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Fonctions trigonométriques ettrigonométriques inverses 6

6.1 Rappel (fonctions trigonométriques)

Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions dites

élémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sontindispensables à l"étude des phénomènes périodiques.

mesure d"angles"θ figure 6.1.1 figure 6.1.2

360°figure 6.1.3

La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est un angle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotation d"un segment de droite autour d"une de ses extrémités. Un angle dont le côté initial est sur l"axe des abscisses et dont le sommet est le point

d"origine est dit en position standard ou canonique. L"angle estpositif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguillesd"une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans lesens des aiguilles d"une montre (figure 6.1.2).

Depuis l"antiquité, on mesure les angles en degrés. L"angle de 360° estassocié à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas le

segment de droite revient à sa position initiale après avoir fait une rotation complète dans le sens inverse des aiguilles d"une montre (figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi le nombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle- même en 360 jours. Lorsqu"on fait intervenir le calcul différentiel, il

est essentiel d"utiliser une autre mesure, le radian. L"emploi du radiancomme mesure d"angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé-triques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée desfonctions exponentielles et logarithmiques.

définition 6.1.1 le radian lorsque r = 1, la mesure en radians de l"angle

AOB correspond à la

longueur de l"arc AB

On mesure un angle θ en radians en traçant

d"abord un cercle centré sur le sommet del"angle puis, on établit le rapport entre l"arcde cercle s qu"il sous-tend et le rayon r ducercle. L"unité "radian» est habituellementomise.

s rAB O

θ = s

r A s rA secteur angulaire une révolution = longueur de larc circonférence= aire du secteur aire du cercle

2π = s

2πr = A

πr 2 ? s = rθ et A = 1 2 r 2

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque6-2

relation entre degrés et radians Comme la circonférence d"un demi-cercle de rayon r est πr et que θ = s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de

θ = s

r = πr r = π

Par conséquent 180° = π radians

exemple 6.1.1 pour convertir des degrés en radians, on multiplie la mesure en degrés par 180

Convertir 30° en radians.____________

Une simple règle de trois permet d"effectuer la conversion. Si θ est la quantité cherchée, ????? 180° = π

30° = θ ?θ = 30°× π

180°

6 exemple 6.1.2 pour convertir des radians en degrés, on multiplie la mesure en radians par 180
Convertir π/4 radians en degrés____________

Si θ est la quantité cherchée,

????? 180° = π

θ = π/4 ?θ = π/4× 180°

= 45° exemple 6.1.3

π/3

r = 6s = ? figure 6.1.4 Calculer la longueur de l"arc de cercle de la figure 6.1.4.____________ On a S = rθ (où θ est un angle en radians) = 6(π/3) = 2π (6,28) définition 6.1.2 les six rapports trigonométriques (x, y) r xy P O hypoténuse côté adjacent côté opposé Soit θ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à une distance r de l"origine O sur le côté terminal de l"angle. sinus: sin θ = y r ;cosécante: cosec θ = r y cosinus: cos θ = x r ;sécante: sec θ = r x tangente: tg θ = y x ;cotangente: cotg θ = x y Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alors θ est un angle

aigu d"un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les sixrapports trigonométriques de la manière suivante.

sin θ = côté opposé hypoténuse ;cosec θ = hypoténuse côté opposé cos θ = côté adjacent hypoténuse ;sec θ = hypoténuse côté adjacent tg θ = côté opposé côté adjacent ;cotg θ = côté adjacent côté opposé

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque6-3

les six fonctions

trigonométriquesLes six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvellesfonctions: sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg), cotangente (cotg),sécante (sec) et cosécante (cosec). L"étude de ces fonctions est grande-ment simplifiée lorsqu"elle est faite à partir d"un cercle de rayon 1.

le cercle

trigonométriqueOn considère d"abord un cercle de rayon 1centré à l"origine d"un plan cartésien que l"onnomme cercle trigonométrique. On trace un

angle de θ radians ayant pour sommet le point

(0, 0) et dont l"un des côtés repose sur l"axepositif des x. L"autre côté rencontre le cercle enun point (x, y). On appelle

r = 1 (0, 0) (cos θ, sin θ) •sin θ la valeur de y,•cosec θ la valeur de 1/y, •cos θ la valeur de x,•sec θ la valeur de 1/x, •tg θ la valeur de y/x,•cotg θ la valeur de x/y. exemple 6.1.4

π/2(0, 1)

Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2). __________________________________ L"angle de π/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ; ?sin(π/2) = 1 ; tg(π/2) = 1/0 ( ?/ );sec(π/2) = 1/0 ( ?/ ) cos(π/2) = 0 ; cotg(π/2) = 0/1 = 0 ; cosec(π/2) = 1/1 = 1 exemple 6.1.5 45
5 2 - 4 2 = 3 Si sin θ = 4/5 (0< θ<π/2), trouver cos θ , tg θ , cotg θ , sec θ , cosec θ __________________________________ sin θ = côté opposé hypoténuse = 4

5 , par la relation de Pythagore on a

côté adjacent = ⎷‾‾‾‾5 2 - 4 2 = 3 cos θ = côté adjacent hypoténuse = 3

5 ; sec θ = hypoténuse

côté adjacent = 5 3 tg θ = côté opposé côté adjacent = 4

3;cosec θ = hypoténuse

côté opposé = 5 4 cotg θ = côté adjacent côté opposé = 3 4

angles remarquablesIl est possible à l"aide de la géométrie élémentaire d"obtenir la valeur

exacte de sin θ et de cos θ lorsque θ = π/6, θ = π/4 ou θ = π/3. sin(π/6) = 1/2 cos(

