[PDF] Chapitre 8 Le Mouvement Brownien

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Chapitre 8

Le Mouvement Brownien

Ce chapitre est consacre a une presentation elementaire du mouvement brownien. Nous avons introduit dans le chapitre precedent le processus de Pois- son, dont nous avons vu que c'est un processus a accroissements independants homogenes surN. Le mouvement brownien est lui un processus a accroisse- ments independants homogenes surR. Mais c'est de plus un processus dont les trajectoires sont continues. De la m^eme maniere que le processus de Poisson est l'outil elementaire pour construire les processus de Markov a temps continu sur un ensemble ni ou denombrable, le mouvement brownien est la brique fondamentale pour construire les processus de Markov continus (surRouRn), qu'on appelle les diusions. Mais nous n'allons pas parler de cet aspect ici, car cela nous entra^nerait trop loin. Nous montrerons cependant (au paragraphe

5) qu'il permet de construire les processus gaussiens stationnaires.

1 Le mouvement brownien : construction

Dans tout ce chapitre, nous appelerons processus une famille de variables aleatoires reelles (Xt;t2R+). On dit qu'un tel processus est gaussien si, pour toutn-uplet (t1;:::;tn) de points deR+, le vecteur aleatoire (Xt1;:::;Xtn) est un vecteur gaussien. Dans ce cas, la loi de tous les vecteurs (Xt1;:::;Xtn) est entierement ca- racterisee par la donnee de deux fonctionse(t) =E(Xt) etK(s;t) =E(XsXt) e(s)e(t). On dit que le processus est centre sie(t) = 0. On peut toujours se ramener 223

224Mouvement Brownien

au cas centre en considerant le nouveau processusXte(t). C'est pourquoi dans la suite nous ne nous interesserons qu'aux processus gaussiens centres. Un processus est dit a accroissements independants si, pour toutn-uplet (0t1:::tn), les variables X

0;Xt1X0;Xt2Xt1;:::;XtnXtn1

sont independantes. Quitte a changerXtenXtX0, on pourra toujours se ramener au cas ou X 0= 0. Remarquons que si nous savons que le processus est gaussien et nul en 0, alors la propriete d'accroissements independants revient a dire que, pour tout quadruplet 0s1< s2t1< t2, les variablesXs2Xs1etXt2Xt1sont independantes (puisque dans un vecteur gaussien centre, l'independance est equivalente a l'orthogonalite). Considerons un processus gaussien a accroissements independants centre et nul en 0. AppelonsF(t) =K(t;t) =E(X2t). Observons tout d'abord queFest croissante, puisque, sis < t,Xs=Xs0 etXtXssont independantes, et donc

E(X2t) =E(Xs+XtXs)2=E(X2s) +E(XtXs)2E(X2s):

Si, pours < t, on aF(s) =F(t), alors le calcul precedent nous montre que E(XtXs)2= 0, et donc queXt=Xs. Le processus est donc constant (presque s^urement) sur les intervalles de constance deF(t). Quitte a reparametrer le temps, et a supprimer les intervalles ouXest constant, on pourra supposer queFest strictement croissante.

Enn, si nous ecrivons pours < t

E(XsXt) =E(X2s) +E(Xs(XtXs)) =E(X2s);

nous voyons queK(s;t) =F(s), et donc en general on a

K(s;t) = min(F(s);F(t)) =F(s)^F(t) =F(s^t):

Reciproquement, considerons un processus gaussien centre nul en 0 dont la covariance vautK(s;t) =K(s;s)^K(t;t). Alors, c'est un processus a accroissements independants. En eet, pouts1< s2t1< t2, on a E(Xs2Xs1)(Xt2Xt1) =K(s1;s1)K(s2;s2)K(s1;s1) +K(s2;s2) = 0:

Dominique Bakry225

On voit donc que cette forme particuliere de la covariance est, pour les pro- cessus gaussiens, caracteristique des processus a accroissements independants. AppelonsGla fonction inverse deF(lorsqueFest strictement croissante), et considerons le processusYt=XG(t).Yest un processus gaussien centre a accroissements independants de covariance

K(s;t) =s^t:

