Démonstration des variations de la fonction inverse - Bosse Tes Maths
Démontrer que la fonction inverse f est strictement décroissante sur ]?? ; 0[. Démonstration : Soit a et b dans ]?? ; 0[ tels que a < b . f (a)?
FONCTION INVERSE
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y La courbe d'équation = de la fonction inverse appelée hyperbole de centre ... Démonstration (pour les experts) :.
Seconde - Fonction Inverse
La fonction inverse est la fonction définie sur ?* qui à tout réel associe son inverse : 2) Démonstration (non obligatoire).
FONCTIONS DE REFERENCE
la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère. Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction. Vidéo https://youtu.be/
Fonctions carré et fonction inverse
Démonstration : Page 5/7. Page 6. • Sur [0 ; +?[ : soient deux réels x1 et x2 quelconques de ]0 ; +?[ avec 0 x1 < x2. Il s'agit de comparer les nombres f (x1)
FONCTION DERIVÉE
Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Démonstration pour la somme et l'inverse : - On
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
La fonction inverse est impaire. Méthode : Calculer une image ou un antécédent par la fonction inverse. Vidéo https://youtu.be/gHDcYSHfSlk.
DÉRIVATION (Partie 2)
Démonstration au programme pour la fonction inverse : Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk. Soit la fonction f définie sur ?{0} par ( ) =.
Fonction de répartition et copules
10 oct. 2008 démonstration de ce résultat analytique dépasse le cadre de ce cours.) ... L'inverse généralisé de la fonction de répartition permet ...
VARIATIONS DUNE FONCTION
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]?? ; 0[ et décroissante sur l'intervalle ]0 ; +?[. Démonstration au programme : Vidéo
[PDF] FONCTION INVERSE - maths et tiques
2) Variations Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ]?? ; 0[ et sur ]0 ; +?[ Démonstration : Pour tout de ?\{0} ( ) = ?
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Démontrer que la fonction inverse f est strictement décroissante sur ]?? ; 0[ Démonstration : Soit a et b dans ]?? ; 0[ tels que a < b f (a)?
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La fonction inverse est la fonction définie sur ?* qui à tout réel associe son inverse : 2) Démonstration (non obligatoire)
[PDF] Fonctions carré et fonction inverse
La fonction carré f : x ? x 2 est paire Démonstration • f est définie sur R et R est symétrique par rapport à O • Pour tout x ? R f (?x) = (?x)2
[PDF] I Définition et étude de la fonction inverse - Landatome
I Définition et étude de la fonction inverse Définition n°1 La fonction inverse est la fonction g :{ ????? x ? 1x Rappel : ??=]?? ; 0[?]0 ; +?[
[PDF] Seconde Cours – fonctions inverse et homographiques
La double barre indique que la fonction inverse n'est pas définie en 0 Démonstration : a et b désignent deux réels non nuls tels que a ? b f(a) – f(b) =
[PDF] FONCTION INVERSE ET ÉQUATIONS QUOTIENTS - Pierre Lux
b ce qui démontre que la fonction inverse est strictement décroissante sur ]??;0[ Démonstration identique Remarques :
[PDF] Dérivée dune fonction inverse
Démonstration : Soit a ? I lim x?a 1 f (x) ? 1 f (a)
[PDF] COURS5pdf
La réciproque (ou l'inverse) d'une fonction x ?? f(x) est une fonction x ?? g(x) telle que g(f(x)) = x pour tout x du domaine o`u la fonction f est
Comment expliquer la fonction inverse ?
On appelle fonction inverse la fonction qui, à tout nombre réel non nul, associe son inverse . Pour tout , on note . La fonction inverse est définie sur la réunion d'intervalles . La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle .Comment obtenir l'inverse d'une fonction ?
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y. Elle se note f?1. On obtient le graphique d'une réciproque en faisant subir à notre fonction une réflexion par rapport à l'axe y=x.Comment montrer que la fonction inverse est décroissante ?
