Dérivation des fonctions PDF Limite de la dérivé

12 oct. 2017 2 Dérivées successives. 5. 2.1 Définition . ... 3 Dérivée de la fonction réciproque ... taires en précisant leur ensemble de définition :.

20. Dérivées successives

Les dérivées successives des fonctions permettent entre Si les splines sont aujourd'hui massivement présents dans le domaine informatique

Dérivées successives - Formules de Taylor

De même dans une IPP les fonctions u et v doivent être de classe C1. Proposition 2. (Dérivée n + 1-ième d'un polynôme de degré n). Soit f une fonction

Recherches sur les dérivées successives des fonctions analytiques

de contribuer à l'étude de la famille des dérivées successives d'une fonction détermination des fonctions par les zéros de leurs dérivées^ le 2^ dé-.

Compléments sur les polynômes Formule de Taylor

Formule de Taylor pour un polynôme a) Dérivées successives. Dé nition 2.1 (Dérivées successives). Lorsque K = R la dérivation des fonctions polynômes

Les dérivées des fonctions méromorphes et la théorie des défauts

fonctions holomorphes ou méromorphes et leurs dérivées. Une propriété la fonction /(^)

Dérivation des fonctions

Limite de la dérivée. 3. Dérivation d'ordre supérieur. Dérivées successives. Classe Cn. Opérations. 4. Convexité d'une fonction. Fonctions convexes.

Dérivées successives

Dans ce chapitre nous allons parler des propriétés des fonctions que l'on peut dériver plusieurs fois. Nous introduirons ainsi la notion de dérivées

FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE : DÉRIVABILITÉ Les deux

dérivées successives par rapport à cette variable. dérivées première seconde et troisième de la fonction ... ses fonctions dérivées successives.

Quatre leçons sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle

sur les fonctions quasi-analytiques qui fera l'objet de la deuxième effet définies par leur valeur et celles de leurs dérivées successives.

Dérivation des fonctions

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannée

Sommaire

1Dérivabilité en un point

Nombre dérivé

Dérivabilité à gauche/à droite

Interprétation graphique

Fonctions à valeurs complexes

2Dérivabilité sur un intervalle

Opérations

Dérivation d"une réciproque

Extremum d"une fonction

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis

Dérivée et variations

Limite de la dérivée3Dérivation d"ordre supérieur

Dérivées successives

ClasseCnOpérations

4Convexité d"une fonction

Fonctions convexes

Point d"inflexion

5Compléments

Règle de L"Hospital

Sommaire

1Dérivabilité en un point

Nombre dérivé

Dérivabilité à gauche/à droite

Interprétation graphique

Fonctions à valeurs complexes

2Dérivabilité sur un intervalle

3Dérivation d"ordre supérieur

4Convexité d"une fonction

5Compléments

1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé

Dans ce qui suit, sauf indication contraire,Idésigne un intervalle deRnon

réduit à un point,fune application deIdansRetx0un point deI.Définition 1.1 (Dérivabilité)

Pour tout x?I\{x0}, on appelletaux d"accroissement defffentrex0x0x0etxxx le rapportτx0(x) =f(x)-f(x0)x-x0. On dit que f estdérivable enx0x0x0si l"applicationτx0admet une limitefinieen x0.

On note alors cette limite f

?(x0)f?(x0)f?(x0)et on l"appelle lenombre dérivé defffenx0x0x0: f ?(x0) = limx→x0x?=x0f(x)-f(x0)x-x0= limh→0 h?=0f(x0+h)-f(x0)h Si x

0est une borne de l"intervalle I, la limite deτx0en x0est supposée être une

limite à gauche ou une limite à droite selon le cas de figure.1

1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé

Corollaire 1.2 (Dérivabilité=?=?=?continuité)Si une fonction f estdérivableen x0alors f estcontinueen x0.