Ceci explique le r^ole central joue par le cas particulier ouF(t) =t. Denition 1.1.On dit qu'un processusBt(!)deni sur un espace probabilise ;A;P)est un mouvement brownien nul en0si c'est un processus gaussien centre de noyau de covarianceK(s;t) =s^t, et qu'il est continu : pour tout !2 , la fonctiont7!Bt(!)est une fonction continue. Sans m^eme parler de la continuite, ce n'est pas evident a priori qu'un tel processus existe. Il y a une condition sur le noyauK(s;t) pour qu'il existe un processus gaussien centre de covarianceK(s;t) (voir la section 5 plus bas). Par ailleurs, en modiant toutes les variablesBtsur un mme ensemble de probabimite nulle, on ne change pas la loi desn-uplets (Bt1;:::;Btn). On voit donc qu'il sut d'avoir la continuite des trajectoirest7!Bt(!) en dehors d'un ensemble de probabilite nulle pour construire un mouvement brownien.Bt(!) Par ailleurs, le noyau de covariance permet de calculer la loi de tous les n-uplets (Bt1;:::;Btn). Mais ceci ne permet pas de voir la continuite des tra- jectoirest7!Bt. Pour s'en convaincre, prenons un exemple simple. Considerons une variable gaussienneN(0;1)Y, et considerons le processus gaussien centre le plus simple X t=tY, dont la covariance vautK(s;t) =st. C'est clairement un processus continu.

Supposons pour xer les idees que l'espace

estR, muni de la mesure gaussienne standard, et queY(!) =!. Pour toutt, modionsYen^Yt=Y1!6=t, et posons ^Xt=t^Yt. Bien s^ur, pour toutt,^Xtest presque s^urement egal aXt, et donc (^Xt) est un processus gaussien de m^eme covariance. Par contre, sauf sur l'ensemble de mesure nullef!= 0g, aucune des trajectoirest7!^Xt(!) n'est continue. On ne voit donc pas sur la covariance elle m^eme que le processus est continu. Mais on peut lire dans la covariance lapossibilitede trouver une realisation a

226Mouvement Brownien

trajectoires continues du processus. Nous n'allons pas entrer dans les details ici, ce qui nous entra^nerait trop loin, mais nous allons plut^ot construire direc- tement le processus avec des realisation continues. Le theoreme fondamental de ce chapitre est le suivant :

Theoreme 1.2.Un mouvement brownien, ca existe!

Demonstration. |Nous allons deja construire le mouvement brownien pour t2[0;1]. Ensuite, on l'etendra pourt2R+en recollant des browniens independants sur les intervalles [n;n+ 1]. Tout d'abord, nous allons voir qu'il est assez facile de construire de plusieurs facons dierentes un processus gaussien centre ayant la bonne covariance. Cela se fait a partir d'une base orthonormee deL2([0;1]) et d'une suite de variables aleatoires independantes. Ensuite, un choix judicieux de cette base nous per- mettra de construire le processus de facon qu'il aie des trajectoires continues. Tout repose sur la remarque suivante, poursettdans [0;1] s^t=Z 1 0 1 [0;s](u)1[0;t](u)du: Soit alors (en) une base orthonormee deL2([0;1];dx), et appelons E n(s) =Z s 0 e n(u)du: On a 1 [0;s](u) =X nE n(s)en(u); puisqueEn(s) est le produit scalaire deenet de1[0;s]dansL2([0;1]). De m^eme, le produit scalaire de1[0;s]et1[0;t]est egal a X nE n(s)En(t) =s^t: Considerons alors une suiteYide variables gaussiennes independantesN(0;1), et posons B s=X nE n(s)Yn:

Puisque la serie

P nE2n(t) est convergente (sa somme vautt), la serieP nEn(t)Yn converge, dansL2( ), vers une variable gaussienne.

Dominique Bakry227

De plus, on a, par independance desYi,

E(BtBs) =X

nE n(s)En(t) =s^t: On a donc bien construit ainsi un processus ayant la bonne loi. Il nous reste a montrer qu'en choisissant convenablement la baseen, on peut obtenir une fonctiont7!Btcontinue. Pour cela, on va montrer que pour une bonne base, qu'on va decrire ci-dessous, la convergence a lieu non seulement dansL2, mais presque s^urement uniformement ent2[0;1]. La base que nous choisissons est la base de Haar. Elle est indexee par deux indicesn2Net 0k2n11 : e k;n(s) = 2n12 (1[2k2 n;2k+12 n[1[2k+12 n;2k+22 n[); a laquelle on adjoint la fonction constantee0;0= 1. Il est assez facile de voir que les fonctionsek;nsont deux a deux ortho- gonales. Le facteur 2 n12 est la pour en faire des fonctions de norme 1 dans L

