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Fonction de r´epartition et copules

10 octobre 2008

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Chapitre IFonction de r´epartition et copuleI.1 Fonction de r´epartitionD´efinition I.1.1.SoitXune variable al´eatoire r´eelle. On appelle fonction de r´epartition deXla

Le proposition suivante donne des propri´et´es de la fonction de r´epartition. Proposition I.1.2.SoitFla fonction de r´epartition d"une variable al´eatoire r´eelleX.

1. La fonctionFest croissante, continue `a droite et v´erifielimx→-∞F(x) =P(X=-∞)et

lim x→∞F(x) =P(X <+∞). En particulier, siXest finie p.s., on a lim x→-∞F(x) = 0etlimx→∞F(x) = 1.

2. Pour toutx?R, la limite `a gauche deFenx,F(x-) = limy→xy Ainsi on aF(x)-F(x-) =P(X=x). La fonctionFposs`ede au plus un nombre d´enombrable de points de discontinuit´e.

D´emonstration.Pour toutx?[-∞,+∞[, la fonction1[-∞,y]d´ecroˆıt vers1[-∞,x]quandyd´ecroˆıt

versx. Le th´eor`eme de convergence domin´ee et la propri´et´e demonotonie de l"esp´erance assurent alors

queF(y) d´ecroˆıt versF(x) quandyd´ecroˆıt versx. Ceci assure la croissance et la continuit´e `a droite

deFsur [-∞,+∞[.

Pour toutx?]- ∞,+∞], la fonction1[-∞,y]croˆıt vers1[-∞,x[quandycroˆıt versxavecy < x.

Le th´eor`eme de convergence domin´ee et la propri´et´e de monotonie de l"esp´erance assurent alors que

F(y) croˆıt versP(X < x) quandycroˆıt versxavecy < x. Pourx=∞, ceci termine la d´emonstration

du point 1. Pour conclure sur le point 2, il suffit de remarquer que l"ensemble{x?R;P(X=x)>0} est au plus d´enombrable. La proposition suivante assure que la fonction de r´epartition caract´erise la loi.

Proposition I.1.3.La fonction de r´epartition caract´erise la loi : deux variables al´eatoires r´eelles ont

mˆeme loi si et seulement si elles ont mˆeme fonction de r´epartition. 3

4CHAPITRE I. FONCTION DE R´EPARTITION ET COPULE

D´emonstration.La collectionC={[-∞,x];x?¯R}est stable par intersection finie et engendre la

tribu bor´elienne sur¯R. Le th´eor`eme de classe monotone implique que deux probabilit´es sur¯Rqui

co¨ıncident surCsont ´egales sur la tribu bor´elienne.

Pour une variable al´eatoire r´eelle continue de densit´ef, sa fonction de r´epartitionFest donn´ee par

]-∞,x]f(y)dy. La fonctionFest continue. Remarquons que sifest continue,

alors la fonctionFest d´erivable de d´eriv´eef. (L"hypoth`esefcontinue est en fait inutile, mais la

d´emonstration de ce r´esultat analytique d´epasse le cadre de ce cours.)

Pour une variable al´eatoire r´eelle discr`ete, il est imm´ediat de v´erifier que la fonction de r´epartition

est constante sur tout intervalle d"intersection vide avecle support de la loi. Elle est donc constante

par morceaux. -20246810 1 -5051015 1 -3-2-10123 1 -5051015 1

Loi de PoissonP(5) Loi uniforme sur [0,10]

Loi gaussienneN(0,1) Attente `a un feu tricolore (tR=tV= 5)

Fig.I.1 - Quelques fonctions de r´epartition.