a < b donc b?a > 0. a < b < 0 donc ab > 0 (le produit de 2 nombres strictement négatifs est strictement positif). Par quotient de deux nombres strictement positifs, on a : f (a)? f (b) > 0 d'où f (a) > f (b) . Conclusion : la fonction inverse est strictement décroissante sur ]?? ; 0[.- Parité La fonction inverse est impaire. La représentation graphique de la fonction inverse admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
Fonctions carré et fonction inverse
Table des matières
I Fonction carré1
I.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
I.2 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1
I.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
I.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.5 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
II Fonction inverse4
II.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
II.2 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5
II.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
II.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.5 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
I Fonction carré
I.1 Définition
Définition
On appelle fonction carré la fonctionx?→x2Propriété
La fonction carréx?→x2est définie surR. En effet, on peut calculerx2pour n"importe quelle valeur dex?R.I.2 Parité
Définition
Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest paire si : Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I).pour toutx?I,f(-x)=f(x)
1 tative d"une fonction paire est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.Illustration graphique :
12345-11 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6
×M(x;f(x))×M?(-x;f(-x)=f(x))
x-xPropriété
La fonction carréf:x?→x2est paire
Démonstration
fest définie surRetRest symétrique par rapport àO.Pour toutx?R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x)
I.3 Variations
Propriété
f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et croissante sur [0 ;+∞[.Démonstration :
Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de [0 ;+∞[ avec 0?x1Les images cette fois sont classées dans l"ordre inverse desantécédents : la fonction est décroissante.
Remarque: sur ]-∞; 0], on auraitpu utiliserlaparitéde lafonctionet la symétriede lacourbepar rapport
l"axe des ordonnées.Page 2/
7Tableau de variation:
x-∞0+∞ f(x)????0??I.4 Courbe représentative
à des valeurs positives et on construit les points symétriques par rapport à l"axe des ordonnées.
x01 2123f(x)=x201 4149
La courbe représentative de la fonction carré est appeléeparabole.
123456789
-11 2 3-1-2-3O×××××
I.5 Application
Exercice :comparer les carrés des nombres suivants : a) 0,22et 0,212
b) (-2,4)2et (-2,41)2 c) (-3,1)2et 4,2Solution :
a) 0,2 et 0,21 sont positifs; sur [0 ;+∞[, la fonctionf:x?→x2est croissante.0,2<0,21 doncf(0,2) 0,22<0,212
b) -2,4 et -2,41 sont négatifs; sur ]-∞; 0],fest décroissante. -2,4>-2,41; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-2,4)2<-2,412. c) (-3,1)2=3,12donc il suffit de comparer 3,12et 4,22. 3,1 et 4,2 sont positifs et 3,1<4,2; sur [0 ;+∞[,fest croissante, donc 3,12<4,22, d"où
(-3,1)2<4,22 Page 3/7
Exercice: résoudre graphiquement l"équationx2=3x+2. On posef(x)=x2etg(x)=3x+2.
On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les
abscisses des points d"intersection de ces deux courbes. Puisqu"il s"agit d"une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la
méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première. 123456789101112131415
-1 -21 2 3 4-1-2-3-4-5× x1x2 On trouve deux solutions :x1≈-0,5 etx2≈3,6 II Fonction inverse
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction inverse la fonctionx?→1x
Propriété
La fonction inversex?→1xest définie surR?=R\{0}=]-∞; 0[?]0 ;+∞[. Page 4/
7 II.2 Parité
Définition
Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest impaire si : Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I). pour toutx?I,f(-x)=-f(x)
Conséquence graphique :la courbe représentatived"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"ori-
gineOdu repère. Illustration graphique :
123
-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4 ?M(x;f(x)) M?(-x;f(-x)=-f(x))
a Propriété
La fonction inversef:x?→1xest impaire
Démonstration
fest définie surR?etR?est symétrique par rapport àO. Pour toutx?R?,f(-x)=1
-x=-1x=-f(x) II.3 Variations
Propriété
f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et décroissante sur [0 ;+∞[. Démonstration :
Page 5/7
Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]0 ;+∞[ avec 0?x1Il s"agit de comparer les nombresf(x1)=1 x1etf(x2)=1x2. f (x2)-f(x1)=1 x2-1x1=x1-x2x1x2. x 1-x2<0 carx10 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]0 ;+∞[. Sur ]-∞; 0[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]-∞; 0[ avec?x1On a le mÍme calcul :f(x2)-f(x1)=1 x2-1x1=x1-x2x1x2. x 1-x2<0 carx10 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]-∞; 0[. Remarque : sur ]-∞; 0], on aurait pu utiliser la symétrie de la courbe par rapport àO. Tableau de variation:
0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.