2([0;1]). On voit aussi aisement qu'avec des combinaisons lineaires de celles

ci on peut obtenir toutes les fonctions indicatrices d'intervalles dyadiques 1 [k2 n;k+12 n]. Puisqu'on peut approcher uniformement sur [0;1] les fonctions conti- nues par des combinaisons lineaires d'indicatrices d'intervalles dyadiques, on voit que les combinaisons linaires des fonctionsek;nsont denses dans les fonc- tions continues, et par suite dansL2([0;1]). C'est bien une base deL2([0;1]). On obtient immediatement l'encadrement pour les primitives

0Ek;n(s)2n+12

C'est le fait que ces fonctionsEk;nsont tres petites qui nous interesse dans cette base.

En eet, nous allons nous servir d'un lemme

Lemme 1.3.Il existe une constanteKtelle que, si(X1;:::;Xp)sont des variables gaussiennes reellesN(0;1), alors

E(maxp

i=1jXij)Kplogp: Demonstration. |(Du lemme 1.3) Appelons(x) = exp(x24 ) etK1=E(exp(X24 E((jX1j)). La fonctionest convexe, croissante surR+, et donc (E(max(jXij))E((maxijXij))pE((jX1j)) =pK1:

228Mouvement Brownien

On en deduit le lemme en prenant les logarithmes des deux membres.Ecrivons alors la serie B s=X n2 n11X k=0E k;n(s)Yk;n; ou les variablesYk;nsont des variables gaussiennesN(0;1) independantes. Ap- pelons Z n(s) =2 n11X k=0E k;n(s)Yk;n:

Nous savons, que, pour touts,

X nZ n(s) =B(s); ou la convergence a lieu dansL2. Pour une fonction continuef(s) denie sur [0;1], notons sa norme uniforme kfk1= sup s2[0;1]jf(s)j: Dans la somme qui denitZn(s), les fonctionsEk;n(s) sont a support disjoints, et donc kZnk1=2n11maxk=0kEk;nk1jYk;nj 2n+12

2n11maxk=0jYk;nj;

. Alors, le lemme 1.3 nous dit donc que

E(kZnk1)Kplog2

n1)2n+12 =an:

La serie

P nanest convergente, et donc X nE(kZnk1)<1: Lorsqu'une suite converge dansL1, il existe une sous-suite qui converge

presque s^urement. Soitnkune telle sous-suite, et un!pour laquelle la seriePnkp=0kZpk1(!) est convergente.

Dominique Bakry229

Pour un tel!, la seriePnkp=0Zp(s)(!) est uniformement convergente. Comme c'est une serie de fonctions continues (car les fonctionsEk;n(s) le sont), la limite est continue.

Appelons

^Bs(!) cette limite, qui est denie pour presque tout!.^Bsest continue, et, pour touts2[0;1],^Bsest egale presque s^urement aBs, puisque la serieP nZn(s) converge dansL2versBs, et que^Bsest la limite de sommesPnkp=0Zp(s).

On a ainsi montre que

^Bsest un processus gaussien ayant la m^eme cova- riance queBs, et qui est de plus continu. Il reste a prolonger cette construction a toutt2R+. Pour cela, on construit de la m^eme maniere une suite (Bis) de mouvements browniens independants continus avecs2[0;1]. Pours2[0;1], on poseBs=B1s, pours2[1;2], on poseBs=B11+B2(s1), et ainsi de suite. Si on a construitBspours2[0;n], on pose sur [n;n+1]Bs=Bn+Bn+1sn. C'est clairement un processus gaussien continu ayant la bonne covariance.Remarques

1. Dans la demonstration que nous venons de faire, nous avons extrait une

sous-suite qui converge presque s^urement uniformement vers^B(s). En fait, une analyse plus precise de la suiteanmontre qu'on n'a pas besoin d'extraire de sous-suite, et que la serie la serieP nkZnk1est presque s^urement convergente. Pour cela, nous appliquons le fait que, si une suite de variables positivesUnest telle queP nE(Un)<1, la suite U nconverge presque s^urement vers 0, resultat qu'on applique au reste de la serieUn=P1 nkZnk1.