Le cycle d"un feu tricolore est de dur´eetR+tVo`u lestRpremiers instants correspondent au

feu orange ou rouge et lestVderniers instants au feu vert. Si on mod´elise l"instant d"arriv´ee d"un

automobiliste dans le cycle d"un feu tricolore par une variable al´eatoireUuniforme sur [0,tR+tV],

Sa fonction de r´epartition, voir le graphique I.1, pr´esente un saut dont l"amplitude correspond `a la

probabilit´e de ne pas attendre (soittV/(tR+tV)) et une partie lin´eaire qui correspond `a l"attente au

feu.

Les fonctions de r´epartition sont croissantes. Le lemme suivant assure en particulier qu"elles sont

mesurables.

Lemme I.1.4.Toute fonction d´efinie sur un bor´elien de¯R`a valeurs dans¯Rcroissante est mesurable.

D´emonstration.Soitfune fonction croissante d´efinie sur un bor´elienAde¯R`a valeurs dans¯R.

Pour touta?¯R, l"ensemblef-1([-∞,a]) s"´ecritA∩[-∞,b] ouA∩[-∞,b[ pour un certainb?¯R

carfest croissante. Comme la tribu bor´elienne sur¯Rest engendr´ee par la collection d"ensembles

{[-∞,x];x?¯R}, on en d´eduit quefest mesurable.

SoitFune fonction d´efinie surR`a valeurs dans [0,1], croissante et continue `a droite. Par convention

I.1. FONCTION DE R´EPARTITION5

on poseF(-∞) = limx→-∞F(x) etF(+∞) = 1. Son inverse g´en´eralis´e, not´eF-1, est d´efini par

F -1(p) = inf{x?R, F(x)≥p}, p?]0,1],(I.1)

avec la convention inf∅= +∞. Par construction la fonctionF-1est croissante. Le lemme I.1.4 assure

que les fonctionsFetF-1sont mesurables. Si la fonctionFest bijective deRdans ]0,1[, alors elle est continue surRet le point 2 de la

proposition I.1.6 qui suit assure que l"inverse g´en´eralis´e et l"inverse co¨ıncident. L"inverse g´en´eralis´e

reste d´efini mˆeme lorsqueFn"est pas bijective soit parce que cette fonction est discontinue soit parce

qu"elle est constante sur des intervalles d"int´erieur nonvide.

L"inverse g´en´eralis´e de la fonction de r´epartition permet d"introduire la notion de quantile tr`es

utilis´ee en statistique.

D´efinition I.1.5.SoitXune variable al´eatoire r´eelle de fonction de r´epartitionFetF-1l"inverse

g´en´eralis´e deF. Pourp?]0,1], la quantit´eF-1(p)s"appelle le quantile ou fractile d"ordrepde la loi

deX.

Le r´esultat suivant est `a la base de la m´ethode d"inversion de la fonction de r´epartition qui permet

de simuler des variables al´eatoires r´eelles. Proposition I.1.6.SoitFune fonction d´efinie surR`a valeurs dans[0,1], croissante et continue `a droite d"inverse g´en´eralis´eF-1.

1. La fonctionF-1est croissante et continue `a gauche. On a l"´equivalence suivante pour tout

x?R,p?]0,1]:

F(x)≥p?x≥F-1(p).(I.2)

2. Pour toutp?]0,1], on aF(F-1(p))≥pavec ´egalit´e siF-1(p)>-∞et siFest continue en

F -1(p).

3. SoitUune variable al´eatoire de loi uniforme sur[0,1]. La fonctionFest la fonction de r´epar-

tition de la variable al´eatoireF-1(U).

4. SoitXune variable al´eatoire `a valeurs dansRde fonction de r´epartitionF. SiFest continue,

alorsF(X)est de loi uniforme sur[0,1].

D´emonstration.V´erifions (I.2). Soitx?Retp?]0,1]. Par d´efinition deF-1(p), si on aF(x)≥p

alorsx≥F-1(p). R´eciproquement six≥F-1(p) alors pour toutε >0 on ax+ε > F-1(p), ce qui

implique queF(x+ε)≥p. CommeFest continue `a droite, en faisant tendreεvers 0, on obtient que

F(x)≥p. Ceci d´emontre (I.2). Les ´equivalents suivants, qui d´ecoulent de (I.2), assurent queF-1est

continu `a gauche sur ]0,1] : F Ceci termine la d´emonstration de la propri´et´e 1.

