[PDF] Processus Gaussiens Définition propriétés

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Processus Gaussiens

Master IMA 2eme annee

Jean-ChristopheBreton

Universite deLa Rochelle

Septembre{Decembre 2006version de decembre 2006

2

Table des matieres

1 Variable et vecteur Gaussiens 1

1.1 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Esperance et variance probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Convergences probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Vecteurs aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Independance de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Covariance et independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Vecteur gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Loi des grands nombres (LGN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2 Theoreme central limite (TCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Processus gaussien 17

2.1 Processus stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Regularite des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 Exemples de proprietes en loi des processus. . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Exemples de processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Pont Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 Processus d'Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.4 Brownien geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.5 Bruit blanc gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.6 Mouvement brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Mouvement brownien 27

3.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Proprietes du MB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

i iiTable des matieres

3.3.1 Proprietes en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Proprietes des trajectoires du MB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.1 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.2 Origine mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Versions multidimensionnelles du MB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.1 Mouvement brownien multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.2 Champ de Wiener-Chensov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.3 Fonction brownienne de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Integration stochastique 41

4.1 Variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Et l'integrale d'It^o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4Equations dierentielles stochastiques (EDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.1Equations dierentielles et EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.2 Exemples d'EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Mouvement brownien fractionnaire 49

5.1 Generalites sur l'autosimilarite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Denition du mouvement brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Regularite des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.1 H

older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3.2 Exposant de H

older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Representations integrales du mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4.1 Representation en moyenne mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4.2 Representation harmonisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.5 Generalisations multidimensionnelles du mBf . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5.1 Drap brownien fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5.2 Fonction brownienne fractionnaire de Levy . . . . . . . . . . . . . . 60

5.6 Mouvement brownien multifractionaire (mBm) . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.1 Denition et proprietes du mBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.2 Regularite des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.6.3 Simulation, estimation du mBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.7 Modelisation d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Introduction

Ces notes de cours s'adressent a des etudiants Math-Info de Master 2. Elles sont large- ment inspirees de plusieurs sources. Le chapitre 1 contient les rappels essentiels de variables et vecteurs aleatoires et est issu des notes de cours de L3 [JCB]. Le chapitre 2 est inspire de la presentation de Youri Davydov pour son cours de DEA [Dav] a l'Universite Lille 1 et de [Lif].

Le chapitre 3 est inspire de [EGK] et de [Lif].

Le chapitre 4 sur l'integration stochastique est un melange de [EGK] et de [Dav]. Le chapitre 5 est inspire de [ST] pour ce qui concerne le mBf mais aussi de [A-LV, LV, P-LV] pour les generalisations. Enn la modelisation pour l'image provient essentiellement de [BCM, PPLV]. iii ivTable des matieres

Chapitre 1

Variable et vecteur Gaussiens

Denition, proprietes, covariance, fonction caracteristique, TCL et generalisations.

1.1 Variables aleatoires

1.1.1 Denition

Denition 1.1.1Un espace de probabilite est un espace mesurable( ;F)muni d'une mesure de probabiliteP, c'est a dire une mesure de masse totale1:P( ) = 1. Les ensembles mesurablesA2 Fsont appeles les evenements (ou observables).

Denition 1.1.2 (variable aleatoire)

{ On appelle variable aleatoire (v.a.) toute application mesurableXd'un espace de probabilite( ;F;P)dansRmuni de la tribu borelienneB(R). { On appelle loi deXla mesure de probabilitePXdenie surRpar P

X(A) =P(X2A) =P(!2

jX(!)2A); A2 B(R): { La v.a.Xest discrete si elle est a valeurs dans un ensemble au plus denombrable (en bijection avec une partie deN) :X( )est ni ou denombrable (on peut compter ses elements). { La v.a.Xest a densite, de densitef, si

P(X2A) =Z

A fd;P(X2[a;b]) =Z b a f(x)dx: Denition 1.1.3La fonction caracteristique d'une v.a.Xest la fonction deRdansC

X(t) =E[eitX] =Z

eitXdP=Z eitxdPX(x):(1.1) 1

2Chapitre 1.c

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Il s'agit de la transformee de Fourier de la loiPXdeX. Cette fonction caracterise la loi de X. Exemples.Une v.a.Xsuit la loi normale standardN(0;1) si elle admet pour densite t7!1p2et2=2: Elle a pour fonction caracteristiqueX(t) =et2=2. De facon generale, une v.a.Xsuit la loi normaleN(m;2) si elle admet pour densite t7!1p22exp (tm)222 Elle a pour fonction caracteristiqueX(t) = exp(imt2t2=2).

