[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION Dire que est monotone signifie





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FONCTIONS AFFINES (Partie 2)

3) Accroissements. Propriété des accroissements : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de la droite (d) représentant la fonction f définie par.



Fonctions affines

III) Propriétés du coefficient directeur. 1) Proportionnalité des accroissements. Propriété : Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.



1 Définition et premi`eres propriétés.

Le but de ce chapitre est d'étudier parall`element quelques propriétés du mouvement Brownien et des pro- cessus `a accroissements stationnaires et indépendants 



6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Exercice 6.28. Montrer que pour tout x ? R on a



Chapitre 8 Le Mouvement Brownien

alors la propriété d'accroissements indépendants revient `a dire que pour tout Considérons un processus gaussien `a accroissements indépendants centré.



Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis

g(x) = e. Solution de l'exercice 11. On consid`ere la propriété. (?n) fg est au moins n 



Processus Gaussiens

Définition propriétés



VARIATIONS DUNE FONCTION

Dire que est monotone signifie que est soit croissante soit décroissante. Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ? ...



FICHE METHODE sur les FONCTIONS USUELLES I) A quoi servent

4) Une fonction est constante si et seulement si sa courbe est une droite parallèle à l'axe (ox) . ? Propriété 2 : ( PROPORTIONNALITE des ACCROISSEMENTS). Une 



Calcul stochastique libre : processus `a accroissements libres

en géométrie non commutative : on essaye de transporter des propriétés de `a accroissements indépendants en calcul stochastique tels que le mouvement.



[PDF] 63 Théorème de Rolle et des accroissements finis

Notons que les fonctions dérivées partagent des propriétés des fonctions continues même si elles ne le sont pas nécessairement (plus haut dans ces notes on a 



[PDF] 18 Le théorème des accroissements finis

On en déduit une première extension du théorème des accroissements finis pour les fonctions définies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé E à valeurs dans 



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Exercice 10 (a) A l'aide du théor`eme des accroissements finis montrer que ?x > 0 1 x + 1 < ln(x + 1) ? ln x



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe 



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L'inégalité des accroissements finis et son dessin Théor`eme IAF Soit f dérivable sur I := [ab] avec a < b et m et M deux nombres réels On suppose



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Théorème des accroissements finis • Pour établir une propriété du type



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27 jui 2016 · El teorema del valor medio constituye una situación paradigmática que permite observar no solo las expectativas de los autores del currículo



Théorème et inégalité des accroissements finis Formule de Taylor

On remarque que plus qu'une application de l'inégalité des accroissements finis il s'agit de propriétés concernant d'une part les applications contractantes 



[PDF] Gradient - Théorème des accroissements finis - Exo7

GRADIENT – THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS ce qui signifie que le gradient est orthogonal au vecteur tangent C'est une propriété purement

  • Pourquoi le théorème des accroissements finis ?

    Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles
    Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute droite sécante en deux points à une courbe différentiable, il existe, entre ces deux points, une tangente parallèle à la sécante.

  • Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

    L'inégalité des accroissements finis se généralise aux fonctions de plusieurs variables. Théorème : Soit U un ouvert de Rn et f:U?Rp f : U ? R p . Soit a et b deux points de U tels que le segment [a,b] soit contenu dans U .

  • Comment étudier la Dérivabilité d'une fonction en un point ?

    Soit f : [a, b] ? R une fonction. (1) Soit x0 ?]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.
  • On dit qu'une fonction est dérivable en �� = �� ? si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en �� = �� ? à gauche ou à droite respectivement.

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VARIATIONS D'UNE FONCTION

Tout le cours sur les variations en vidéo : https://youtu.be/i8aYSIidNlk Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes

1. Définitions

On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par =5- Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :

Sur l'intervalle [0;2,5], on

monte, on dit que la fonction est croissante.

Sur l'intervalle [2,5;5], on

descend, on dit que la fonction est décroissante. est décroissante sur 2,5;5

Si augmente (3<4),

alors () diminue ((3)>(4)). est croissante sur 0;2,5

Si augmente (1<2),

alors ()augmente ((1)<(2)).

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Définitions : Sur un intervalle ,

- une fonction est croissante, - une fonction est décroissante, si < alors . si < alors

Remarques :

• Pour une fonction constante : on a toujours • Dire que est monotone signifie que est soit croissante, soit décroissante. • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw

Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts

2. Maximum et minimum

Exemple : On reprend la fonction définie dans l'exemple de la partie 1.

Sur l'intervalle [0;5], on a :

2,5 =6,25. On dit que 6,25 est le maximum de la fonction . Ce maximum est atteint en 2,5.

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Définitions : Sur un intervalle ,

- une fonction admet un maximum en , si pour tout , - une fonction admet un minimum en , si pour tout ,

Remarque : Un minimum ou un maximum

s'appelle un extremum.

TP avec Python :

Approcher un extremum par la méthode du balayage

3. Tableau de variations

Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le tableau de variations

Vidéo https://youtu.be/yGqqoBMq8Fw

On considère la représentation graphique la fonction :

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle la fonction est-elle définie ? b) Donner les variations de la fonction. c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. d) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.

Correction

a) La fonction est définie sur [-5;7]. b) La fonction est croissante sur les intervalles [-4;0] et [5;7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5;-4] et [0;5]. c) Le maximum de est 3,5. Il est atteint en =0. Le minimum de est -4. Il est atteint en =-4 . d)

Partie 2 : Cas des fonctions affines

1. Définitions

Définitions : Une fonction affine est définie sur ℝ par =+, où et sont deux nombres réels. Lorsque =0, la fonction définie par = est une fonction linéaire.