Plus precisement, on peut observer que

X n1 X p=nE(kZp(s)k1)<1:

On en deduit que

1X p=nkZp(s)k1 converge presque s^urement vers 0, et donc que la serie P nZn(s)(!) converge presque s^urement uniformement vers une fonction continue ^Bs(!).

Mais puisque cette serie converge dansL2(

) versBs,^Bsest un processus

230Mouvement Brownien

gaussien centre de covarianceK(s;t) =s^t. C'est donc bien le processus cherche (pourt2[0;1]).

2. La demonstration du lemme 1.3 peut sembler specique au cas des va-

riables gaussiennes. Mais en general, pour une famille (X1;:::;Xn) de variables aleatoires positives integrables et de m^eme loi, on obtient une majoration du mme type en considerant uniquement la queue de la loi commune desXi. Si l'on poseXn= maxni=1Xi, on obtient une estimation deE(Xn) en posant

E(Xn) =Z

1 0

Pr(Xnt)dt;

et on majore

Pr(Xnt)nPr(X1t)^1:

En coupant l'integrale au pointtntel que Pr(Xt) =1n , on obtient la majoration

E(Xn)tn+nE((Xtn)+)tn+nE(X1Xtn):

Ici, lorsqueXest le module d'une gaussienneN(0;1), on

Pr(Xt)r2

1t exp(t22 )Cexp(t22 et

E(X1Xt) =r2

exp(t22 En choisissanttn=p2logn, on obtient pour les variables gaussiennes le resultat annonce.

3. Remarquons que

lim s!tE(BsBt)2jstj= 1; ce qui suggere queBsBtest de l'ordre depstlorsquesest proche det. En fait, on peut montrer que c'est \presque" le cas, et en particulier que la courbet7!Bt(!) n'est derivable en aucun pointt, et ceci pour presque tout!.

Dominique Bakry231

2 Le mouvement brownien comme martingale

Nous n'allons pas developper dans ce chapitre toute la theorie des mar- tingales a temps continu, qui est la parallele de la theorie des martingales a temps discret developpee dans le chapitre 3. Mais une des proprietes fon- damentales du mouvement brownien est que c'est une martingale continue a temps continu. De plus, toute martingale continue a temps continu est, a un changement aleatoire de temps pres, un mouvement brownien. Dans cette section, nous considerons un mouvement brownien (Bt) deni sur un espace probabilise ( ;F;Pr) et nous considerons la famille croissante de sous-tribus (une ltration) F t=(Bu; ut): Remarque. |La tribuFtest engendree par les valeurs deBsaux instants rationnels : F t=(Bu;ut;u2Q): En eet, puisquet7!Btest continue, on aBu= limv!u;v2QBv, et donc la connaissance de la restriction de la famille (Bu) aux instantsurationnels est susante pour en avoir la connaissance a tous les instants. La propriete fondamentale de cette ltration est la Proposition 2.1.Pour tout0s < t,BtBsest independante deFs. Demonstration. |En eet,BtBsest independante du (n+ 1)-uplet (Bs1;:::;Bsn;Bs) pour tout choix 0s1:::sns. Soit alors (tn) une suite qui enumere les points rationels de [0;s], et considerons la famille crois- sante de sous-tribusGn=(Bti; in). La variableBtBsest independante deGn, donc de la tribu_nGn. La remarque precedente montre que_nGn=Fs et permet de conclure.Nous pouvons maintenant decrire la propriete de martingale du mouvement brownien. Denition 2.2.Nous dirons qu'une famille de variables aleatoires(Xt; t0) est une martingale (par rapport aFt), si

1. Pour toutt0,XtestFt-mesurable.

232Mouvement Brownien

2. Pour toutt0,E(jXtj)<1.

3. Pour tout couple de reels0st,

E(Xt=Fs) =Xs:

Nous avons alors

Proposition 2.3.Avec la denition precedente

1.Btest une martingale

2.B2ttest une martingale

3. Pour tout reel,exp(Bt22

t)est une martingale. Demonstration. |La demonstration est presque immediate. Pour le point 1, on ecrit, pours < t,Bt=Bs+BtBs, et on remarque queBtBsest centree independante deFs, doncE(BtBs=Fs) = 0.

Pour le point 2, on ecrit

B

2t=B2s+ 2Bs(BtBs) + (BtBs)2:

On a

E(Bs(BtBs)=Fs) =BsE(BtBs=Fs) = 0;

et

E((BtBs)2=Fs) =E(BtBs)2=ts;

d'ou

E(B2t=Fs) =B2s+ts;

ce qui revient a dire queB2ttest une martingale.

