[PDF] [PDF] Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis





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FONCTIONS AFFINES (Partie 2)

3) Accroissements. Propriété des accroissements : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de la droite (d) représentant la fonction f définie par.



Fonctions affines

III) Propriétés du coefficient directeur. 1) Proportionnalité des accroissements. Propriété : Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.



1 Définition et premi`eres propriétés.

Le but de ce chapitre est d'étudier parall`element quelques propriétés du mouvement Brownien et des pro- cessus `a accroissements stationnaires et indépendants 



6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Exercice 6.28. Montrer que pour tout x ? R on a



Chapitre 8 Le Mouvement Brownien

alors la propriété d'accroissements indépendants revient `a dire que pour tout Considérons un processus gaussien `a accroissements indépendants centré.



Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis

g(x) = e. Solution de l'exercice 11. On consid`ere la propriété. (?n) fg est au moins n 



Processus Gaussiens

Définition propriétés



VARIATIONS DUNE FONCTION

Dire que est monotone signifie que est soit croissante soit décroissante. Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ? ...



FICHE METHODE sur les FONCTIONS USUELLES I) A quoi servent

4) Une fonction est constante si et seulement si sa courbe est une droite parallèle à l'axe (ox) . ? Propriété 2 : ( PROPORTIONNALITE des ACCROISSEMENTS). Une 



Calcul stochastique libre : processus `a accroissements libres

en géométrie non commutative : on essaye de transporter des propriétés de `a accroissements indépendants en calcul stochastique tels que le mouvement.



[PDF] 63 Théorème de Rolle et des accroissements finis

Notons que les fonctions dérivées partagent des propriétés des fonctions continues même si elles ne le sont pas nécessairement (plus haut dans ces notes on a 



[PDF] 18 Le théorème des accroissements finis

On en déduit une première extension du théorème des accroissements finis pour les fonctions définies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé E à valeurs dans 



[PDF] Exercices corrigés Théor`eme de Rolle accroissements finis

Exercice 10 (a) A l'aide du théor`eme des accroissements finis montrer que ?x > 0 1 x + 1 < ln(x + 1) ? ln x



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe 



[PDF] Accroissements finis

L'inégalité des accroissements finis et son dessin Théor`eme IAF Soit f dérivable sur I := [ab] avec a < b et m et M deux nombres réels On suppose



[PDF] 52 Théorème de Rolle théorème des accroissements finis

Théorème des accroissements finis • Pour établir une propriété du type



[PDF] Le théorème des accroissements finis comme question curriculaire

27 jui 2016 · El teorema del valor medio constituye una situación paradigmática que permite observar no solo las expectativas de los autores del currículo



Théorème et inégalité des accroissements finis Formule de Taylor

On remarque que plus qu'une application de l'inégalité des accroissements finis il s'agit de propriétés concernant d'une part les applications contractantes 



[PDF] Gradient - Théorème des accroissements finis - Exo7

GRADIENT – THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS ce qui signifie que le gradient est orthogonal au vecteur tangent C'est une propriété purement

  • Pourquoi le théorème des accroissements finis ?

    Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles
    Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute droite sécante en deux points à une courbe différentiable, il existe, entre ces deux points, une tangente parallèle à la sécante.

  • Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

    L'inégalité des accroissements finis se généralise aux fonctions de plusieurs variables. Théorème : Soit U un ouvert de Rn et f:U?Rp f : U ? R p . Soit a et b deux points de U tels que le segment [a,b] soit contenu dans U .

  • Comment étudier la Dérivabilité d'une fonction en un point ?

    Soit f : [a, b] ? R une fonction. (1) Soit x0 ?]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.
  • On dit qu'une fonction est dérivable en �� = �� ? si ces limites existent. Si seule la limite à gauche ou à droite existe, alors on dit que la fonction est dérivable en �� = �� ? à gauche ou à droite respectivement.

Exercices corrig´es

Th´eor`eme de Rolle, accroissements finis

1 Enonc´es

Exercice 1D´emonstration du th´eor`eme des accroissements finis.