1.1.2 Esperance et variance probabilistes

Denition 1.1.4

Moment :Une v.a.X: (

;F;P)!Ra un moment d'ordrep1ssi

E[jXjp] =Z

jXjpdP<+1: Esperance :SiXa un moment d'ordre1, l'esperance d'une v.a.Xest donnee par

E[X] =Z

X(!)dP(!) =Z

XdP: Variance :SiXa un moment d'ordre2, la variance deXest donnee par

Var(X) =E[(XE[X])2]:(1.2)

Ecart-type :L'ecart-type d'une v.a.Xqui admet une variance est donnee parX=pVar(X).

On note aussiLp(

;F;P) =fX: ( ;F;P)!RjE[jXjp]<+1g, c'est un espace vectoriel norme avec pour norme kXkp= (E[jXjp])1=p: Remarque 1.1.1L'esperance d'une v.a. donne la valeur moyenne (au sens probabiliste) de la v.a. Sa variance (ou son ecart-type) mesure la dispersion des valeurs de la v.a. autour de sa moyenne. Ou encore, l'ecart-type donne l'ecart moyen de la v.a. par rapport a sa moyenne. Il est equivalent de dire que la variance deXest nie et queXadmet un moment d'ordre 2 ni.

1.1. Variables aleatoires3

Proposition 1.1.1 (Fonction caracteristique et moments)Si une v.a.Xa un mo- ment d'ordrep, alors sa fonction caracteristiqueXest derivablepfois et on a (p)

X(0) =ipE[Xp]:

Demonstration :C'est une consequence du theoreme de derivation sous l'esperance (par convergence dominee) avec une hypothese de domination donnee par l'existence du mo- ment d'ordrep. Proposition 1.1.2 (Inegalite de Markov)SoitXune v.a. positive avec un moment d'ordre 1 ni. On a pour toutt >0:

P(Xt)E[X]t

Exemple.Une v.a.X' N(m;2) a pour esperance et variance

E[X] =m;E[X2] =2:

En fait, une v.a.X' N(m;2) peut alors se denir comme une translatee et dilatee deX0' N(0;1) par

X=m+X0:

Proposition 1.1.3 (Proprietes de la variance)

Var(X)0.

Var(X) =E[X2]E[X]2(Formule de Koenig).

Var(aX) =a2Var(X).

Var(X+b) = Var(X)pour toute constanteb2R.

Var(X) = 0ssiXest constante ps (et vaut alorsE[X]). La variance est un operateur quadratique non lineaire. Denition 1.1.5 (Covariance)SoientX;Ydeux variables aleatoires avec des variances nies, on denit la covariance deXet deYpar

Cov(X;Y) =E[(XE[X])(YE[Y])] =E[XY]E[X]E[Y]:

On a en eet

Cov(X;Y) =E[(XE[X])(YE[Y])] =E[XYYE[X]XE[Y]E[X]E[Y]] =E[XY]E[YE[X]]E[XE[Y]] +E[X]E[Y] =E[XY]E[Y]E[X]E[X]E[Y] +E[X]E[Y] =E[XY]E[X]E[Y]:

4Chapitre 1.c

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Remarque :(X;Y)7!Cov(X;Y) est une application bilineaire symetrique.

SiXouYest centree alors Cov(X;Y) =E[XY].

Cov(X;X) = Var(X).

