[PDF] [PDF] I Définition et étude de la fonction inverse - Landatome

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LA FONCTION INVERSE

I Définition et étude de la fonction inverse

Définition n°1.

La fonction inverse est la fonction g:{ℝ∗→ℝ∗ x ↦1 x

Rappel :

ℝ∗=]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[Cela veut dire que l'on peut diviser 1 par n'importe quel nombre sauf zéro. On a donc exclu zéro

de l'ensemble de définition ce qui explique le ℝ∗de gauche. Pour celui droite, on aurait pu laisser tout simplement ℝ : effectivement l'inverse d'un

nombre réel différent de zéro est un nombre réel. Mais en écrivantℝ∗à droite, on précise que

cet inverse ne peut pas être zéro.

LA FONCTION INVERSE

Propriété n°1.

La fonction inverse est impaire

preuve :

Notons g la fonction inverse.

Soit x ∈ ℝ∗ (car

Dg=ℝ∗)

g(-x) = 1 -x = -1 x = -g(x)Ainsi g est impaire.

LA FONCTION INVERSE

Propriété n°2. Variations de la fonction inverse La fonction est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ et strictement décroissante sur ]0 ; +∞[

LA FONCTION INVERSE

preuve : ▪ Démontrons la stricte décroissante sur ]-∞ ; 0[Soit a ∈ ]-∞ ; 0[et b ∈ ]-∞ ; 0[ tels que a < b 1 a-1 b = b-a ab Or : a < b ⇔ a-b < 0 ⇔ b-a > 0Et comme a et bsont de même signe ab > 0D'après la règle des signes : b-a ab > 0

Nous venons de montrer que

1 a > 1 b , ce qui prouve la stricte décroissance sur ]-∞ ; 0[▪ La stricte décroissance sur ]0 ; +∞[se démontre de la même façon et est laissé à titre d'exercice.

LA FONCTION INVERSE

Remarque n°1.

Attention, la fonction inverse n'est pas strictement décroissante surℝ∗=]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[

Décroissante sur la première partie, décroissante sur la seconde partie mais pas décroissante

partout ???

Hé oui : prenons par exemple

-4 et 2, on a bien -4 < 2et pourtant 1 -4 < 1

2 cela

contredit bien la notion de décroissance. Vous ne pouvez comprendre cette " subtilité » qu'en reprenant la démonstration : Nous y utilisons le fait que le produit abest positif mais cela n'est vrai que si a et bsont

de même signe, c'est à dire que : soit tous les deux sont négatifs (dans le 1er intervalle) soit tous

les deux sont positifs (dans le second) . En choisissant -4 et 2nous ne respectons pas cette " règle » et la démonstration " s'écroule »... Propriété n°3. La représentation graphique de la fonction inverse x-∞ 0 +∞ 1 xLa représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

Vous pouvez constater la décroissance sur les deux intervalles et ce qui fait que la fonction n'est

pas décroissante " partout ».

LA FONCTION INVERSE E01EXERCICE N°1

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déterminer l'intervalle auquel appartient

1 x dans chacun des cas suivants :

1)x∈[5 ; 20]2)x∈[1000 ; 2000]3)x∈[-4 ; -1]

4)x∈[-5000 ; -3000]5)x∈[106 ; 1015]6)x∈[-3

5 ; -1

2] LA FONCTION INVERSE E01 Correction de l'exercice n°1

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déterminer l'intervalle auquel appartient

1 x dans chacun des cas suivants :

1)x∈[5 ; 20]2)x∈[1000 ; 2000]3)x∈[-4 ; -1]

4)x∈[-5000 ; -3000]5)x∈[106 ; 1015]6)x∈[-3

5 ; -1

2]1)

Commençons par remarquer que [5 ; 20] ⊂

]0 ; +∞[ Vous ne savez plus comment se lit " ⊂ » ? Voir ici

Or la fonction inverse est décroissante sur

]0 ; +∞[Donc on peut écrire les équivalences suivantes : x∈[5 ; 20] ⇔ 5 ⩽ x ⩽ 20 ⇔ 1

5 ⩾ 1

x ⩾ 1

20 ⇔ x∈[1

20 ; 1

5]Ainsi

x∈[1

20 ; 1

5]

On n'oublie pas que quand on écrit un intervalle, on prend la bonne habitude d'écrire les bornes

dans l'ordre croissant... LA FONCTION INVERSE E01 Correction de l'exercice n°1 suite

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déterminer l'intervalle auquel appartient