Exemples :

• Fonction affine : =-+6 • Fonction linéaire :

2. Variations

Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝpar

Si >0, alors est croissante.

Si <0, alors est décroissante.

Si =0, alors est constante.

Démonstration :

Soient et deux nombres réels tels que <.

On sait que < donc ->0.

Le signe de

est le même que celui de .

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Si >0, alors > 0 soit

Donc est croissante.

- Si =0, alors = 0 soit

Donc est constante.

- Si <0, alors < 0 soit

Donc est décroissante.

Méthode : Déterminer les variations d'une fonction affine

Vidéo https://youtu.be/9x1mMKopdI0

Déterminer les variations des fonctions affines suivante : a) =3+2 b) =7-6 c) ℎ

Correction

1)

=3+2 >0 donc est croissante.

2)

=7-6=-6+7 <0 donc est décroissante.

3) ℎ

=-=-1 <0 donc ℎ est décroissante.

3. Représentation graphique

Propriétés :

- Une fonction affine est représentée par une droite. - Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Soit la fonction affine définie par ()=+. s'appelle le coefficient directeur s'appelle l'ordonnée à l'origine. Méthode : Déterminer graphiquement une fonction affine

Vidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY

Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg

Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik

Déterminer graphiquement l'expression des fonctions et représentées respectivement

par les droites (d) et (d').

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Correction

Ce nombre s'appelle le coefficient directeur.

Si on avance de 1 : on monte de .

Ce nombre s'appelle l'ordonnée à l'origine.

- se lit sur l'axe des ordonnées.

Pour (d) : Le coefficient directeur est 2

L'ordonnée à l'origine est -2

L'expression de la fonction est :

=2-2

Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5

L'ordonnée à l'origine est -1

L'expression de la fonction est :

=-0,5-1 Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ℝ par =+ et deux nombres réels distincts et .

Alors : =

Démonstration :

Comme ≠, et on a : =

Remarque : Dans le calcul de ,inverser et n'a pas d'importance.

En effet :

Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affine

Vidéo https://youtu.be/ssA9Sa3yksM

Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4

Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (-2)=4 et (3)=1.

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Correction

est une fonction affine, donc elle s'écrit sous la forme : • Calcul de : On a (-2)=4 et (3)=1, donc d'après la propriété des accroissements :

Donc :

• Calcul de b :

On a par exemple : (3)=1, donc :

×3+=1

+=1 =1+ 9 5 5 5 9 5 • D'où :

Partie 3 : Cas des fonctions de référence

1. Variations de la fonction carré

Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8

Propriété :

La fonction carré est décroissante sur l'intervalle -∞;0 et croissante sur l'intervalle

0;+∞

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Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/gu2QnY8_9xk

On pose :

- Soit et deux nombres réels quelconques positifs tels que <. Or ->0, ≥0 et ≥0 donc ≥0 ce qui prouve que est croissante sur l'intervalle

0;+∞

- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue en choisissant et deux nombres réels quelconques négatifs tels que <.

2. Variations de la fonction inverse

Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y

Propriété :

La fonction inverse est décroissante sur

l'intervalle -∞;0 et décroissante sur l'intervalle

0;+∞

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/cZYWnLA30q0

On pose :

- Soit et deux nombres réels strictement positifs avec <. 0 0'/ 0/ Or >0, >0 et -<0. Donc f est ainsi décroissante sur l'intervalle

0;+∞

- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue. Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe, on a alors : 1 1 En effet, la fonction inverse étant décroissante, l'ordre est renversé.

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre une inéquation avec la fonction inverse

Vidéo https://youtu.be/7K0171Zj5Rw

Résoudre l'inéquation suivante pour tout strictement positif : 4 +2<5

Correction

4 +2<5 4 <5-2 4 <3 1 3 4 1 4 3 4 3 4 3 ;+∞W

3. Variations de la fonction racine carrée

Vidéo https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/1EUTIClDac4

On pose :

Soit et deux nombres réels positifs tels que <. 1 0 31
/4 0 3 /4 0 0 /4 0 /'0 /4 0 Or >0 et ->0. Donc >0

Donc

Ce qui prouve que f est croissante sur l'intervalle

0;+∞

← On divise de part et d'autre par 4. ← On applique la propriété donnée plus haut.

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Si et sont deux nombres réels positifs, on a alors : En effet, la fonction racine carrée étant croissante, l'ordre est conservé.

4. Variations de la fonction cube

Vidéo https://youtu.be/PRSDu_PgCZA

Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.

Propriété : <éà

En effet, la fonction cube étant croissante, l'ordre est conservé. Méthode : Ordonner des nombres avec la fonction cube

Vidéo https://youtu.be/8h8uAq0wH1A

Sans calculatrice, ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : 1 8 4 -5 Z 2 3 1 8

Correction

On a :

1 8 1 2 1 2 =Z 1 2 -5 =(-5) 1 8 =Z- 1 2

La fonction cube conserve l'ordre.

Donc, pour ranger dans l'ordre croissant les nombres : Z 1 2 4 (-5) Z 2 3 Z- 1 2 il suffit de ranger dans l'ordre croissant ces nombres sans l'exposant 3.

Soit, à ranger :

1 2 4-5 2 3 1 2 Or :

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr -5<- 1 2 1 2 2 3 <4

Donc :

-5 Soit : -5 1 8 1 8 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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