La variance Var est une forme quadratique surL2(

), d'application bilineaire syme- trique associee la covariance Cov. Proposition 1.1.4SiXetYsont deux v.a. avec des moments d'ordre 2 nis alors

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X;Y) (1.3)

jCov(X;Y)j pVar(X)Var(Y):(1.4) Demonstration :Pour(1.3), il sut de developper Var(X+Y). Puis pour l'inegalite (1.4), on applique l'inegalite de Cauchy-Schwarz jCov(X;Y)j=E[(XE[X])(YE[Y])] pE[(XE[X])2]E[(YE[Y])2] =pVar(X)Var(Y):

1.2 Convergences probabilistes

On rappelle brievement les dierentes convergences probabilistes. Denition 1.2.1Soit(Xn)nune suite de v.a. etXune v.a. limite. Convergence ps.On dit que(Xn)nconverge presque s^urement versXsi la convergence est vraie avec une probabilite1 P !2 jlimn!+1Xn(!) =X(!)= 1:

On la noteXn!Xp.s.

Convergence en normep.On dit que(Xn)nconverge en normepversXsikXn

Xkp!0quandn!+1, c'est a dire

lim n!+1E[jXnXjp] = 0:

On la noteXnLp!X.

Convergence en proba.On dit que(Xn)nconverge en probabilite versXsi

8" >0;limn!+1P(jXXnj ") = 0:

On la noteXnP!X.

1.3. Vecteurs aleatoires5

Convergence en loi.On dit que(Xn)nconverge en loi versXsi

P(Xn2A)!P(X2A); n!+1;pour toutA2 B(R)

On la noteXn=)X.

Theoreme 1.2.1 (Paul Levy)La convergence en loi des variables aleatoires est equiva- lente a la convergence simple des fonctions caracteristiques : X n=)Xssi8t2R; Xn(t)!X(t): Proposition 1.2.1Les liens entre les dierentes convergences sont donnes par le dia- gramme suivant :

CV ps CVL1 CVLp

CV en proba

CV en loi

1.3 Vecteurs aleatoires

1.3.1 Denition

Denition 1.3.1On appelle vecteur aleatoireX= (X1;:::;Xi;:::;Xn)toute application de( ;F;P)dans(Rn;B(Rn))mesurable. La v.a.Xis'appelle laieme marginale. Denition 1.3.2La loi du vecteur aleatoireXest la mesure image surRnde la probabilite parX: P X(A1An) =P(X2A1An) =P(X12A1;:::;Xn2An);Ai2 B(R);1in:

C'est une mesure de probabilite dans(Rn;B(Rn)).

Denition 1.3.3Un vecteur aleatoireXest discret si l'ensemble de ses valeursX( est discret dansRn. Un vecteur aleatoireXdeRnest de loi a densite, de densitef(x1;:::;xn)si dPX(x) =f(x1;:::;xn)dx1:::dxn()PX(A) =Z A f(x1;:::;xn)dx1:::dxn; A2 B(Rn): On verie sans peine que commePX(Rn) =P(X2Rn) = 1, une densite en dimension nsatisfaitf(x1;:::;xn)0 et Z R nf(x1;:::;xn)dx1:::dxn= 1:

6Chapitre 1.c

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Denition 1.3.4SoitX= (X1;:::;Xn)un vecteur aleatoire, on denit sa fonction ca- racteristique comme la fonction de n variablest= (t1;:::;tn)deRndansC:

X(t) =E[eiht;Xi] =E[ei(t1X1++tnXn)]

ouht;xi=t1x1++tnxnest le produit scalaire euclidien deRn. Proposition 1.3.1Si(X;Y)est un couple de loiPX;Y=alors les lois marginalesPX etPYdeXet deYs'obtiennent par P

X(A) =(AR);P(Y2B) =(RB); A;B2 B(R):

Demonstration :C'est evident si on remarque quefX2Ag=f(X;Y)2ARg. Idem pour la marginaleY. De m^eme siX= (X1;:::;Xn) est de densitef, lai-eme marginaleXiest de densite f

Xi(xi) =Z

R n1f(x1;:::;xn)dx1:::dxi1dxi+1:::dxn:

1.3.2 Independance de variables aleatoires

Il s'agit d'une notion fondamentale en probabilite.

