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Ann´ee universitaire 2017-2018

COURS DE MATH

´EMATIQUES

Modules M 1201 & M 1302

SEMESTRE 1

Auteur : Florent ARNAL

Adresse ´electronique :

florent.arnal@u-bordeaux.fr

Site :http://flarnal.e-monsite.com

Table des mati`eres

1 INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES1

I Int´egrales de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

II Lien Int´egration-Primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

III Equations diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 GENERALITES SUR LES FONCTIONS5

I Propri´et´es graphiques des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.1 Domaine de d´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2 Graphe d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.3 Parit´e d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II P´eriodicit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III Translations de courbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

IV Trigonom´etrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IV.1 G´en´eralit´es sur les fonctions circulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IV.2 Formules de Trigonom´etrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

V Fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

V.1 Fonctions puissances et racinesn-i`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

V.2 La fonction logarithme n´ep´erien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

V.3 Fonctions exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 GENERALITES SUR LES NOMBRES COMPLEXES15

I Forme alg´ebrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.2 Nombre complexe conjugu´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II Nombres complexes et g´eom´etrie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III Forme trigonom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III.1 Module d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.2 Arguments d"un nombre complexe non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

IV Forme exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IV.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IV.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IV.2.1 Lin´earisation de cosnxet sinnx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV.2.2 Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cosxet sinx. . . . . . . . . . 20

V Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V.1 Racines carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V.2 Equations du second degr´e du typeaz2+bz+c= 0 (a?= 0). . . . . . . . . . . . . . 22 V.3 Racinesn-i`eme d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 V.3.1 Racinesn-i`eme de l"unit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 V.3.2 Racinesn-i`eme d"un nombre complexe quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 LIMITES DE FONCTIONS25

I Rappel sur les limites `a droite et `a gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II Limites des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III Th´eor`emes g´en´eraux sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.1 Limite d"une somme de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.2 Limite d"un produit de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.3 Limite de l"inverse d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.4 Limite d"un quotient de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.5 Limite de la compos´ee de deux fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

IV Th´eor`emes de comparaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

V Comportement asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

TABLE DES MATI`ERES3

VI Croissances compar´ees des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 D´ERIVATION ET CONTINUIT´E31

I Fonction d´eriv´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.2 D´eriv´eees des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.3 D´eriv´ees et limites usuelles en 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

I.4 Op´erations sur les fonctions d´eriv´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II Applications de la d´erivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.1 Sens de variations d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.2 Extremum d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.3 Plan d"´etude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.4 Application de la d´erivation aux calculs d"incertitude (diff´erentielle). . . . . . . . . . . 34

III Continuit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III.1 Continuit´e en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III.2 Fonction continues usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III.3 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III.4 Prolongement par continuit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

IV Propri´et´es des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

IV.1 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 APPLICATIONS DES NOMBRES COMPLEXES39

I Factorisation de polynˆomes `a coefficients r´eels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

I.1 Division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

I.2 Racine, multiplicit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II Transformations du plan et ´equations de cercles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.1 Equation de cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.2 Ecriture complexe d"une transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II.3 Etude de l"inversion (complexe de centreOet de rapport 1). . . . . . . . . . . . . . . 42

III Application aux circuits fonctionnant en r´egime permanentsinuso¨ıdal. . . . . . . . . . . . . . . 43

III.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.2 Imp´edance complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.2.1 Cas d"une r´esistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.2.2 Cas d"une bobine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III.2.3 Cas d"un condensateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 FONCTIONS RECIPROQUES45

I G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II Fonctions r´eciproques des fonctions trigonom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II.1 Fonction r´eciproque de la fonction cos : arccos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II.2 Fonction r´eciproque de la fonction sin : arcsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II.3 Fonction r´eciproque de la fonction tan : arctan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 D´ECOMPOSITION EN´EL´EMENTS SIMPLES51

I G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II D´ecomposition en ´el´ements simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9 CALCUL INT´EGRAL55

I Primitives (Rappels). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

II Int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II.2 Utilisation de l"int´egrale en GEII : Valeurs moyenne et efficace. . . . . . . . . . . . . . 57

III Calculs d"int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III.1 Int´egration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III.2 Changement de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

III.3 Calcul de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

III.3.1 Recherche des primitives dex?→1(x2+ 1)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 III.3.2 Cas de certaines fonctions trigonom´etriques (voir TD). . . . . . . . . . . . . . . 62

4TABLE DES MATI`ERES

Chapitre 1INTEGRATION ET EQUATIONSDIFFERENTIELLESIntroductionLa notion d"int´egration est essentielle en physique et la r´esolution d"´equations diff´erentielles du premier ordre

est fondamentale, notamment en ´electronique.