Attention, laréciproquede cette implication estfausse. Par exemple, pour

f(x) =|x|et x0=0, la fonction f estcontinuemaispas dérivableen x0.Exemple 1.3 (Fonction puissance)

Soitn?N,f(x) =xnetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) =nxn-1 0:

0-→x→x0nxn-1

0; f(x0+h)-f(x0)h =(x0+h)n-xn0h =n 1 x n-1 0+n 2 x n-2

0h+···+n

n h n-1-→h→0nxn-1

0.Exemple 1.4 (Fonction sinus)

Soitf(x) = sinxetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) = cosx0.

En effet, à l"aide delimh→0sinhh

=1 etlimh→0cosh-1h =0 : f(x)-f(x0)x-x0=sinx-sinx0x-x0=2cosx+x02 sinx-x02 x-x0-→x→x0cosx0; +cosx0sinhh h→0cosx0.2

1. Dérivabilité en un pointb) Dérivabilité à gauche, à droite

Définition 1.5 (Dérivabilité à gauche, à droite) On dit que f estdérivable à gauche enx0x0x0(resp.dérivable à droite enx0x0x0) lorsque x0admet une limitefinieà gauche en x0(resp. une limitefinieà droite en x0).

On note alors f

?g(x0) = lim x→x-

0f(x)-f(x0)x-x0et f?d(x0) = lim

x→x+

0f(x)-f(x0)x-x0.Proposition 1.6

Si f est définiedans un voisinage dex0x0x0:

f estdérivableen x0ssi f estdérivable à gauche et à droiteen x0et f ?g(x0)=f?d(x0).

On a alors f

?(x0) =f?g(x0) =f?d(x0).Exemple 1.7 (Valeur absolue)

Soitfla fonction "valeur absolue» :f(x) =|x|.

On a f(x)-f(0)x +1 six>0 -1 six<0puislim x→0+f(x)-f(0)x =+1,lim x→0-f(x)-f(0)x =-1. Ainsifest dérivableà droite et à gaucheen 0 :f?d(0) = +1 etf?g(0) =-1, maisf?g(0)?=f?d(0)doncfn"estpasdérivable en 0.3

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Définition 1.8 (Tangente)

On munit le plan d"un repère orthonormal.

1Si f est une fonctiondérivableen x0, la droite

d"équation y=f?(x0)(x-x0) +f(x0)est appeléetangenteà la courbe représentative de f au point d"abscisse x 0.

C"est la position limite descordesreliant

un point de la courbe M(x,f(x))au point M

0(x0,f(x0))lorsque M tend vers M0.x

0xf(x0)f(x)M

Dans le cas d"unedérivabilitéde f

uniquementà gauche ou à droiteen x0, on parle dedemi-tangente.2Dans le cas oùlim x→x-

0ou x+

0f(x)-f(x0)x-x0=±∞, on dit que la courbe représentative

de f admet unedemi-tangente verticaleen x0.3Si f estcontinueen x0etdérivable à gauche et à droiteen x0avec f?g(x0)?=f?d(x0)

on dit que la courbe représentative de f admet unpoint anguleuxen x0.4

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Proposition 1.9 (Approximation affine)

Supposons fdérivableen x0. Alors il existe une applicationεdéfinie dans un voisinage de x

0aveclimx0ε=0telle que

au voisinage de x

0,f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x).x

0f(x0)xMf(x)f(x0)+f0(x0)(xx0)f

0(x0)(xx0)"(x)(xx0)C

fT La droiteTd"équation y=f(x0) +f?(x0)(x-x0)est latangenteà la courbe représentativeCfde f (cf. Définition1.8 ). Remarque :la relation f(x) =x→x0f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x)est appelée développement limité d"ordre 1 defffenx0x0x0(cf. chapitre " Développements limités »).5

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Exemple 1.10 (Raccord dérivable)