Soitf: [a,b]→R, continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. En appliquant le th´eor`eme de Rolle `a la fonction

F: [a,b]→Rd´efinie par

F(x) =f(x)-f(b)-f(a)b-a(x-a),

montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f ?(c) =f(b)-f(a)b-a. Exercice 2SoitPla fonction polynˆomiale d´efinie parP(x) = 3x4-11x3+ 12x2-4x+ 2. Montrer queP? s"annule au moins une fois sur ]0,1[. Exercice 3Soitf:R→Rla fonction d´efinie par f(x) =sinx+ cosx1 + cos 2x. Montrer que, pour touta?R,f?s"annule au moins une fois sur l"intervalle ]a,a+ 2π[.

Exercice 4Soientf,g: [a,b]→R, continues sur [a,b], d´erivables sur ]a,b[. On suppose quef(a)?=f(b) et

g(a)?=g(b). Montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f ?(c)f(a)-f(b)=g?(c)g(a)-g(b).

On consid´erera pour cela la fonctionFd´efinie sur [a,b] parF(x) =?f(a)-f(b)?g(x)-?g(a)-g(b)?f(x).

Exercice 5Soientpetqdeux r´eels etnun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. Montrer que la fonction

polynˆomialePd´efinie parP(x) =xn+px+qadmet au plus trois racines r´eelles sinest impair et au plus deux

racines r´eelles sinest pair. Exercice 6En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction Arctg, montrer que ?t >0,Arctgt >t1 +t2.

Exercice 7Soitf:R?→Rla fonction d´efinie parf(x) = exp(1/x). Montrer que, pour toutx >0, il existe

c?]x,x+ 1[ tel que f(x)-f(x+ 1) =1c

2exp?1c

D´eterminer

lim x→∞x2? exp?1x -exp?1x+ 1?? 1

Exercice 8Soitf: [a,b]→R?+, continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[. En utilisant la fonctiong:= lnf,

montrer qu"il existec?]a,b[ tel que f(b)f(a)= exp?f?(c)f(c)(b-a)? Exercice 9SoitPla fonction polynˆomiale r´eelle d´efinie par

P(x) =a0+a1x+···+anxn.

On suppose que les coefficients dePsatisfont la relation a 0+a12 +···+ann+ 1= 0. En consid´erant une primitive deP, montrer quePadmet au moins une racine dans l"intervalle ]0,1[. Exercice 10(a) A l"aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer que ?x >0,1x+ 1Montrer que, sifetgsont deux fonctionsNfois d´erivables (o`uN?N?), alorsfgest au moinsNfois d´erivable

(fg)(n)=n? k=1C nkf(k)g(n-k).

Exercice 12En utilisant la formule de Leibniz, calculer la d´eriv´ee d"ordrende la fonctionfd´efinie surR?+parf(x) =x2lnx.

2 Solutions

Solution de l"exercice 1.La fonctionFest continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, de d´eriv´ee

F ?(x) =f?(x)-f(b)-f(a)b-a.

De plus,F(a) =F(b) =f(a). Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence d"un r´eelc?]a,b[ tel que

F ?(c) = 0, c"est-`a-dire, f ?(c)-f(b)-f(a)b-a.

Solution de l"exercice 2.

La fonctionPest ´evidemment continue sur [0,1] et d´erivable sur ]0,1[. De plus,P(0) =P(1) = 2. D"apr`es le

th´eor`eme des accroissements finis, il existec?]0,1[ tel que P ?(c) =P(1)-P(0)1-0= 0. 2

Solution de l"exercice 3.

La fonctionfest 2π-p´eriodique et d´erivable surR. Pour touta?R,f(a) =f(a+ 2π) et le th´eor`eme de Rolle

montre l"existence d"un r´eelc?]a,a+ 2π[ tel quef?(c) = 0.

Solution de l"exercice 4.

La FonctionFest sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, de d´eriv´ee F ?(x) =?f(a)-f(b)?g?(x)-?g(a)-g(b)?f?(x).

