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Chapitre 15 : Dérivée des réciproques des fonctions trigonométriques

15.1 Dérivée des fonctions réciproques de sinus, cosinus, tangente et

cotangente Dans ce dernier chapitre, nous étudierons les dérivées des fonction s réciproques ou inverses de sinus, cosinus, tangente et cotangente (arc sin, arc cos, arc tan et arc cot)

Dérivée d'arc sin x :

Prouvons ensemble cette proposition

sin(ܽݎܿsinݔ)=ݔ,ܽܿ sin (ܽݎܿ cos (arcsinݔ)(ܽݎܿ =1 ܲ =1 cos (arcsinݔ) =1 =1 cosݕ ܽܿݎ ݕ=݂(ݔ) ݌ܽ݅݊݅ݐ݅݋݊ =1

ݕ=1,݀݋݊ܿ ܿ

Fin de la preuve!

Car ݔ

si ݕ=ܽݎܿsinݔ,ܽ sinݕ=ݔ

Oui, elle est assez complexe, mais des

preuves de ce genre, vous en aurez à la tonne dans votre cours de calcul 1...

Exemple 15.1

Calculons la dérivée de :

)Ԣarcsinݔ+ݔ (ܽݎܿsinݔ)Ԣ ܦ (ݔ)=2ݔarcsinݔ+ݔ ൬1

ξ1െݔ

p ܲ (ݔ)=2ݔarcsinݔ+ݔ

ξ1െݔ

Exemple 15.2

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=arcsin(2ݔ െ8ݔ) (ݔ)=1

1െ(2ݔ

െ8ݔ) (2ݔ െ8ݔ) (ݔ)=10ݔ െ8

1െ(2ݔ

െ8ݔ)

Dérivée d'arc

cos x : Comme la preuve de cette proposition est très similaire à celle de la proposition 1, je passe immédiatement à un exemple.

Exemple 15.3

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=(arccos ݔ) (ݔ)=3(arccos ݔ) (arccos ݔ) (ݔ)=3(arccos ݔ) ൬െ1

ξ1െݔ

p ܲ (ݔ)= െ3(arccos ݔ)

ξ1െݔ

Exemple 15.4

Calculons la

dérivée de : ݂(ݔ)=arccos(െݔ +7ݔ െ4) (ݔ)=െ(െ3ݔ +14ݔ)

1െ(െݔ

+7ݔ െ4) (ݔ)=3ݔ െ14ݔ

1െ(െݔ

+7ݔ െ4)

Dérivée d'arc

tan x :

Exemple 15.5

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=(݈݊ݔ)(arctanݔ)

Ԣ(ݔ)=1

arctanݔ+݈݊ݔ൬1

1+ݔ

p ܦ

Ԣ(ݔ)=arctanݔ

1+ݔ

2 Proposition 3 : Si ݂(ݔ)= ܽݎܿ ݐܽ݊ ݔ,ܽ

Exemple 15.6

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=arctan(ݔ െ7) (ݔ)= 1

1+(ݔ

െ7) െ7) (ݔ)= 1

1+(ݔ

െ7)

3(ݔ

െ7) െ7)Ԣ ܦéݎ݅ݒܽݐ݅݋݊ ݁݊ ݄ܿܽ (ݔ)= 1

1+(ݔ

െ7)

3(ݔ

െ7) (2ݔ) (ݔ)= 6ݔ(ݔ െ7)

1+(ݔ

െ7)

Dérivée d"arc

cot x : Comme cette proposition est très similaire à la proposition 3, passons immédiatement à la suivante.

Exemple 15.7

Calculons la dérivée de : ݂(ݔ)=arccot(ݔ +tanݔ) +tanݔ)

1+(ݔ

+tanݔ) (ݔ)=െ൫3ݔ 2

1+(ݔ

+tanݔ) 1

1+[݂(ݔ)]

2

1+[݂(ݔ)]

2 Proposition 4 : Si ݂(ݔ)= ܽݎܿ ܿ݋ݐ ݔ,ܽ െ1

1+[݂(ݔ)]

2

1+[݂(ݔ)]

2

Exercice 15.1

Calculons la dérivée de :

a) ݂(ݔ)=(sinݔെ5) ܽݎܿܿ b) ݂(ݔ)=(arccosݔ)(ܽݎܿ c) e) f) ݂(ݔ)=ln (ܽݎܿ g) ݂(ݔ)= 2ݔ െsinݔarccot5ݔ

15.2 Dérivée des fonctions réciproques de sécante et cosécante

En conclusion de ce chapitre, voici les

propositions concernant les dérivées des fonctions arc sécante et arc cosécante. Cependant, je vous fournirai seulement que les propositions, car la

manière de trouver les dérivées de ces fonctions est, à mon avis, trop redondante pour les

analyser plus en détails par des exemples ou des exercices. Pour tout vous dire, certains professeurs de cégep ne les étudient même pas...

Dérivée d'arc

sec x :

Dérivée d'arc

csc x : ?5 B ?5 B

Ces dérivées devraient être la fin, oui oui la FIN de votre cours de Calcul 1. J'espère que ce

document aura su vous aider à mieux comprendre votre premier cours de calcul différentiel du cégep. Il ne vous restera plus qu'à attaquer le cours de Calcul 2; LES INTÉGRALES!!!!

Réponses

Exercice 15.1

a) ݂(ݔ)=(sinݔെ5) ܽݎܿܿ݋ݐݔ ܽ െ1

1+ݔ

2 (ݔ)=cosݔ(arccotݔ)െ (sinݔെ5)

1+ݔ

2 b) ݂(ݔ)=(arccosݔ)(ܽݎܿtanݔ) ܽ (ݔ)=(arccosݔ)Ԣ(arctanݔ)+(arccosݔ)(arctanݔ)Ԣ ܦ (ݔ)=െ1

ξ1െݔ

(arctanݔ)+(arccosݔ) 1

1+ݔ

2 (ݔ)=െarctanݔ

ξ1െݔ

arccosݔ

1+ݔ

2 c) ݂(ݔ)= (ݔ)=൫arctanξݔ o

ݔo"

1+ ൫ξݔo 2

F(2ݔ)Ԣ

1+(2ݔ)

2 2 1 2 1 2

1+ݔ

F2

1+4ݔ

2 2 1 2

2arctanξݔ

1+4ݔ

2 2

2arctanξݔ

1+4ݔ

2 2 (ݔ)=[arcsinݐܽ

1െݐܽ

FF(െcscݔcotݔ)

1െݐܽ

Fcscݔcotݔ

e) ݂(ݔ)= arcsinݔ െarccosݔ (ݔ)= െ(3ݔ

1െ(ݔ

arcsinݔ െarccosݔ 2ݔ

1െ(ݔ

(ݔ)= െ3ݔ arcsinݔ

ξ1െݔ

F2ݔarccosݔ

ξ1െݔ

f) ݂(ݔ)=ln (ܽݎܿ (ݔ)= 1

)Ԣ ܦéݎ݅ݒé݁ ݀݁ ln ݁ݐ ݀éݎ݅ݒܽݐ݅݋݊ ݁݊ ݄ܿܽ

(ݔ)= 1

1+݁

2ݔ )(1+݁ 2ݔ g) ݂(ݔ)= 2ݔ െsinݔarccot5ݔ ܽ (ݔ)=(2ݔ െ(sinݔarccot5ݔ)Ԣ (ݔ)=6ݔ (ݔ)=6ݔ െcosݔarccot5ݔ+sinݔ െ5

1+25ݔ

2 (ݔ)=6ݔ െcosݔarccot5ݔെ 5sinݔ

1+25ݔ

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