Dans cette partie, nous nous contenterons de rappeler (ou pr´eciser) certaines notions indispensables `a la bonne

compr´ehension de notions abord´ees tr`es rapidement dans d"autres disciplines. En math´ematiques, ces notions

seront approfondies ult´erieurement.

I Int´egrales de Riemann

D´efinition 1 :On appelle subdivision de l"intervalle [a;b] une famille finieσ={x0;x1;x2...;xn}telle

que :x0=a < x1< x2< ... < xn=b.

Exemple 1

•σ1={0; 0,5; 1}etσ2={0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1}sont des subdivisions de[0;1].

•σ=?a;a+b-a

n;a+ 2b-an;...;b?est une subdivision de[a;b].

D´efinition 2 :(Sommes de Riemann)

Soitfune fonction continue sur [a;b].

On consid`ere un entiernnon nul et la subdivisionσ={x0;x1;x2...;xn}avecxk=a+kb-a n.

La somme de Riemann (la plus commun´ement rencontr´ee) associ´ee `af, not´eeSn(f) est d´efinie par :

S n(f) =b-a nn k=1f? a+kb-an? =n?k=1(xk-xk-1)f(xk).

Remarque 1 :Ces sommes de Riemann sont utilis´ees dans la m´ethode des rectangles pour le calcul approch´e

des int´egrales.

Th´eor`eme-D´efinition 1:On dit qu"une fonctionfest int´egrable (au sens de Riemann) sur [a;b] si

limn→+∞Snexiste et est finie. Toute fonctionfcontinue sur [a;b] est int´egrable et son int´egrale, not´ee? b a f(x) dx, est d´efinie par : b a f(x) dx= limn→+∞Sn. 1

2CHAPITRE 1. INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Figure1.1 - Lien entre aire de rectangles et int´egrale Remarque 2 :Interpr´etation physique pour les fonctions positives

Consid´erons que la largeur de chaque rectangle est tr`es petite (Δxdevient dx). L"aire d"un rectangle est

assimilable `af(x) dx. L"aire de la partie situ´ee entre la courbe, l"axe des abscisses et les droites verticales

d"´equationsx=aetx=best ´egale `a la somme des aires de tous les rectangles.

Pour obtenir une valeur exacte, on consid`ere qu"il y a une infinit´e de rectangles et que leur largeurdxest

infiniment petite. b a f(x) dxva additionner toutes ces aires pour donner l"aire totale.

II Lien Int´egration-Primitive

Th´eor`eme 1:Th´eor`eme Fondamental de l"Analyse (Leibniz-Newton) Soitfune fonction continue sur un intervalle [a;b].

•La fonctionF:x?→?

x a f(t) dtest l"unique primitive defqui s"annule ena.

•Pour toute primitiveGdef, on a :?

b a f(x)dx= [G(x)]ba=G(b)-G(a). De fa¸con plus g´en´erale, uneprimitivedefse note parfois :? f(x) dx. De mˆeme, lad´eriv´eedefpeut ˆetre d´efinie ainsi :f?(x) =df(x) dxvoiref?=dfdx. Pour une fonctionfde la variablex, on a donc : df=f?dx. Exercice 1.1Consid´erons la fonctionf: (x,t)?→2x+ 3t. On a : df

Exercice 1.2Recherche de primitives?

dx=···;? xdx=···;?

3Cdy=···et?dy

y=···sur]0;+∞[. Exercice 1.3D´etermination de diff´erentielles •Siy:x?→x2alors dy=······ •Siyest constante alors dy=······.

III. EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES3

III Equations diff´erentielles

Les g´en´eralit´es sur les ´equations diff´erentielles (ED) lin´eairesdu premier et deuxi`eme ordre seront ´etudi´ees

ult´erieurement.

L"objectif de cette partie est d"aborder la r´esolution des ´equations diff´erentielles du typey?=ayo`uyest une

fonction de la variablexetaest un r´eel quelconque. On doit donc r´esoudre l"ED suivante :y?(x) =ay(x) not´ee ´egalementdy dx(x) =ay(x). Pouranon nul, consid´erons la fonctionf:x?→y(x) eax.

Th´eor`eme 2:Soitaun r´eel quelconque.

Les solutions de l"´equation diff´erentielley?=aysont les fonctionsx?→Ceaxo`uCest une constante

r´eelle.