Soitf(x) =(

x2six61, -x2+4x-2 six>1. fest continue surR; on af(x)-f(1)x-1=( x+1 six<1, -x+3 six>1, puislimx→1 x<1f(x)-f(1)x-1= limx→1 x>1f(x)-f(1)x-1=2; doncfest dérivable à droite et à gauche en 1 et f ?g(1)=f?d(1)=2. Ainsifest dérivable en 1 etf?(1)=2; la courbe admet la droite d"équationy=2x-1 pourtangenteau point de coordonnées(1,1).xf(x)11 Exemple 1.11 (Fonctions non dérivables en un point)

1Soitg(x) =3⎷x. On alimx→0g(x)-g(0)x

donc la courbe admet unetangente verticaleen l"origine.xy y=3px

2Soith(x) =|sinx|. On alim

x→0±h(x)-h(0)x =±1 donc la courbe admet unpoint anguleuxen l"origine.xy y=jsinxj 6

1. Dérivabilité en un pointd) Fonctions à valeurs complexes

On peut étendre la notion de dérivabilité aux fonctions definies surRà valeurs

dansCen utilisant les limites complexes des fonctions deRdansC.Proposition 1.12 (Dérivée d"une fonction à valeurs complexes)

Soit f une fonction de I dansCtelle que f(x) =f1(x) +if2(x), où f1et f2sont deux fonctions de I dansRet x0?I.

La fonction f est dérivable en x

0ssi f1et f2le sont, et l"on a alors

f ?(x0) =f?1(x0) +if?2(x0).Proposition 1.13 (Dérivation de l"exponentielle complexe) Rappelons que pour tout z=a+ib?C,ez=ea(cosb+isinb)(exponentielle complexe). Soitλ?Cet f définie par?x?R,f(x) =eλx. Alors ?x?R,f?(x) =λeλx.7

Sommaire

1Dérivabilité en un point

2Dérivabilité sur un intervalle

Opérations

Dérivation d"une réciproque

Extremum d"une fonction

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis

Dérivée et variations

Limite de la dérivée

3Dérivation d"ordre supérieur

4Convexité d"une fonction

5Compléments

2. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations

Définition 2.1 (Dérivabilité sur un intervalle) On dit qu"une fonction f estdérivable sur un intervalle Ilorsque f est dérivable en tout point de I. On note f

?lafonction dérivéede f qui à tout x?I associe f?(x).Proposition 2.2 (Addition, multiplication, division)

Soit f et g deux fonctionsdérivablessur un intervalle I etλ?R. Les fonctionsλf , f+g, f×g sont alorsdérivablessur I et l"on a :

Si g ne s"annule pas sur I,

fg est aussidérivablesur I etfg =f?g-fg?g

2.Exemple 2.3 (Fonctions homographiques)

Soita,b,c,d?R,cétantnon nul.On définit la fonctionfpar f(x) =ax+bcx+d.

Son ensemble de définition estDf=R\{-dc

La fonctionfestdérivablesurDfcomme quotient de fonctions dérivables et f ?(x) =ad-bc(cx+d)2. Remarque :fest constante ssi les couples(a,b)et(c,d)sont proportionnels.8

2. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations

Proposition 2.4 (Composition)

Soit I et J deux intervalles, f une fonction de I dans J et g une fonction de J dansR. Si f estdérivablesur I et g estdérivablesur J alors g◦f estdérivablesur I et l"on a laformule de dérivation d"une fonction composée: (g◦f)?=f?×(g?◦f).Exemple 2.5 (Composées usuelles)

Lorsque les conditions le permettent, on a :

•(ef)?=f?ef•(ln|f|)?=f?f •(fα)?=αf?fα-1

2fRemarque 2.6

Les conditionsfetgdérivables sontsuffisantesmaisnon nécessairespour queg◦fsoit dérivable.

