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Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??



CONTINUITÉ DES FONCTIONS

La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon. http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_SolEqua.pdf. EXEMPLE 2.



Chapitre8 : Fonctions continues

Le produit d'une fonction continue par un réel est continu. Le produit de deux fonctions et composition de fonctions continues donc est continue.



Fonctions continues et uniformement continues

Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.



2. Continuité des fonctions

f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

La réciproque est fausse. Par exemple la fonction f : x ??





Corrigé du TD no 11

max(fg) = 1. 2. (f + g +



Chapitre4 : Intégrale dune fonction continue sur un segment et

D'où on tire alors le résultat voulu. B) Remarques. Soit f une fonction définie sur I où I est un intervalle. On suppose f non continue 



Espaces Vectoriels Normés et Topologie

fonctions continues sur le segment [01]. Pour vous donner un exemple assez concret



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Proposition 8.1.1 (Existence et quasi-unicité d'une primitive). Toute fonction continue d'une variable f admet des primitives. De plus (sur tout intervalle 



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1) • La fonction est continue sur l'intervalle [1 ; 2] car une fonction polynôme est continue sur ? • (1) = 1 ? 1 ?1=?1



[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine

Lorsque le contexte est ambigü évitder de dire f est continue sur [0 1] mais plutôt f[01] est continue Remarque : Si f est continue sur [a b] et sur [b 



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7 nov 2014 · Propriété 1 : Admis • Les fonctions polynômes sont continues sur R • La fonction inverse x ?? 1 x est continue sur ] ? ?;0[ et sur ] 



[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

Continuité des fonctions réelles 2 1 Généralités Définition 2 1 1 Une fonction réelle f est une application d'une partie D de R dans R La partie D est 



[PDF] COURS 12 : Fonctions continues (suite)

Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a b] et atteint ses bornes sur [a b] Démonstration Pour montrer 



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?? ? R? + ?x ? R 3 ? ? < x < 3 + ? ? 8 98 < x2 < 9 02 Exo 1 La fonction cosinus est continue en a := 2? Si on applique cet



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1 si x=2 Comme f (2) = 1 f est définie en 2 et lim x?2 x2 –x– 2 x– 2 Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 



[PDF] Continuité dune fonction Théorème des valeurs intermédiaires

fonction est continue sur l'intervalle [– 1 ; 3] (en effet on peut tracer sa courbe sans lever le crayon) mais non dérivable au point d'abscisse 2 (la courbe 



[PDF] Fonctions continues ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

Fonctions continues I- Fonction continue sur un intervalle En revanche on peut prolonger par continuité en posant : (2) = 1 Les fonctions de 



[PDF] LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool

III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES 1) Continuité sur un intervalle Définition : Soit une fonction dont le domaine de définition est  

  • Comment expliquer qu'une fonction est continue ?

    En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).

  • Quelles sont les fonctions continues ?

    Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.

  • Comment justifier qu'une fonction est continue sur R ?

    Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
  • On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).

Chapitre 2Continuit´e des fonctions r´eelles2.1 G´en´eralit´esD´efinition 2.1.1.Une fonction r´eelleest une application d"une partiedeRdansR.

La partieest appel´ee ensemble (ou domaine) de d´efinition de la fonction. Une fonction peut ˆetre d´efinie de plusieurs fa¸cons : - Par une formule explicite :() = 23
cos - Abstraitement :() est le nombre de nombres premiers compris entre 0 et.

2.2 Limite d"une fonction en un point

Soitune partie deR, et soit0R. On dit que0estadh´erent`as"il existe une suite d"´el´ements dequi converge vers0. On note l"ensemble des points adh´erents `a. Tout point deest adh´erent `a, c"est-`a-dire que . En g´en´eral,est plus grand que.

Exemples.a) Si= [01[, alors

= [01]. b) Si=]01[]1+[, alors = [0+]. c) Si=sin()N, alors = [11].

D´efinition 2.2.1.Soit:Rune fonction, et soit0

. On dit queadmet

Rpour limite en0si :

pour tout 0, il existe 0 tel que, pour tout,

0 = ()

ou, avec des quantificateurs,

0 00 = ()

17 Ceci se traduit de la fa¸con suivante : pour tout 0 (arbitrairement petit), il existe

0 tel que, siest `a une distance inf´erieure `ade0, alors() est `a une distance

inf´erieure `ade. Insistons sur le fait qued´epend de! Pour exprimer le fait queadmetpour limite en0, nous noterons lim

0() =ou()0

On peut aussi dire que() tend versquandtend vers0. Pour que ceci ait un sens, il faut montrer l"unicit´e de la limite - quand elle existe. Proposition 2.2.2.Si une fonction admetetpour limites en un mˆeme point0, alors=. D´emonstration.Mˆeme principe que pour l"unicit´e de la limite d"une suite.

