 a) On dérive la fonctionf:f?(x) =2x(x-1)-(x2+1) (x-1)2=x2-2x-1(x-1)2

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2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES

b) Ondécompose alorslesfonctionsgethàl"aidedelafonctionfet d"une autre fonction élémentaire. g(x) =x+1 ⎷x-1=(⎷ x)2+1⎷x-1eth(x) =x4+1x2-1=(x2)2+1(x2)-1 On pose alors les fonctionsuetvdéfinies par :u(x) =⎷ xetv(x) = x 2

On a donc :g=f◦ueth=f◦v

Ensembles de dérivation :

gest dérivable sur]0 ; 1[?]1 ;+∞[ hest dérivable surR-{-1 ; 1} On dérive alors les fonctionsgeth, à l"aide de la composée de fonc- tions : g ?(x) =u?(x)×f?◦u(x) =1

2⎷x×(⎷

x)2-2⎷x-1 (⎷x-1)2=x-2⎷ x-1

2⎷x(⎷x-1)2

h ?(x) =v?(x)×f?◦u(x) =2x×(x2)2-2(x2)-1 ((x2)-1)2=2x(x4-2x2-1)(x2-1)2

2 Dérivées successives

2.1 Définition

Définition 2 :Soit une fonctionfdérivable surD. Sa fonction dérivéef?est appelé dérivée première (ou d"ordre 1) de la fonctionfsurD. dérivée seconde (ou d"ordre 2) de la fonctionf. Par itération, pour tout natureln?2, on définit la fonction dérivéen-ième (ou d"ordren), notéef(n)comme étant la fonction dérivée de la fonction dérivée d"ordre(n-1), soit : f (n)=? f(n-1)?? Exemple :Déterminer les dérivées d"ordre 1, 2 et 3 des fonctions suivantes:

f(x) =x3-2x2+x-1

f ?(x) =3x2-4x+1 ,f??(x) =6x-4 ,f(3)(x) =6

g(x) =cos2x+sin2x

g ?(x) =-2sin2x+2cos2x,g??(x) =-4cos2x-4sin2x=-4g(x) g (3)(x) =8sin2x-8cos2x=-4g?(x)

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2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES

2.2 Relation de récurrence

Soit la fonctionfdéfinie sur]-1 ;+∞[par :f(x) =ln(x+1) a) Calculer les dérivées d"ordre 1, 2, 3 et 4. En déduire une conjecture quant à la la dérivée d"ordren. b) Démontrer par récurrence cette conjecture. a)f?(x) =1x+1f??(x) =-1(x+1)2f(3)(x) =2(x+1)3 f (4)(x) =-2×3 (x+1)4 On s"aperçoit que les dérivées successives ont alternativementun signe "+», quand l"ordre de la dérivée est impair, et un signe "-», quand l"ordre de la dérivée est pair. La puissance au dénominateur augmente de 1 à chaque fois que l"on dérive. La puissance est liée à l"ordre de la dérivée. Le coefficient du numérateur est quant à lui multiplié, à chaque dérivation, par la puissance du dénominateur. On peut raisonnablement conjecturer que : ?n?N?,f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n b) Soit la propriétéPn, pourn?1 :f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n

Initialisation :Pourn=1,f?(x) =1

x+1=(-1)00!(x+1). La propositionP1 est vérifiée. La proposition est initialisée. Hérédité :Soitn?N?, supposons quef(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n, montrons alors quef(n+1)=(-1)nn! (x+1)n+1

On rappelle que

?1 un? =-nun+1

Si l"on dérivef(n), on obtient alors :

f (n+1)=-(-1)n-1(n-1)!×n (x+1)n+1=(-1)nn!(x+1)n+1

La proposition est héréditaire.

Par initialisation et hérédité :?n?N?,f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n

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3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

2.3 Interprétation de la dérivée seconde

Définition 3 :Lorsque la dérivée secondef??d"une fonctionfest positive sur I, la fonction dérivéef?est alors croissante. La courbeCfde la fonctionfest alors toujours au dessus de sa tangente en un point quelconque de I. On dit alors que la courbeCfestconvexe. Dans le cas où la dérivée seconde est négative, la fonction dérivéef?est alors décroissante. La courbeCfest alors toujours au dessous de sa tangente, la courbe C fest ditesconcave. Lorsque la dérivée seconde s"annule enx=a, la courbe possède au pointA d"abscissex=aunpoint d"inflexion, c"est à dire que d"un côté du pointAla courbeCfest au dessus de la tangente et de l"autre côté en dessous.

Point d"inflexion

f ??(a) =0?