1 x dans chacun des cas suivants :

1)x∈[5 ; 20]2)x∈[1000 ; 2000]3)x∈[-4 ; -1]

4)x∈[-5000 ; -3000]5)x∈[106 ; 1015]6)x∈[-3

5 ; -1

2] 2) Commençons par remarquer que [1000 ; 2000] ⊂ ]0 ; +∞[

Or la fonction inverse est décroissante sur

]0 ; +∞[Donc on peut écrire les équivalences suivantes : x∈[1000 ; 2000] ⇔ 1000 ⩽ x ⩽ 2000 ⇔ 1

1000 ⩾ 1

x ⩾ 1

2000 ⇔ x∈[1

2000 ; 1

1000]Ainsi

x∈[1

2000 ; 1

1000]
LA FONCTION INVERSE E01 Correction de l'exercice n°1

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déterminer l'intervalle auquel appartient

1 x dans chacun des cas suivants :

1)x∈[5 ; 20]2)x∈[1000 ; 2000]3)x∈[-4 ; -1]

4)x∈[-5000 ; -3000]5)x∈[106 ; 1015]6)x∈[-3

5 ; -1

2] 3)

Commençons par remarquer que

[-4 ; -1] ⊂ ]0 ; +∞[

Or la fonction inverse est décroissante sur

]-∞ ; 0[Donc on peut écrire les équivalences suivantes : x∈[1000 ; 2000] ⇔ 1000 ⩽ x ⩽ 2000 ⇔ 1

1000 ⩾ 1

x ⩾ 1

2000 ⇔ x∈[1

1000 ; 1

2000]Ainsi

x∈[-1 ; -1 4] LA FONCTION INVERSE E01 Correction de l'exercice n°1

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déterminer l'intervalle auquel appartient

1 x dans chacun des cas suivants :

1)x∈[5 ; 20]2)x∈[1000 ; 2000]3)x∈[-4 ; -1]

4)x∈[-5000 ; -3000]5)x∈[106 ; 1015]6)x∈[-3

5 ; -1

2] 4) Commençons par remarquer que [-5000 ; -3000] ⊂ ]-∞ ; 0[

Or la fonction inverse est décroissante sur

]-∞ ; 0[Donc on peut écrire les équivalences suivantes : x∈[-5000 ; -3000] ⇔ -5000 ⩽ x ⩽ -3000 ⇔ 1 -5000 ⩾ 1 x ⩾ 1 -3000 ⇔ x∈[-1

3000 ; -1

5000]Ainsi

x∈[-1

3000 ; -1

5000]
LA FONCTION INVERSE E01 Correction de l'exercice n°1 suite

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déterminer l'intervalle auquel appartient

1 x dans chacun des cas suivants :

1)x∈[5 ; 20]2)x∈[1000 ; 2000]3)x∈[-4 ; -1]

4)x∈[-5000 ; -3000]5)x∈[106 ; 1015]6)x∈[-3

5 ; -1

2] 5) Commençons par remarquer que [106 ; 1015] ⊂ ]0 ; +∞[

Or la fonction inverse est décroissante sur

]0 ; +∞[Donc on peut écrire les équivalences suivantes : x∈[106 ; 1015] ⇔ 106 ⩽ x ⩽ 1015 ⇔ 1

106 ⩾ 1

x ⩾ 1 1015
⇔ 10-6 ⩽ x ⩽ 10-15 ⇔ x∈[10-15 ; 10-6]Ainsi x∈[10-15 ; 10-6] LA FONCTION INVERSE E01 Correction de l'exercice n°1

En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déterminer l'intervalle auquel appartient

1 x dans chacun des cas suivants :

1)x∈[5 ; 20]2)x∈[1000 ; 2000]3)x∈[-4 ; -1]

4)x∈[-5000 ; -3000]5)x∈[106 ; 1015]6)x∈[-3

5 ; -1

2] 6)

Commençons par remarquer que

[-3

5 ; -1

2] ⊂ ]-∞ ; 0[

Or la fonction inverse est décroissante sur

]-∞ ; 0[Donc on peut écrire les équivalences suivantes : x∈[-5000 ; -3000] ⇔ -5000 ⩽ x ⩽ -3000 ⇔ 1 -5000 ⩾ 1 x ⩾ 1 -3000 ⇔ x∈[-1

3000 ; -1

5000]Ainsi

x∈[-2 ; -5 3] 1 -3

5 = 1×

(-5

3) = -5

3 et 1

-1

2 = 1×(-2

1) = -2

1 = -2

Notez la place du " = » qui détermine le trait de fraction principal et souvenez-vous : diviser par

un nombre revient à multiplier par son inverse.