x-∞0+∞ f(x) 0 ????0 II.4 Courbe représentative
dant à des abscisses positives en calculant les coor- données de quelques points. x1 4 1 2124
f(x)=1x4211 2 1 4 La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deux branches. 1234
-1 -2 -3 -4 -51 2-1-2-3 O C Page 6/7
II.5 Application
Exercice :comparer les nombres suivants :
a) 1 0,2et10,3
b)-1 2,4et-12,5
c)-1 3,1et14,2
Solution :
a) 0,2 et 0,3 sont positifs; sur ]0 ;+∞[, la fonctionf:x?→1xest décroissante. 0,2<0,3 doncf(0,2)>f(0,3) donc
1 0,2>10,3
b) -2,4 et -2,5 sont négatifs; sur ]-∞; 0[,fest décroissante. -2,4>-2,5; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-12,4)<-12,5. c)-3,1<0 et 4,2>0 donc-1 3,1<0 et14,2>0 donc-13,1<14,2.
Remarque: ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2
ne sont par dans les mêmes intervalles définitionde la fonction inverse. Page 7/
7quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
0,22<0,212
b) -2,4 et -2,41 sont négatifs; sur ]-∞; 0],fest décroissante. -2,4>-2,41; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-2,4)2<-2,412. c) (-3,1)2=3,12donc il suffit de comparer 3,12et 4,22.3,1 et 4,2 sont positifs et 3,1<4,2; sur [0 ;+∞[,fest croissante, donc 3,12<4,22, d"où
(-3,1)2<4,22Page 3/7
Exercice: résoudre graphiquement l"équationx2=3x+2.On posef(x)=x2etg(x)=3x+2.
On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les
abscisses des points d"intersection de ces deux courbes.Puisqu"il s"agit d"une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la
méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première.123456789101112131415
-1 -21 2 3 4-1-2-3-4-5× x1x2 On trouve deux solutions :x1≈-0,5 etx2≈3,6II Fonction inverse
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction inverse la fonctionx?→1x
Propriété
La fonction inversex?→1xest définie surR?=R\{0}=]-∞; 0[?]0 ;+∞[.Page 4/
7II.2 Parité
Définition
Une fonctionfdéfinie sur un ensembleIest impaire si : Iest symétrique par rapport à l"origineOdu repère (donc, pour toutx?I,-x?I).pour toutx?I,f(-x)=-f(x)
Conséquence graphique :la courbe représentatived"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"ori-
gineOdu repère.Illustration graphique :
123-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4 ?M(x;f(x))
M?(-x;f(-x)=-f(x))
aPropriété
La fonction inversef:x?→1xest impaire
Démonstration
fest définie surR?etR?est symétrique par rapport àO.Pour toutx?R?,f(-x)=1
-x=-1x=-f(x)II.3 Variations
Propriété
f:x?→x2est décroissante sur ]-∞; 0] et décroissante sur [0 ;+∞[.Démonstration :
Page 5/7
Sur [0 ;+∞[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]0 ;+∞[ avec 0?x11-x2<0 carx10 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]0 ;+∞[. Sur ]-∞; 0[ : soient deux réelsx1etx2quelconques de ]-∞; 0[ avec?x11-x2<0 carx10 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l"ordre
inverse des antécédents, doncfest décroissantesur ]-∞; 0[. Remarque : sur ]-∞; 0], on aurait pu utiliser la symétrie de la courbe par rapport àO. Tableau de variation:
0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.
x-∞0+∞ f(x) 0 ????0II.4 Courbe représentative
dant à des abscisses positives en calculant les coor- données de quelques points. x1 4 1 2124f(x)=1x4211 2 1 4 La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deux branches. 1234
-1 -2 -3 -4 -51 2-1-2-3 O C
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II.5 Application
Exercice :comparer les nombres suivants :
a) 10,2et10,3
b)-12,4et-12,5
c)-13,1et14,2
Solution :
a) 0,2 et 0,3 sont positifs; sur ]0 ;+∞[, la fonctionf:x?→1xest décroissante.0,2<0,3 doncf(0,2)>f(0,3) donc
10,2>10,3
b) -2,4 et -2,5 sont négatifs; sur ]-∞; 0[,fest décroissante. -2,4>-2,5; commefest décroissante,frenverse l"ordre, donc (-12,4)<-12,5. c)-3,1<0 et 4,2>0 donc-13,1<0 et14,2>0 donc-13,1<14,2.
Remarque: ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2
ne sont par dans les mêmes intervalles définitionde la fonction inverse.Page 7/
7quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] ensemble de définition d'une fonction inverse
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