π/6) = ⎷‾3/2

sin(

π/4) = ⎷‾2/2

cos(

π/4) = ⎷‾2/2

sin(

π/3) = ⎷‾3/2

cos(

π/3) = 1/2

1/21 /6 /3 (3/2,1/2) 3/2 1

π/4

π/4

(2/2,2/2) 2/2 2/2 1

π/3

/6 (1/2,3/2) 3/2 1/2

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque6-4

exemple 6.1.6 Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) ,cosec(π/6). ____________

L"angle de π/6 est associé au couple

(x, y) = ( ⎷‾3/2, 1/2) ; ?sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = ⎷‾3/2 cotg(π/6) , sec(π/6) et

π/6

(3/2, 1/2) tg(π/6) = 1/2 ⎷‾3/2 = 1 ⎷‾3 = 1 ⎷‾3 ⎷‾3 ⎷‾3 = ⎷‾3 3 cotg(π/6) = ⎷‾3/2

1/2 = ⎷‾3

sec(π/6) = 1 ⎷‾3/2 = 2 ⎷‾3 = 2 ⎷‾3 ⎷‾3 ⎷‾3 = 2⎷‾3 3 cosec(π/6) = 2

1 = 2

II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques surle cercle trigonométrique.

π (180°) →(-1, 0)

0 (0°) →(1, 0)

3π/2 (270°) → (0, -1)

π/3 (60°) → (1/2, 3/2)

π/4 (45°) → (2/2, 2/2)

π/6 (30°) → (3/2, 1/2)

11

π/6 (330°) → (3/2, -1/2)

7

π/4 (315°) → (2/2, -2/2)

5

π/3 (300°) → (1/2, -3/2)4

π/3 (240°) → (-1/2, -3/2)5

π/4 (225°) → (-2/2, -2/2)7

π/6 (210°) → (-3/2, -1/2)5

π/6 (150°) → (-3/2, 1/2)3

π/4 (135°) → (-2/2, 2/2)2

π/3 (120°) → (-1/2, 3/2)

π/2 (90°)

→(0, 1)

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque6-5identités

trigonométriques une fonction ƒ(x) est périodique de période p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x) pour toute valeur de x Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. (k est un nombre entier)

1. sin(θ ± 2kπ)= sin θ

2. cos(θ ± 2kπ)= cos θ

(cos θ, -sin θ)(cos

θ, sin θ)

La fonction sinus est une fonction impaire tandis que la fonction cosinusest une fonction paire.

3. sin(-θ)= -sin θ

4. cos(-θ)= cos θ

Deux identités fort utiles, sont les identités d"angles complémentaires etcelles permettant les translations horizontales.

5. sin θ= cos

2 - θ = cos 2

6. cos θ= sin

2 - θ = sin 2 Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2.

7. sec θ= 1

cos

10.tg θ= sin

cos θ

8.cosec θ= 1

sin

11. cotg θ= cos

sin θ

9.tg θ= 1

cotg cos θ r = 1 (cos θ, sin θ) sin θ En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a 12. sin 2

θ + cos

2

θ = 1

Si on divise chaque membre de lidentité 12 par cos 2

θ on obtient

l"identité 13 et si on on divise chaque membre de l"identité 12 par sin 2

θ on obtient l"identité 14,

13. tg

2

θ + 1 = sec

2

14. 1 + cotg

2

θ = cosec

2 mais attention! sin(θ 1 2 ) ≠ sinθ 1 + sinθ 2 sin(θ 1 2 ) ≠ sinθ 1 - sinθ 2 cos(θ 1 2 ) ≠ cosθ 1 + cosθ 2 cos(θ 1 2 ) ≠ cosθ 1 - cosθ 2 Les identités d"addition pour le sinus et le cosinus sont:

15. sin(θ

1 2 )= sin θ 1 cos θ 2 + sin θ 2 cos θ 1

16. sin(θ

1 2 )= sin θ 1 cos θ 2 - sin θ 2 cos θ 1

17. cos(θ

1 2 )= cos θ 1 cos θ 2 - sin θ 1 sin θ 2

18. cos(θ

1 2 )= cos θ 1 cos θ 2 + sin θ 1 sin θ 2

6.1 rappel (fonctions trigonométriques)

André Lévesque6-6

À partir des identités 15 et 17, on peut en déduire deux autres sur lesinus et le cosinus d"angles doubles.

19. sin 2θ

= 2 sinθ cosθ

20. cos 2θ = cos

2

θ - sin

2 En utilisant l"identité 12 dans la dernière, on obtient 21.
sin 2

1 - cos 2θ

2

22. cos

2

1 + cos 2θ

2 résolution d"équations

trigonométriquesOn résout une équation contenant une ou plusieurs fonctions trigono-métriques de la même façon que l"on résout les équations algébriques.

exemple 6.1.7 on s"assure d"abord que les arguments des fonctions trigonométriques sont les mêmes puis, si c"est possible, on transforme tout en sinus ou en cosinus Résoudre l"équation sin 2x = sin x pour x ? [0, 2π[ . ____________ sin 2x = sin x

2 sin x cos x = sin x

(identité 19)

2 sin x cos x - sinx = 0

(sin x)(2 cos x - 1) = 0 ? sin x =

0 ou cos x =

1 2

Lorsque langle x ? [0, 2π[, on a

sin x =

0 ?

????? x → (1, 0) ? x = 0 x → (-1, 0) ? x = π cos x = 1

2 ?

x → (1/2, ⎷‾3/2) ? x = 3 x → (1/2, -⎷‾3/2) ? x = 5π 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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