On rappelle les conventionsF(-∞) = limx→-∞F(x) etF(+∞) = 1. On d´eduit de (I.2) avec

x=F-1(p) que siF-1(p)?R, alorsF(F-1(p))≥p. Cette in´egalit´e est trivialement vraie siF-1(p) =

+∞. SiF-1(p) =-∞alors (I.2) implique queF(x)≥ppour toutx?Ret donc par convention F(-∞)≥p. Pour toutp?]0,1], on a doncF(F-1(p))≥p. Supposons queF-1(p)>-∞. Pour toutε >0, on aF-1(p)-ε < F-1(p) et (I.2) implique queF(F-1(p)-ε)< p. SiFest continue enF-1(p), alors en faisant tendreεvers 0 on obtient

6CHAPITRE I. FONCTION DE R´EPARTITION ET COPULE

SoitUune variable al´eatoire uniforme sur [0,1]. D"apr`es (I.2) on a pour toutx?R Ceci termine la d´emonstration de la propri´et´e 3.

Les variables al´eatoiresXetF-1(U) ont mˆeme fonction de r´epartition. Elles ont donc mˆeme loi.

Par cons´equent,F(X) a mˆeme loi queF(F-1(U)), variable al´eatoire ´egale `aUlorsqueXest finie p.s.

etFcontinue d"apr`es la propri´et´e 2.

Pour calculer la loi de maximum de variables al´eatoires ind´ependantes, il est souvent utile de

calculer leur fonction de r´epartition, comme le montre l"exercice ci-dessous.

ExerciceI.1.

Soit (Xn,n?N?) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Montrer

loi b´eta de param`etre (n,1), car ces deux lois ont mˆeme fonction de r´epartition.

Le lemme technique suivant compl`ete la propri´et´e 4 de la proposition pr´ec´edente et sera utilis´e au

prochain paragraphe. Lemme I.1.7.SoitXune variable al´eatoire `a valeurs dansRde fonction de r´epartitionF. On note ?={v;P(X=v)>0}l"ensemble (au plus d´enombrable) des points de discontinuit´e deF. On

suppose queΔ?est non vide. SoitVune variable al´eatoire de loi uniforme sur[0,1]et ind´ependante

deX. La variable al´eatoireU=F(X-)+V? v?Δ?P(X=v)1{X=v}est de loi uniforme sur[0,1]et,

D´emonstration.L"ensemble Δ?est au plus d´enombrable et c"est l"ensemble des points de discontinuit´e

deFd"apr`es la proposition I.1.2 :P(X=v) =F(v)-F(v-). La variable al´eatoireUd´efinie dans le lemme est `a valeurs dans [0,1]. Soitu?]0,1[. Siv=F-1(u) n"est pas un point de continuit´e deF, alors d"apr`es la proposition I.1.6 on a u?]F(v-),F(v)] et{U < u}={X < v}?{X=v,V <(u-F(v-))/P(X=v)}. On en d´eduit

P(U < u) =u.

SiF-1(u) est un point de continuit´e deF, alors{U < u}={F(X)< u}et d"apr`es (I.2) il vient

{U < u}={X < F-1(u)}. CommeF-1(u) est un point de continuit´e deF, on d´eduit de la propri´et´e

2 de la proposition I.1.6 que

P(U < u) =P(X < F-1(u)) =F(F-1(u)-) =F(F-1(u)) =u. On en d´eduit queUest de loi uniforme sur [0,1].

F(x)}.

I.2. COPULE7

I.2 Copule

On peut caract´eriser la loi d"une variable al´eatoire vectorielle `a l"aide de sa fonction de r´epartition

D´efinition I.2.1.Soitd≥1etXune variable al´eatoire `a valeurs dansRd. On appelle fonction de

toutx?Rd.