De plus, on v´erifie facilement queF(a) =f(a)g(b)-f(b)g(a) =F(b). On peut donc appliquer le th´eor`eme de

Rolle : il existe un r´eelc?]a,b[ tel queF?(c) = 0, c"est-`a-dire, tel que f ?(c)f(a)-f(b)=g?(c)g(a)-g(b).

Solution de l"exercice 5.

On aP?(x) =nxn-1+petP??(x) =n(n-1)xn-2. En particulier, on voit queP??admet exactement une racine, `a savoirx= 0.

Commen¸cons par le cas o`unest impair. Supposons, en vue d"obtenir une contradiction, quePadmette quatre

racines distinctesa < b < c < d. La fonctionPest ´evidemment continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[ et telle

queP(a) =P(b). Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence dea1?]a,b[ tel queP?(a1) = 0. Le mˆeme

raisonnement sur les intervalles [b,c] et [c,d] montre l"existence deb1?]b,c[ etc1?]c,d[ tel queP?(b1) = 0

etP?(c1) = 0. DoncP?admet trois racines distinctesa1< b1< c1. Le mˆeme raisonnement montre alors aussi

queP??admet deux racinesa2?]a1,b1[ etb2?]b1,c1[. Ces racines ´etant n´ecessairement distinctes, il y a

contradiction avec le fait queP??admet pour unique racinex= 0. Il s"ensuit quePadmet au plus trois racines

r´eelles distinctes.

Traitons maintenant le cas o`unest pair. Supposons, en vue d"obtenir une contradiction, quePadmette trois

racines distinctesa < b < c. Comme pr´ec´edemment, on d´eduit l"existence de deux racines deP?distinctes

a

1?]a,b[ etb1?]b,c[, puis l"existence d"une racinea2?]b1,c1[. Or on a vu queP??admet 0 pour unique

racine, de sorte quea2= 0 et quea1<0< b1. Mais puisqueP?(x) =nxn-1+p, les racines deP?satisfont l"´equation x n-1=-pn

et puisquenest impair, les racines sont toutes du signe de-p/n. On ne peut donc avoira1<0< b1. Il s"ensuit

quePadmet au plus deux racines r´eelles distinctes.

Solution de l"exercice 6.

Le th´eor`eme des accroissements finis, appliqu´e `a la fonction Arctg sur l"intervalle [0,t] (o`utest quelconque dans

R ?+), implique l"existence dec?]0,t[ tel que

11 +c2=Arctgt-Arctg0t-0=Arctgtt

Puisque la fonctiont?→1/(1 +t2) est strictement d´ecroissante surR+, on en d´eduit imm´ediatement que

Arctgtt

>11 +t2, puis l"in´egalit´e demand´ee.

Solution de l"exercice 7.

La d´eriv´ee defest donn´ee surR?par

f ?(x) =-1x

2exp?1x

Le th´eor`eme des accroissements finis montre que, pour toutx >0, il existec?]x,x+ 1[ tel quef?(c) =

f(x+ 1)-f(x), c"est-`a-dire, 1c

2exp?1c

= exp?1x+ 1? -exp?1x 3

On v´erifie facilement que la fonctiont?→t-2exp(1/t) est strictement d´ecroissante surR+. On en d´eduit les

in´egalit´es

1(x+ 1)2exp?1x+ 1?

<1c

2exp?1c

<1x

2exp?1x

puis les in´egalit´es x

2(x+ 1)2exp?1x+ 1?

2exp?1c =x2? exp?1x -exp?1x+ 1?? Les fonctions apparaissant aux extr´emit´es tendent toutes deux vers 1 lorsquex→ ∞, et le th´eor`eme des

gendarmes montre alors que lim x→∞x2? exp?1x -exp?1x+ 1?? = 1.

Solution de l"exercice 8.

En appliquant les th´eor`emes de composition, on v´erifie facilement que la fonctiongest continue sur [a,b] et

d´erivable sur ]a,b[. D"apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, il existec?]a,b[ tel que

g ?(c) =g(b)-g(a)b-a.