Concave

Convexe

La courbe est au

dessus de la tan- gentef??(x)>0La courbe est endessous de la tan-gentef??(x)<0B A I a

3 Dérivée de la fonction réciproque

3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone

Théorème 3 :Soit une fonctionfmonotone de I dansf(I) =J. La fonction fdéfinit alors une bijection de I sur J. La fonctionfadmet alors une fonction réciproque, notéef-1, monotone de J dans I telle que : y=f(x)?x=f-1(y)

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3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

Exemple :

La fonction carrée est monotone (croissante) deR+dansR+. racine carrée. La fonction exp est monotone (croissante) deRdansR?+. Elle admet une fonction réciproque deR?+dansRqui est la fonction ln. La fonction sinus est monotone (croissante) de? -π2;π2? dans[-1 ; 1]. Elle admet donc une fonction réciproque de[-1 ; 1]dans?

2;π2?

qui est la fonction arcsin ou sin -1.

Propriété 1 :On a les relations suivantes :

?x?I,f-1◦f(x) =xet?x?J,f◦f-1(x) =x Exemple :On retrouve ces relations avec les fonctions exp et ln, en effet : ?x?R, lnex=xet?x?R?+,elnx=x ?Il faut faire attention aux ensembles sur lesquelles ces relations sont définies. Théorème 4 :Soit une fonctionfmonotone de I dansf(I)=J. Les fonctionsfetf-1ont même variation respectivement sur I et J. Démonstration :Dans le cas oùfest croissante sur I. Raisonnons par l"absurde. Supposons quef-1est décroissante sur J. On a alors : ?y1>y2. Cela est contradictoire doncf-1est croissante sur J.

3.2 Représentation graphique

Propriété 2 :La représentation graphique de la fonctionf-1est symétrique, par rapport à la première bissectrice (droite d"équationy=x), à la représentation de la fonctionf.

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3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

y=x Cf Cf-1 xy x y? ?M M"

3.3 Dérivabilité

Théorème 5 :Soit la fonctionfmonotone et dérivable de I dansf(I) =J et si f ?(x)?=0 sur I, alors sa fonction réciproquef-1est dérivable de J dans I et : f-1??=1 f?◦f-1 ?L"hypothèsef?(x)?=0 estimportanteenraisondudénominateurpour?f-1??

Exemple :

tion exp. Comme la fonction ln est la réciproque de la fonction exp, on a alors : ln ?(x) =1 exp?◦ln(x)=1exp◦ln(x)=1x

Soit la fonction sin qui est croissante de?

-π2;π2? sur[-1 ; 1]. Elle admet une fonction réciproque, arcsin, croissante de[-1 ; 1]sur?

2;π2?

La fonction sinus est dérivable sur

2;π2?

et sin?=cos qui est stricte- ment positif de?

2;π2?

sur]-1 ; 1[. La fonction arcsin est donc dérivable sur]-1 ; 1[et : arcsin ?(x) =1 cos◦arcsin(x)?=1?

1-sin2[arcsin(x)]=1

⎷1-x2 * car cos

2x=1-sin2xet comme cosx>0, on a : cosx=?

1-sin2x

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[PDF] Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque

Composition de fonctions, dérivées

Table des matières

1 Dérivée de la composée2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Variation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Dérivées successives5

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Relation de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Interprétation de la dérivée seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Dérivée de la fonction réciproque7

3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone. . . . . . . . . . . . 7

3.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

1 Dérivée de la composée

1.1 Définition

Définition 1 :Fonction composée defparg

On réduit doncDfà]-3 ;+∞[

1(x) =1

3x-1f2(x) =?4-x2f3(x) =ln(ex+2)

f1est définie surR-?13?

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1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

1.2 Variation d"une fonction composée

La fonctiong◦fest décroissante sur I.

1) Décomposerhen deux fonctions élémentaires.

2) Déterminer les variations deh.

1) La fonctionhse décompose eng◦f, avec :f(x) =1-xetg(x) =⎷x

2) On sait que la fonction :

gest croissante sur[0 ;+∞[

1.3 Le théorème

Soit la fonctionfdéfinie sur I par :f=v◦u

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1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE

On poseX=u(x)etA=u(a), on a donc :

X→Av(X)-v(A)

X-A=v?(A)

Par produit, on a :

1.4 Applications

On décompose la fonctionfen :???u(x) =x-1

La fonctionvest dérivable surR.

La fonctionfest donc dérivable surR-?

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2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES

On a donc :g=f◦ueth=f◦v

Ensembles de dérivation :

2⎷x×(⎷

2⎷x(⎷x-1)2

2 Dérivées successives

2.1 Définition

f(x) =x3-2x2+x-1

g(x) =cos2x+sin2x

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2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES

2.2 Relation de récurrence

Initialisation :Pourn=1,f?(x) =1

On rappelle que

Si l"on dérivef(n), on obtient alors :

La proposition est héréditaire.

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3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

2.3 Interprétation de la dérivée seconde

Point d"inflexion

Concave

Convexe

La courbe est au

3 Dérivée de la fonction réciproque

3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone

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3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

Exemple :

2;π2?

Propriété 1 :On a les relations suivantes :

3.2 Représentation graphique

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3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

f1est définie surR-?13?

gest croissante sur[0 ;+∞[

f(x) =x3-2x2+x-1

g(x) =cos2x+sin2x

Soit la fonction sin qui est croissante de?