Enn, pour le point 3, on ecrit

exp(Bt) = exp(Bs)exp((BtBs)); d'ou E(exp(Bt)=Fs) = exp(Bs)E(exp((BtBs)) = exp(Bs)exp(22 (ts)); le dernier point venant de ce que siXest une gaussienne centree de variance

2, alors

E(exp(X)) = exp(222

Dominique Bakry233

On a donc

E(exp(Bt22

t)=Fs) = exp(Bs22 s):On a une reciproque presque immediate du dernier point 3. Theoreme 2.4.Considerons une famille croissante de sous tribusFtet un processus continuXtnul en0tel que, pour tout reel, le processusexp(Xt 22
t)soit une martingale.

Alors,Xtest un mouvement brownien.

Demonstration. |On remarque que l'hypothese s'ecrit, pour touts < t

E(exp((XtXs))=Fs) = exp(22

(ts)): Dans ce cas, par prolongement analytique, nous savons que (2.1)E(exp(i(XtXs))=Fs) = exp(22 (ts)) =E(exp(i(XtXs))): Pour tout 3n-uplet (;c;s) de reels (1;c1;s1:::;n;cn;sn), considerons la fonction bornee f ;c;s(x) =X ic icos(ix) +sisin(ix): La familleCde telles fonctions est stable par multiplication. La plus petite tribu qui rend mesurable toutes les fonctions deCest la tribu borelienne, puisque lim !0sin(x) =x. En prenant les parties reelles et imaginaires dans l'equation 2.1, nous voyons que, pour toutes les fonctionsfdeC, nous avons

E(f(XtXs)=Fs) =E(f(XtXs)):

Par le theoreme des classes monotones, cela s'etend donc a toutes les fonctions boreliennes borneesf, et ceci montre l'independance de la variableXtXset de la tribuFs. On en deduit aisement par recurrence que, pour 0< s1< s2< ::: < sn, les variables (Xs1;Xs2Xs1;:::;XsnXsn1) sont independantes.

234Mouvement Brownien

Par ailleurs, la formule

E(exp(i(XtXs))) = exp(22

(ts)) montre que la variableXtXsest gaussienne de covariancets. Ceci sut a conclure.Remarques

1. Dans la demonstration precedente, nous avons changeenipour nous

ramener a utiliser le theoreme des classes monotones avec des fonctions bornees.

2. En faisant le developpement limite en= 0

exp(Xt22 t) = 1 +Xt+22 (X2tt) +o(2); nous voyons que les proprietes 1 et 2 de la proposition 2.3 se deduisent de la propriete 3.

3. En fait, il sut de savoir que le processus continuXtest une martingale

et queX2ttest une martingale pour savoir queXtest un mouve- ment brownien. Mais ceci est beaucoup plus dicile et requiert quelques connaissances en calcul stochastique qui depassent le cadre de ce court chapitre. Enn, nous remarquons que de nombreux theoremes qui s'appliquent aux martingales a temps discret s'appliquent directement aux martingales a temps continu. En eet, si (tn) est une suite croissante de reels, et que (Mt) est une martingale, alors la suiteNn=Mtnest une martingale pour la suite de tribus G n=Ftn. A titre d'exemple d'application de cette remarque, donnons le Theoreme 2.5.(Inegalite de Doob) SoitMtune martingale, et posonsMt= sup s2Q;stjMsj. Alors, pour >0,

P(Mt> )E(jMtj):

Demonstration. |Soit (tn) une enumeration des rationnels anterieurs at. Pour montrer l'inegalite, il sut de montrer que pour toutn, la variableYn= max ni=1jMtijverie

P(Yn> )E(jMtj):

Rangeons alors les pointst1;:::;tnen une suite croissante

0s1< ::: < snt:

La suite (M0;Ms1;:::;Msn;Mt) est une martingale et on peut lui appliquer l'inegalite de Doob (theoreme 7.1 du chapitre 3).

Dominique Bakry235

3 Le mouvement brownien comme processus

de Markov Sachant que le mouvement brownien est a accroissements independants, il est facile de calculer la loi conditionnelle deBtsachantFs, pours < t. Nous avons le Theoreme 3.1.Pour toute fonctionfborelienne bornee surR, et pour tout t >0, notonsquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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