20. Dérivées successives PDF Les dérivées successives

12 oct. 2017 2 Dérivées successives. 5. 2.1 Définition . ... 3 Dérivée de la fonction réciproque ... taires en précisant leur ensemble de définition :.

20. Dérivées successives

Les dérivées successives des fonctions permettent entre Si les splines sont aujourd'hui massivement présents dans le domaine informatique

Dérivées successives - Formules de Taylor

De même dans une IPP les fonctions u et v doivent être de classe C1. Proposition 2. (Dérivée n + 1-ième d'un polynôme de degré n). Soit f une fonction

Recherches sur les dérivées successives des fonctions analytiques

de contribuer à l'étude de la famille des dérivées successives d'une fonction détermination des fonctions par les zéros de leurs dérivées^ le 2^ dé-.

Compléments sur les polynômes Formule de Taylor

Formule de Taylor pour un polynôme a) Dérivées successives. Dé nition 2.1 (Dérivées successives). Lorsque K = R la dérivation des fonctions polynômes

Les dérivées des fonctions méromorphes et la théorie des défauts

fonctions holomorphes ou méromorphes et leurs dérivées. Une propriété la fonction /(^)

Dérivation des fonctions

Limite de la dérivée. 3. Dérivation d'ordre supérieur. Dérivées successives. Classe Cn. Opérations. 4. Convexité d'une fonction. Fonctions convexes.

Dérivées successives

Dans ce chapitre nous allons parler des propriétés des fonctions que l'on peut dériver plusieurs fois. Nous introduirons ainsi la notion de dérivées

FONCTIONS DUNE VARIABLE RÉELLE : DÉRIVABILITÉ Les deux

dérivées successives par rapport à cette variable. dérivées première seconde et troisième de la fonction ... ses fonctions dérivées successives.

Quatre leçons sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle

sur les fonctions quasi-analytiques qui fera l'objet de la deuxième effet définies par leur valeur et celles de leurs dérivées successives.

20. Dérivées successives

Ce chapitre vient compléter le chap

itre 9 sur la dérivation vu au premier semestre. On introduit ici la notion de dérivée s successives d'une fonction, i.e. la dérivée de la dérivée, puis la dérivée de cette dernière fonc tion, etc. Les dérivées successives des fonctions permettent, entre autres et via l'utilisation des théo rèmes de Taylor et des développeme nts limités, une description très précise des comportements asymptotiq ues des fonctions réelles.

20.1Dérivéesp-ièmes

20.1.1Définitions

Dé fi nition 20.1.1 - Fonction de classeC p .Soitfune application réelle définie sur un intervalleIdeRetp ∈N. On dit quefestde classe C p sur

Isifest continue, on pose alors

f (0) f, et, pour toutk ∈�0,p -1�, l'applicationf k est dérivable, de dérivée continue, on pose alors f k 1) f k . On note C p (I,R) l'ensemble des applications de classe C p sur I. Dé fi nition 20.1.2 - Fonction de classeC .Soitfune application réelle définie sur un intervalle I deR. On dit que f est de classe C sur I si, pour tout p ∈N, f est de classe C p .v Dé fi nition 20.1.3 - Fonction dérivablepfois en un point.Soientfune application réelle dé fi nie sur un sous-ensembleIdeR,x 0

Ietp ∈N

. On dit quefest dérivablepfois enx 0 s'il existe un voisinage J de x 0 tel que f est de classe C p 1 sur J et f p 1) est dérivable en x 0 R

On parle également de l'ensembleD

p (I,R) des fonctionspfois dérivables en tout point deI mais dont les dérivéesp-ième ne sont pas forcément continue s. On a ainsi l'emboîtement suivant de sous-ensembles de R I : C p 1 (I, R D p 1 (I,R) C p (I, R D p (I, R

Exercice 20.1Soitn ∈N. Montrer que la dérivée (n+1)-ème d'un polynôme de degré au

plus n est nulle.■

242Chapitre 20. Dérivées successives

Exercice 20.2Montrer que les applicationsexp,cos,sinetX n sontC surRet déterminer toutes leurs dérivées successives.■

20.1.2Opérations algébriques

Théorème 20.1.1 - Structure d'espace vectoriel.SoientI ⊂Retp ∈N. Les ensembles C p (I,R) et C (I,R) sont desR-ev. Exercice 20.3Démontrer le théorème.■ Théorème 20.1.2 - Formule de Leibniz.SoientI ⊂R,p ∈N, etfetgdeux applications réelles de classe C p sur I (resp. C ). Alors f g est de classe C p sur I (resp. C ) et on a : x I, ( f g p x p k 0 p k f k x g p k x Exercice 20.4Démontrer le théorème.■

20.1 Dérivéesp-ièmes243

Exercice 20.5 - Polynômes de Laguerre.Onposepourtoutn ∈Net∀x ∈R,f n (x)=e x x n et L n x e x f n )n x ). Montrer que L n ∈R[X] et que son terme dominant es t (-1) n X n Théorème 20.1.3 - Théorème de composition.SoientI,J ⊂R,p ∈N,fune application réelle de classe C p surI(resp.C ) etgune application réelle de classeC p surJ(resp.C telle que g (J)

I. Alors

f g est de classe C p sur I (resp. C Exercice 20.6Démontrer le théorème.■ Corollaire 20.1.4 - Quotient.SoientI⊂R,p ∈N,fetgdeux applications réelles de classe C p surI(resp.C ) telles quegne s'annule pas surI. Alors f g est une application réelle de classe C p sur I (resp. C

Démonstration.

Comme l'applicationx �→

1 x estC sur son ensemble de dé fi nition, il résulte du théorème de composition que 1 g est de classeC p surI. On conclut ensuite via le théorèm e de la formule de Leibniz.■

20.1.3Culture G : Les splines

Vous n'avez probablement jamais entendu parlé des splines et pourtant on les trouve au-

jourd'hui partout. D'ailleurs, en lisant ces lignes, ce sont des splines que vous regardez. En effet,

le format pdf qui est le support de ce cours utilise des splines pour le rendu graphique de la plupart de son contenu. Une spline est une fonction polynomiale par morceaux, pour laquelle chaque morceau est collé bout à bout de manière à ce que la fonction globale ob tenue soit de classe C 2 . Leur evouslisezparexemple) qui paraissent totalement lisses pour un utilisateur humain, quelque soit l'éc helle (si vous zoomez les lettres ne seront pas pixelisées ), et ceci de manière économe en espace de stockage comme en puissance de calcul. Si les splines sont aujourd'hui massivement présents dans le domaine infor matique, leur développement est dû à l'industr ie automobile française. Dans les années 60, Pierre Béziers, ingénieur chez Renault, popularisait des splines connues aujourd'hui sous le nom de courbe

244Chapitre 20. Dérivées successives

de Béziers, alors que le mathématicie n Paul de Casteljau étudiait ces mêmes courbes pour le compte de Citroën. Cela fournit un bon exemple d'une technologie qui, initialement conçue pour un domaine très spéciquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Composition de fonctions dérivées successives et fonction réciproque