Nous avons clairement les ´equivalences :

lim

0() =lim0(()) = 0lim0()= 0

Proposition 2.2.3.Soit:Rune fonction, et soit0. Siadmet une limite en0, alors celle-ci est forc´ement ´egale `a(0). D´emonstration.Soitla limite deen0. Soit 0, alors

00 = ()

En particulier, en prenant=0, la condition0 est satisfaite, donc (0) Ainsi(0)est un r´eel positif inf´erieur `a toute quantit´e strictementpositive, donc est nul, c"est-`a-dire que=(0). D´efinition 2.2.4.Soit:Rune fonction, et soit0. On dit queest continue en0siadmet une limite en0, c"est-`a-dire (d"apr`es la proposition) si lim

0() =(0)

D´efinition 2.2.5.Soit:Rune fonction, et soit0

. On dit queest prolongeable par continuit´e en0s"il existe une fonction: 0 Rcontinue en

0telle que=.

Proposition 2.2.6.Soit:Rune fonction, et soit0

. Alorsest prolongeable par continuit´e en0si et seulement siadmet une limite (finie) en0. 18

2.2.1 Limites `a droite et `a gaucheD´efinition 2.2.7.Soit:Rune fonction, et soit0

(1) On dit queadmetpour limite `a droite en0si la restriction de`a]0+[ admetpour limite en0. On note lim

00() =ou lim

+0() = (2) On dit queadmetpour limite `a gauche en0si la restriction de`a]0[ admetpour limite en0. On note lim

00() =ou lim

0() = Pour que la limite `a droite existe, il faut que0soit un point adh´erent `a]0+[. Notons ´egalement que, mˆeme dans le cas o`uest d´efinie en0, la valeur(0) n"intervient plus dans le calcul de la limite `a droite, puisqu"on a enlev´e0de l"ensemble de d´efinition. On peut faire la mˆeme remarque pour la limite `a gauche.

Remarque.Soit:Rune fonction, et soit0.

a) La fonctionadmet une limite en0(c"est-`a-dire,est continue en0) si et seulement si elle admet(0) comme limite `a droite et `a gauche en0. b) Siadmet des limites distinctes `a droite et `a gauche en0, alorsn"admet pas de limite en0. c) Soit:RRla fonction ´egale `a 1 surR, et nulle en 0. Alors lim

00() = 1 = lim00()

et pourtantn"admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0).

2.2.2 Caract´erisation s´equentielle de la limite

L"id´ee est tr`es simple : pour faire tendrevers0, on peut prendre une suite qui converge vers0.

Proposition 2.2.8.Soit:Rune fonction, et soit0

. Alorsadmetpour limite en0si et seulement si, pour toute suite()d"´el´ements dequi converge vers

0, la suite()converge vers.

19 D´emonstration.. Supposons que lim0() =, et soit () une suite qui converge vers0. Soit 0. Alors il existe 0 tel que

0 = ()

D"autre part, on sait que

N0 on en d´eduit que . Nous allons montrer la contrapos´ee, `a savoir : si lim0()=, alors il existe une suite () d"´el´ements dequi converge vers0, telle que() ne converge pas vers. Supposons quen"admette paspour limite en0. Alors :

0 00 et()

En particulier, en prenant=1

pourN, on obtient : 0N0 1 et() Mais alors, la suite () converge vers0et la suite() ne converge pas vers. Ce qu"on voulait.

2.2.3 Op´erations sur les limites

Th´eor`eme 2.2.9.Soient:Ret:Rdeux fonctions, et soit0 . On suppose que lim0() =etlim0() = Alors (1)La fonction+admet+pour limite en0. (2)La fonctionadmetpour limite en0. (3)Supposons= 0. Alors la fonction1 est bien d´efinie dans un voisinage de0, et admet 1 pour limite en0. On appellevoisinagede0un intervalle ouvert de la forme ]00+[ avec 0.

D´emonstration.Grˆace `a la caract´erisation s´equentielle de la limite, onse ram`ene `a la

proposition analogue pour les limites de suites. Le seul point `amontrer est que, si= 0, alors la fonction 1 est bien d´efinie dans un voisinage de0. Supposons 0, alors nous avons :

0]00+[()

2 20

En effet, la n´egation s"´ecrit

0]00+[()

2 ce qui contredit le fait queadmettepour limite en0.

On peut r´ecup´erer les th´eor`emes sur les limites de suites (par exemple, le th´eor`eme

des gendarmes) et les adapter pour les limites de fonctions.

On peut aussi composer les limites de fonctions.

Th´eor`eme 2.2.10.Soient:1Ret:2Rdeux fonctions, telles que(1)

2, et soit0

1. On suppose queadmetpour limite en0. Alorsappartient `a

2. De plus, siadmet une limite en, alorsadmet la mˆeme limite en0.

En d"autres termes, si lim

() existe, alors : lim

0()() = lim()

La r´eciproque est fausse : il se peut que le membre de gauche existe, mais pas celui de droite. Par exemple, siest la fonction nulle, alorsest la fonction constante ´egale `a(0), donc admet une limite en tout point, alors que la limite deen 0 peut tr`es bien ne pas exister. D´emonstration.Comme0est adh´erent `a1, il existe une suite () d"´el´ements de1 qui converge vers0. Commeadmetpour limite en0, on en d´eduit que la suite (()) (`a valeurs dans2) converge vers, d"o`u 2.