Par exemple, soitaetbdeux réels et

f(x) =axsix60 bxsix>0etg(x) =bxsix60 axsix>0. La fonctionh=f◦g=g◦fest définie parh(x) = (ab)x. Ainsi, lorsquea?=b,fetgnesontpasdérivables en 0 alors quehl"est.xyy=f(x)y=g(x)y=(gf)(x)O 9

2. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque

Théorème 2.7 (Dérivation d"une bijection réciproque) Soit f une applicationcontinue et strictement monotonesur un intervalle I. Elle induit unebijectionde I sur f(I)que l"on notera encore f .xy ax

0bf(a)y

0f(b)f

0(x0)ax

0b f(a)y

0f(b)1

f 0(x0) y=f(x)y=f1(x)1Supposons fdérivableen x0?I.

Si f?(x0)?=0alors f-1estdérivable

en y

0=f(x0)et l"on a

f-1?(y0) =1f ?(x0)=1f ?(f-1(y0)).

Si f?(x0) =0alors f-1n"estpas

dérivableen y0=f(x0)et sa courbe représentative présente une (demi-)tangente verticaleau point d"abscisse y

Alors f

-1est dérivable en y0=f(x0), (f-1)?(y0) =0et sa courbe représentative présente unetangente horizontaleau point d"abscisse y0.10

2. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque

Exemple 2.8 (Fonctions trigonométriques réciproques) arcsinest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arcsin?(x) =1⎷1-x2. arccosest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arccos?(x) =---1⎷1-x2. arctanest dérivable surRet ?x?R,arctan?(x) =11+x2.xy 2

2y= tanx

2 2 y= arctanxxy 11 y= cosx

11y= arccosxxy

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Dérivation des fonctions

Aimé Lachal

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Sommaire

1Dérivabilité en un point

Nombre dérivé

Dérivabilité à gauche/à droite

Interprétation graphique

Fonctions à valeurs complexes

2Dérivabilité sur un intervalle

Opérations

Dérivation d"une réciproque

Extremum d"une fonction

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis

Dérivée et variations

Dérivées successives

ClasseCnOpérations

4Convexité d"une fonction

Fonctions convexes

Point d"inflexion

5Compléments

Règle de L"Hospital

Sommaire

1Dérivabilité en un point

Nombre dérivé

Dérivabilité à gauche/à droite

Interprétation graphique

Fonctions à valeurs complexes

2Dérivabilité sur un intervalle

3Dérivation d"ordre supérieur

4Convexité d"une fonction

5Compléments

1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé

On note alors cette limite f

0est une borne de l"intervalle I, la limite deτx0en x0est supposée être une

1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé

0-→x→x0nxn-1

0h+···+n

0.Exemple 1.4 (Fonction sinus)

En effet, à l"aide delimh→0sinhh

1. Dérivabilité en un pointb) Dérivabilité à gauche, à droite

On note alors f

0f(x)-f(x0)x-x0et f?d(x0) = lim

0f(x)-f(x0)x-x0.Proposition 1.6

Si f est définiedans un voisinage dex0x0x0:

On a alors f

Soitfla fonction "valeur absolue» :f(x) =|x|.

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Définition 1.8 (Tangente)

On munit le plan d"un repère orthonormal.

1Si f est une fonctiondérivableen x0, la droite

C"est la position limite descordesreliant

0(x0,f(x0))lorsque M tend vers M0.x

0xf(x0)f(x)M

Dans le cas d"unedérivabilitéde f

0ou x+

0f(x)-f(x0)x-x0=±∞, on dit que la courbe représentative

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Proposition 1.9 (Approximation affine)

0aveclimx0ε=0telle que

0,f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x).x

0f(x0)xMf(x)f(x0)+f0(x0)(xx0)f

0(x0)(xx0)"(x)(xx0)C

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Exemple 1.10 (Raccord dérivable)

Soitf(x) =(

1Soitg(x) =3⎷x. On alimx→0g(x)-g(0)x

2Soith(x) =|sinx|. On alim

1. Dérivabilité en un pointd) Fonctions à valeurs complexes

La fonction f est dérivable en x

0ssi f1et f2le sont, et l"on a alors

Sommaire

1Dérivabilité en un point

2Dérivabilité sur un intervalle

Opérations

Dérivation d"une réciproque

Extremum d"une fonction

Théorème de Rolle