Denition 1.3.5 (Independance)

Deux evenementsA;B2 Fd'un espace de probabilite(

;F;P)sont independants si

P(A\B) =P(A)P(B):

On noteA??B.

Deux vaXetYsont independantes ssi pour toutA;B, on a

P(X2A;Y2B) =P(X2A)P(Y2B):

On note encoreX??Y.

En particulier, deux evenementsAetBincompatibles ne peuvent pas ^etre independants a moins que l'un des deux ne soit de probabilite nulle. SinonP(A\B) =P(;) = 0, tandis queP(A)P(B)>0. Il ne faut donc pas confondre les deux notions. Proposition 1.3.2Un vecteur aleatoireX= (X1;:::;Xn)est a composantes indepen- dantes ssi sa loiPXest une loi produit (de ses lois marginales) : P X=PX1

PXn:(1.5)

1.3. Vecteurs aleatoires7

Application.SiX??Yalors (quand les esperances sont denies)

E[XY] =E[X]E[Y]

et plus generalement pour toutes fonctions mesurablesfetgalorsE[f(X)g(Y)] =E[f(X)]E[g(Y)]. En terme de densite, le critere d'independance s'enonce : soit (X;Y) un couple de densitef(X;Y)et de densite marginalefX(x) pourx,fY(y) pourY. Les v.a.XetYsont independantes ssi

8x;y; f(X;Y)(x;y) =fX(x)fY(y):

Remarque 1.3.1Une consequence importante : si on connait les lois deXet deY, des variables supposeesindependantes, on peut reconstruire la loi du couple (X;Y) a partir des marginales par (1.5). Ce n'est pas vrai en general quandXetYne sont pas independantes. Theoreme 1.3.1Deux variables aleatoiresXetYsont independantes ssi (X;Y)(t;s) =X(t)Y(s):

Demonstration :On raisonne par equivalence :

X??Y,dPX;Y(dx;dy) =dPX(dx)dPY(dy)

,Z R

2ei(tx+sy)dPX;Y(dx;dy) =Z

R

2ei(tx+sy)dPX(dx)dPY(dy)

Z R

2ei(tx+sy)dPX;Y(dx;dy) =Z

R eitxdPX(dx)Z R eisydPY(dy) Z ei(tX+sY)dP=Z eitXdPZ eisYdP ,(X;Y)(t;s) =X(t)Y(s) ou on admet l'equivalence de la deuxieme ligne (c'est la m^eme que celle sur la caracterisation de la loi deXparX) et ou on a utilise ensuite les theoremes de Fubini, puis de transfert. Proposition 1.3.3Si deux variables aleatoiresXetYsont independantes alors

X+Y(t) =X(t)Y(t):

Plus generalement, pournvariables aleatoiresX1;:::;Xnindependantes on a

X1++Xn(t) =X1(t):::Xn(t):

Dans le cas a densite, on a le resultat suivant pour la somme de v.a. independantes Proposition 1.3.4SoitX;Ydeux v.a. independantes et de densitefetgalorsX+Y est a densite, de densite (fg)(x) =Z +1 1 f(y)g(xy)dy:

8Chapitre 1.c

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1.3.3 Covariance et independance

Proposition 1.3.5SoientXetYdeux vecteurs aleatoires independants de variances - nies. AlorsCov(X;Y) = 0. Demonstration :Par independance, on aE[XY] =E[X]E[Y]. D'ou

Cov(X;Y) =E[XY]E[X]E[Y] = 0:

La reciproque est fausse : siXetYsont de covariance nulle alors ils ne sont pas necessai- rement independants. Cependant dans le cas de variablesX,Ygaussiennes, on verra que la reciproque est vraie. Pour la somme d'une variance, on deduit de la Prop. 1.3.5 et de (1.3) : Corollaire 1.3.1SiXetYsont deux v.a. independantes avec des moments d'ordre deux alors

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y):

1.4 Variables gaussiennes

Denition 1.4.1Une v.a.Xsuit la loi normale standardN(0;1)si elle admet pour densite t7!1p2et2=2: De facon generale, une v.a.Xsuit la loi normaleN(m;2)si elle admet pour densite t7!1p22exp (tm)222 Si2= 0, la loi est degeneree, la v.a.Xest constante egale am. Sa loi est un dirac en m:PX=m.