4CHAPITRE 1. INTEGRATION ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Chapitre 2GENERALITES SUR LESFONCTIONSI Propri´et´es graphiques des fonctionsI.1 Domaine de d´efinition

D´efinition 1 :On appellefonctionnum´erique d"une variable r´eelle touteapplicationfdont les

ensembles de d´epart et d"arriv´ee sont des ensembles de r´eels.

On note :f:D→R

x?→f(x). L"ensembleDest appel´e l"ensemble de d´efinitiondef.

Remarque 1 :

•Les intervalles deRsont des sous-ensembles particuliers deR.

•Dans le cas o`u la fonction n"est connue que par la donn´ee de son expressionf(x), on convient que le domaine

de d´efinition est l"ensemble de tous les r´eelsxtels quef(x) existe. Exercice 2.1D´eterminer l"ensemble de d´efinition de la fonctionf:x?→3⎷x2-4.

I.2 Graphe d"une fonction

On se place dans un rep´ere orthonormal

du plan?

O;?i,?j?

D´efinition 2 :L"ensemble des pointsMde coordonn´eesM(x;f(x)) est appel´ecourbe repr´esentative

defougraphedef. Remarque 2 :La courbe repr´esentative defa pour ´equationy=f(x). 5

6CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

Exercice 2.2On consid`ere la fonction partie enti`ere, not´eeE, d´efinie par : E(x)correspond donc au plus grand entier relatif inf´erieur ou ´egal `ax.

1. Repr´esenter graphiquement cette fonction.

2. Exprimer, pour toutxr´eel,E(x+ 1)en fonction deE(x).

Figure2.1 - Repr´esentation graphique de la fonction Partie Enti`ere

I.3 Parit´e d"une fonction

D´efinition 3 :(Ensemble sym´etrique par rapport `a 0) Un ensembleDinclus dansRest sym´etrique par rapport `a 0 si?x?D,-x?D.

D´efinition 4 :(Fonction paire)

Soitfune fonction dont le domaine de d´efinition est centr´e en 0.

La fonctionfest paire si?x?D, on a :f(-x) =f(x).

Exercice 2.3Montrer que la fonctionf:x?→sinxxest paire.

Remarque 3 :Dans un rep`ere orthogonal, la courbe repr´esentative d"une fonction paire est sym´etrique par

rapport `a l"axe des ordonn´ees.

II. P´ERIODICIT´E7

Figure2.2 - Repr´esentation graphique de la fonctionf

D´efinition 5 :(Fonction impaire)

Soitfune fonction dont le domaine de d´efinition est centr´e en 0. La fonctionfest impaire si?x?D, on a :f(-x) =-f(x).

Remarque 4 :

•La courbe repr´esentative d"une fonction impaire est sym´etriquepar rapport `a l"origineOdu rep`ere.

•Sifest une fonction impaire d´efinie en 0 alorsf(0) = 0.

En effet :

•Pour ´etudier une fonction paire ou impaire, on peut restreindre l"intervalle d"´etude (en consid´erant, par

exemple,R+au lieu deR).

II P´eriodicit´e

D´efinition 6 :(P´eriodicit´e d"une fonction)

Une fonctionfd´efinie surRest diteT-p´eriodique siTest le plus petit r´eel positif tel que :

?x?R,f(x+T) =f(x).

Exercice 2.4Montrer que la fonctionf:t?→cos(ωt)est p´eriodique de p´eriodeT=2πωo`uω >0.

Remarque 5 :

•Dans ce cas, on peut restreindre l"´etude de la fonctionf`a tout intervalleIde longueurT.

•La courbe repr´esentative defsera obtenue `a partir du graphe obtenu surIpar des translations de vecteurs

kT-→iaveck?Z. •Une fonction peut ˆetre p´eriodique sans ˆetre une fonction trigonom´etrique. En effet, la fonctionf:x?→(-1)E(x).[x-E(x)] est p´eriodique de p´eriode 2.

8CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

III Translations de courbes

Nous allons dans cette partie consid´erer les fonctions du typex?→f(x) +λetx?→f(x+λ).

Exercice 2.5Consid´erons la fonctionf:x?→x3-3x2dont le graphe est donn´e ci-dessous.

Tracer la repr´esentation graphique des fonctionsgethd´efinies par :g:x?→f(x) + 2eth:x?→f(x+ 2).

Figure2.3 - Repr´esentations graphiques des fonctionsf,geth Plus g´en´eralement, on a le th´eor`eme suivante :

Th´eor`eme 1:

•La courbe repr´esentative de la fonctionx?→f(x) +λest l"image de la courbe repr´esentative defpar

la translation de vecteurλ-→j.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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