LA FONCTION INVERSE E01

EXERCICE N°2

Soit xun nombre réel tel que 1

10 < x < 1Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1)1 x > 102) 1 < 1 x ⩽ 103)0 < 1 x < 100

LA FONCTION INVERSE E01

Correction de l'exercice n°2

Soit xun nombre réel tel que 1

10 < x < 1Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1)1 x > 102) 1 < 1 x ⩽ 103)0 < 1 x < 100

Commençons par la remarque suivante :

On l'écrit avant de commencer les questions car cela va nous être utile dans chaque question.

Cela suppose que l'on a réfléchi au brouillon avant de commencer la rédaction de

l'exercice...comme à chaque fois...mouais... 1

10 < x < 1 ⇔ x∈[1

10 ; 1]

Or [1

10 ; 1]⊂ ]0 ; +∞[ et la fonction inverse est décroissante sur ce dernier intervalle.

Donc elle est bien sûr décroissante sur le premier car il est inclus dedans.

Donc 1

x ∈ [1 ; 10] Reprenez la méthode de l'exercice précédent afin de lever vos doutes... 1)

Nous savons que

1 x ∈ [1 ; 10] ⇔ 1 ⩽ 1 x ⩽ 10 En particulier . Cela contredit clairement l'affirmation : 2)

Nous savons que 1 < 1

x ⩽ 10 ⇔ 1 x ∈ ]1 ; 10] Or 1 x ∈ [1 ; 10] ⇔ 1 ⩽ 1 x ⩽ 10

En particulier, on peut avoir 1

x = 1 qui n'est pas dans ]1 ; 10] 3)

Nous savons que0 < 1

x < 100 ⇔ 1 x ∈ ]0 ; 100[ Or 1 x ∈ [1 ; 10] et [1 ; 10] ⊂ ]0 ; 100[

Et donc comme " 1

x est dans [1 ; 10]il est forcément dans ]0 ; 100[ » Il est FONDAMENTAL que ceci soit clair dans votre esprit.

LA FONCTION INVERSE E01

EXERCICE N°3

Résoudre graphiquement :

1)1 x⩽4 2)1 x⩾2 3) 1 x<-2 4)1 x>-1 2

LA FONCTION INVERSE E01

Correction de l'exercice n°3

Résoudre graphiquement :

1)1 x⩽4 2)1 x⩾2 3) 1 x<-2 4)1 x>-1 2

LA FONCTION INVERSE E01

Correction de l'exercice n°3

Résoudre graphiquement :

1)1 x⩽4 2)1 x⩾2 3) 1 x<-2 4)1 x>-1 2

LA FONCTION INVERSE E01

Correction de l'exercice n°3

Résoudre graphiquement :

1)1 x⩽4 2)1 x⩾2 3) 1 x<-2 4)1 x>-1 2

LA FONCTION INVERSE E01

Correction de l'exercice n°3

Résoudre graphiquement :

1)1 x⩽4 2)1 x⩾2 3) 1 x<-2 4)1 x>-1 2

LA FONCTION INVERSE E01

EXERCICE N°4

Résoudre les équations suivantes pour tout réel x non nul. 1)-3 x=02)4 x=3 x+23) -5 x+2=3 x-14)4 x+1 2=0

LA FONCTION INVERSE E01

Correction de l'exercice n°4

Résoudre les équations suivantes pour tout réel x non nul. 1)-3 x=02)4 x=3 x+23) -5 x+2=3 x-14)4 x+1 2=0

L'énoncé nous précise que

x≠0, il n'est donc pas nécessaire de le rappeler à chaque question.

Par contre, au cas où, on garde à l'esprit qu'il faut vérifier si il n'y pas d'autres valeurs interdites.

1) -3 x=0 n'admet aucune solution.

LA FONCTION INVERSE E01

Correction de l'exercice n°4

Résoudre les équations suivantes pour tout réel x non nul. 1)-3 x=02)4 x=3 x+23) -5 x+2=3 x-14)4 x+1 2=0

L'énoncé nous précise que

x≠0, il n'est donc pas nécessaire de le rappeler à chaque question.

Par contre, au cas où, on garde à l'esprit qu'il faut vérifier si il n'y pas d'autres valeurs interdites.

2) 4 x=3quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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