Exercice.Normalisation de la loi normaleZ

+1 1 ex2=2dx=p2.

NotonsI=Z

+1 1 ex2=2dxet montrons queI2= 2. On a I 2=Z +1 1 ex2=2dxZ +1 1 ey2=2dy Z +1 1Z +1 1 ex2=2ey2=2dxdy=Z Z

RRe(x2+y2)=2dxdy

Z 2 0Z +1 0 er2=2rdrd

1.4. Variables gaussiennes9

Z 2 0 dZ +1 0 rer2=2dr= 2h er2=2i+1 0= 2 ou on a utilise le theoreme de Fubini a la 2eme ligne puis on a fait un changement de variables en polaires a la 3eme ligne.

Proposition 1.4.1Une v.a.Xde loiN(m;2)a pour

{ Esperance :E[X] =m { Variance :Var(X) =2 { Fonction caracteristique :X(t) = exp(imt2t2=2). Proposition 1.4.2Une v.a.X' N(m;2)peut se voir comme la translatee et la dilatee deX0' N(0;1)par

X=m+X0:

Autrement dit siX' N(m;2), on denit la variable centree reduite~X=Xm . Elle suit la loiN(0;1). Proposition 1.4.3SoientX1' N(m1;21)etX2' N(m2;22)independantes. AlorsX1+ X

2' N(m1+m2;21+22).

Demonstration :C'est une application, dans le cas gaussien, de la Prop. 1.3.4 (avec un peu de calcul).

1.4.1 Vecteur gaussien

Denition 1.4.2Un vecteur aleatoireX= (X1;:::;Xn)est gaussien ssi toutes les combi- naisons lineaires de ses coordonneesha;Xi=a1X1++anXnsuivent une loi gaussienne dansR(pour touta= (a1;:::;an)2Rn). Denition 1.4.3La matrice de covariance d'un vecteur aleatoireX= (X1;:::;Xn)est la matrice carree symetrique, positive

K= (Cov(Xi;Xj))1i;jn:

L'esperance deX= (X1;:::;Xn)est le vecteur des esperances de ses marginales

E[X] = (E[X1];:::;E[Xn]):

SiE[X] = 0, le vecteurXest dit centre.

10Chapitre 1.c

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Fonction caracteristique gaussienne en dimensionn

SiX= (X1;:::;Xn) est un vecteur gaussien alorsha;Xi=Pn i=1aiXisuit une loi normale de parametres E[ha;Xi] =E[a1X1++anXn] =a1E[X1] ++anE[Xn] =ha;E[X]i

Var(ha;Xi) = Var(a1X1++anXn) =nX

i;j=1a iajCov(Xi;Xj) =atCov(X)a: La v.a.ha;Xisuit donc la loiN(ha;E[X]i;atCov(X)a), sa fonction caracteristique est donnee par ha;Xi(x) = exp ixha;E[X]i 12 (atCov(X)a)x2 D'apres les denitions des fonctions caracteristiques d'une v.a. et d'un vecteur aleatoire

X(x) =E[eihx;Xi] =hx;Xi(1):

On en deduit :

Proposition 1.4.4La fonction caracteristique d'un vecteur gaussienX= (X1;:::;Xn) est donnee par

X(x) = exp

ihx;E[X]i 12 (xtCov(X)x) = exp ihx;E[X]i 12 hx;Cov(X)xi :(1.6)

Remarque :

{ La loi d'un vecteur gaussien est connue des qu'on a le vecteur moyenneE[X] et la matrice de covariance Cov(X). { On parle du vecteur gaussien standard en dimensionnlorsqueE[X] = 0 et Cov(X) = I n. Sa fonction caracteristique est alors

X(x) = exp(hx;xi=2) = exp(kxk2=2):

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