La proposition suivante assure que la fonction de r´epartition caract´erise la loi. Sa d´emonstration

est similaire `a celle de la de la proposition I.1.3 et est laiss´ee au lecteur.

Proposition I.2.2.Deux variables al´eatoires `a valeurs dansRdont mˆeme loi si et seulement si elles

ont mˆeme fonction de r´epartition. Soitd≥2,X= (X1,...,Xd) une variable al´eatoire `a valeurs dansRdetFsa fonction de

r´epartition. Il s"av`ere que la fonction de r´epartition ne permet pas d"´etudier simplement la d´ependance

des variables al´eatoiresX1,...,Xdcar elle comporte ´egalement de l"information sur les lois marginales

X

k. Si les fonctions de r´epartitionF1,...,Fdsont continues, alors la propri´et´e 4 de la proposition I.1.6

assure que les variablesF1(X1),...,Fd(Xd) sont de loi uniforme sur [0,1]. On ´etudie la d´ependance

des variables al´eatoiresX1,...,Xden ´etudiant la fonction de r´epartition de (F1(X1),...,Fd(Xd)).

D´efinition I.2.3.Soitd≥2. Une fonctionC: [0,1]d?→[0,1]est appel´eecopulede dimension

d, ou simplement copule, siCest (la restriction `a[0,1]dde) la fonction de r´epartition d"une va-

riable al´eatoireU= (U1,...,Ud)`a valeurs dansRd, o`u les variables al´eatoiresU1,...,Udsont de loi

0 0 110 0 11 0 0 110 0 110 0 11 (U,U) (U,1-U)(U,V)

Copule archim´edienne

C(u,v) = 0

Fig.I.2 - Copules 2-dimensionnelles. Les courbes repr´esentent les ensembles{(u,v)?[0,1]2;C(u,v) =

c}pourc? {1/10,...,9/10}. Les variables al´eatoiresUetVsont ind´ependantes de loi uniforme sur

[0,1]. La copule archim´edienne, d´efinie dans la proposition I.3.5, correspond `a la loi exponentielle.

Nous donnons quelques exemples de copules, voir le graphique I.2. Nous pr´esenterons les copules archim´ediennes dans la proposition I.3.5 `a la fin du paragraphe I.3.

ExempleI.2.4.Soitd≥2.

8CHAPITRE I. FONCTION DE R´EPARTITION ET COPULE

o`uU1est de loi uniforme sur [0,1].

2. La copuleC(u1,...,ud) =?

o`u les variables al´eatoiresU1,...,Udsont ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1].

3. SiCest une copule de dimensiond+p,p≥1, alorsu?→C(u,1), o`uu?[0,1]det1= (1,...,1)?

R p, est une copule de dimensiond.

4. Soitcune fonction r´eelle d´efinie sur [0,1]dmesurable positive et telle que?

[0,1]dc(v)dv= 1. U

k: (u1,...,ud)?→uk. Le calcul de leur fonction de r´epartition `a l"aide du th´eor`eme de Fubini

assure que ces variables al´eatoires sont de loi uniforme sur [0,1]. La fonctionCd´efinie par

C(u) =?

copule. La proposition suivante assure que les copules sont lipschitziennes. Proposition I.2.5.Soitd≥2etCune copule de dimensiond. Pour toutu= (u1,...,ud),v=

On utilise le lemme suivant dont la d´emonstration qui se fait par r´ecurrence est laiss´ee au lecteur.

Lemme I.2.6.Soit(ak,k?N?)et(bk,k?N?)des suites de nombres complexes de modules inf´erieurs ?n k=1a k-n? k=1b k????? k=1|ak-bk|. D´emonstration de la proposition I.2.5.SoitCune copule et des variables al´eatoiresU1,...,Udde loi uniforme sur [0,1] telles queCsoit la fonction de r´epartition deU= (U1,...,Ud). Soitu= (u1,...,ud),v= (v1,...,vd)?Rd. On a k=11 k=11 n? k=1|uk-vk|,

o`u l"on a utilis´e l"in´egalit´e de Jensen pour la premi`ere in´egalit´e et le lemme I.2.6 pour la deuxi`eme.