Supposons `a pr´esent que lim

() existe, notons-la. Soit 0, alors il existe

0 tel que

2 = ()

d"autre part, commeadmetpour limite en0, il existe 0 tel que

10 = ()

En regroupant le tout, on trouve :

10 = (())

ce qu"on voulait.

2.2.4 Limites infinies

On peut r´ecup´erer ce qui a ´et´e fait pour les suites : les op´erations alg´ebriques sur les

limites infinies sont les mˆemes. On peut aussi composer les limitesinfinies. 21

2.3 Propri´et´es des fonctions continuesD´efinition 2.3.1.Soit:Rune fonction. On dit queest continue si elle est

continue en tout point de. Sietsont continues sur, alors+etsont continues sur, et1 est continue partout o`u elle est d´efinie. La fonctionest ´egalement continue sur.

2.3.1 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

On l"appelle plus famili`erement le TVI. Il est d´emontr´e parCauchy dans son cours de 1821.
Th´eor`eme 2.3.2(Valeurs interm´ediaires).Soientetdeux r´eels avec , et soit : []Rune fonction continue. Alors, pour tout r´eelcompris entre()et(), il existe[]tel que() =. D´emonstration.Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que() (). Nous construisons par r´ecurrence une suite d"intervalles [], de la fa¸con suivante. - [00] = [] - Supposons [] construit. Soit=k+k

2le milieu de cet intervalle. Si() =,

on s"arrˆete. Sinon, on pose [+1+1] =? [] si() [] si() Si la suite d"intervalles ainsi construite est finie, alors on a trouv´e untel que() =. Sinon, nous avons, par contruction, les propri´et´es suivantes pour tout:

1)() ()

2) [+1+1][]

3)=00 2 En particulier les suites () et () sont adjacentes, donc convergent vers une limite commune. Donc() et() convergent vers(). Ainsi, par passage `a la limite dans l"in´egalit´e 1), on trouve que() =, ce qu"on voulait. Corollaire 2.3.3.L"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Cela d´ecoule du fait suivant : une partiedeRest un intervalle si et seulement si, pour tousavec , l"intervalle [] est inclus dans. Si: []Rest une fonction continue, alors([]) est un intervalle, et 22
mais en g´en´eral l"ensemble de gauche est beaucoup plus petitque celui de droite. Penser `a une fonction telle que() =(). L"´egalit´e est cependant vraie siest une fonction strictement monotone (c"est le th´eor`eme de la bijection, que l"on verra plus loin). Voici un cas particulier du TVI, d´emontr´e en 1817 par Bolzano. Corollaire 2.3.4(Th´eor`eme de Bolzano).Soit: []Rune fonction continue. Si ()()0, alors il existe][tel que() = 0. D´emonstration.En effet,()()0 signifie que() et() sont de signes contraires, donc que 0 est compris entre les deux. Exemple.Tout polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair admet aumoins une racine r´eelle. La propri´et´e des valeurs interm´ediaires correspond `a une notion intuitive : il est pos- sible de dessiner le graphe de la fonction"d"un seul trait»(c"est-`a-dire sans soulever le crayon). Cette remarque am`ene `a se poser la question : n"y a-t-il pas ´equivalence entre la

propri´et´e des valeurs interm´ediaires et la continuit´e? La r´eponse est malheureusement

n´egative. Un contre-exemple nous est donn´e par la fonction:RRd´efinie par () = sin?1 si= 0, et(0) = 0 Cette fonction n"est pas continue en 0 mais elle satisfait bien la propri´et´e des valeurs interm´ediaires pour chaque couple de points dansR. Plus g´en´eralement, le th´eor`eme de Darboux affirme que toute fonction []Rqui admet une primitive satisfait la propri´et´e des valeurs interm´ediaires.

2.3.2 Th´eor`eme des bornes

Th´eor`eme 2.3.5(Th´eor`eme des bornes).Soientetdeux r´eels avec , et soit : []Rune fonction continue. Alorsest born´ee sur[], et atteint ses bornes. D´emonstration.Commen¸cons par montrer queest major´ee. Raisonnons par l"absurde : sin"est pas major´ee, alors pour tout entierNon peut trouver un r´eel[] tel que() . Comme [] est born´e, d"apr`es Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite (k) de () qui converge vers un certain. Comme [] est ferm´e,appartient `a []. Par continuit´e de, la suite(k) converge vers(). Mais ceci est impossible puisque(k) n"est pas born´ee. Doncest major´ee. Soitla borne sup´erieure de l"ensemble([]), nous allons montrer queest atteint par la fonction. SoitN, alors1 n"est pas un majorant de([]), donc il existe[] tel que() 1 . Comme()pour tout, on en d´eduit (par le th. des gendarmes) que la suite() converge vers. D"apr`es le th´eor`eme 23
de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite (k) de () qui converge vers un certain[]. Mais alors,() est ´egal `a la limite de la suite(k), donc() =, ce qu"on voulait.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
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