Puisqueg(x) = lnf(x) on obtient :

f ?(c)f(c)=lnf(b)-lnf(a)b-a, c"est-`a-dire, f(b)f(a)= exp?f?(c)f(c)(b-a)? Solution de l"exercice 9.Les primitives dePsont les fonctions polynˆomiales de la forme

Q(x) =α+a0x+a12

x2+···+ann+ 1xn+1,

avecα?Rquelconque. On remarque queQ(0) =Q(1) =α. Le th´eor`eme de Rolle implique alors l"existence de

c?]0,1[ tel queQ?(c) =P(c) = 0.

Solution de l"exercice 10.

(a) Appliquons le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction (x?→lnx), sur l"intervalle [x,x+ 1] : il existe

c?]x,x+ 1[ tel que 1c =ln(x+ 1)-lnx(x+ 1)-x= ln(x+ 1)-lnx.

L"encadrement demand´e provient du fait que

1c ??1x+ 1,1x Remarquons que cet encadrement peut aussi s"´ecrire ?x >0,1x+ 1La premi`ere in´egalit´e dans (1) montre alors que (lnf)?(x)>0 pour toutx >0, donc que lnfest strictement

croissante surR?+. De mˆeme, on v´erifie facilement que (lng)?(x) =g?(x)g(x)= ln? 1 +1x -1x

La deuxi`eme in´egalit´e dans (1) montre alors que (lng)?(x)<0 pour toutx >0, donc que lngest strictement

d´ecroissante surR?+. (c) En multipliant la double in´egalit´e (1) parx, puis parx+ 1 on obtient : ?x >0,xx+ 1< xln? 1 +1x <1<(x+ 1)ln? 1 +1x Solution de l"exercice 11.

On consid`ere la propri´et´e

(Pn)fgest au moinsnfois d´erivable et (fg)(n)=n? k=0C nkf(k)g(n-k).

Nous allons montrer que, si (Pn) est satisfaite pourn < N, alors (Pn+1) est satisfaite. Il s"agit d"uner´ecurrence

finie, c"est-`a-dire d"une r´ecurrence qui s"interrompt apr`es un nombre fini d"incr´ementations den.

On v´erifie ais´ement que (P0) et (P1) sont satisfaites. Supposons que (Pn) soit satisfaite pourn < N. La

fonction (fg)(n)est d´erivable, puisque chaque fonctionf(k)g(n-k)est d´erivable, de d´eriv´ee

?f(k)g(n-k)??=f(k+1)g(n-k)+f(k)g(n+1-k). Doncfgest au moinsn+ 1 fois d´erivable, et l"on a (fg)(n+1)=n? k=0C nk?f(k)g(n-k)?? n? k=0C nkf(k+1)g(n-k)+n? k=0C nkf(k)g(n+1-k) n+1? k=1C nk-1f(k)g(n+1-k)+n? k=0C nkf(k)g(n+1-k). On a obtenue une somme de termes de la formeαkf(k)g(n+1-k), o`u

0=Cn0= 1 =Cn+10, αn+1=Cnn= 1 =Cn+1n+1,et?k? {1,...,n}, αk=Cnk+Cnk-1=Cn+1

k d"apr`es la propri´et´e foncdamentale du triangle de Pascal. Il s"ensuit que (fg)(n+1)=n+1? k=0C n+1 kf(k)g(n+1-k),

qui est la formule de Leibniz `a l"ordren+ 1. On remarque que, par commutativit´e du produit, on a aussi la

formule (fg)(n)= (gf)(n)=n? k=0C nkg(k)f(n-k). 5

Solution de l"exercice 12.

Calculons, en vue d"appliquer la formule de Leibniz, les d´eriv´ees successives des fonctionsuetvd´efinies par

u(x) =x2etv(x) = lnx.

On au?(x) = 2x,u??(x) = 2, puisu(k)≡0 pour toutk≥3. On a aussi, pour toutn≥1,v(n)(x) =

(-1)n-1(n-1)!x-n(on pourra montrer ceci par rcurrence). D"apr`es la formule de Leibniz, on a f ?(x) =C01x21x +C112xlnx=x+ 2xlnx, fquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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