D´efinition I.2.7.SoitX= (X1,...,Xd)une variable al´eatoire `a valeurs dansRdde fonction de copule v´erifiant F(x1,...,xd) =C(F1(x1),...,Fd(xd))pour toutx1,...,xd?R.(I.3) Le th´eor`eme suivant relie les copules aux fonctions de r´epartition. Th´eor`eme I.2.8(Th´eor`eme de Sklar).Soitd≥2.

I.2. COPULE9

dansR. La fonctionFd´efinie par (I.3) est la fonction de r´epartition d"une variable al´eatoire `a

valeurs dansRd.

2. SoitX= (X1,...,Xd)une variable al´eatoire `a valeurs dansRd. Il existe une copule pourX.

Si les fonctions de r´epartition des variables al´eatoiresX1,...,Xdsont continues, alors la copule

est unique. D´emonstration.SoitCune copule et des variables al´eatoiresU1,...,Udde loi uniforme sur [0,1] r´epartition de variables al´eatoires `a valeurs dansR. On poseX= (F-11(U1),...,F-1 d(Ud)). Pour x= (x1,...,xd)?Rd, on a en utilisant (I.2) Ceci termine la d´emonstration de la propri´et´e 1. SoitFla fonction de r´epartition d"une variable al´eatoireX= (X1,...,Xd) `a valeurs dansRd etUk=Fk(Xk-) +V? v?ΔkP(Xk=v)1{Xk=v}, o`u Δkest l"ensemble des points de discontinuit´e deFksinon. La proposition I.1.6, siFkest continue, ou le lemme I.1.7, siFkn"est pas continue, assurent que les variables al´eatoiresUksont de loi uniforme sur [0,1] et que pour toutxk?Ron a

Cest une copule. Pourx= (x1,...,xd)?Rd, on a

la continuit´e de la copule impliquent l"unicit´e de la fonctionCv´erifiant (I.3). Nous donnons une repr´esentation analytique des copules. Th´eor`eme I.2.9.Soitd≥2etCune fonction de[0,1]d`a valeurs dans[0,1]. La fonctionCest une copule si et seulement si elle v´erifie les conditions suivantes :

1. Soitk? {1,...,d}etu= (u1,...,ud)?[0,1]d. Siuk= 0alors, on aC(u) = 0. Siui= 1pour

touti?=k, alors on aC(u) =uk. (u1,...,ud),? u

D´emonstration.SoitCune copule et des variables al´eatoiresU1,...,Udde loi uniforme sur [0,1] telles

il est imm´ediat de v´erifier la propri´et´e 1. Pour touta= (a1,...,ad),b= (b1,...,bd)?[0,1]dtel que

il est facile de v´erifier, en notantu= (u1,...,ud), que u

10CHAPITRE I. FONCTION DE R´EPARTITION ET COPULE

u

R´eciproquement, soitCune fonction v´erifiant les conditions 1 et 2. On pose Ω =]0,1]d. La collection

la tribu bor´elienneFsur Ω. On consid`ere P la fonction d"ensembles d´efinie par P(]0,u]) =C(u) pour

toutu?[0,1]d. En utilisant (I.5), on peut ´etendre P surAen une fonction additive. La d´ecomposition

d"un ensembleA? Aen r´eunion de pav´es disjoints n"est pas unique, mais (I.5)assure que la valeur

P(A) est ind´ependante de la d´ecomposition choisie. La condition 1 assure que P(Ω) = 1 et la condition

valeurs dans [0,1]. Pourc?]a,b], on a [c,b] compact avec ]c,b]?[c,b]?]a,b], etquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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