Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon. http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_SolEqua.pdf. EXEMPLE 2.
Chapitre8 : Fonctions continues
Le produit d'une fonction continue par un réel est continu. Le produit de deux fonctions et composition de fonctions continues donc est continue.
Fonctions continues et uniformement continues
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
2. Continuité des fonctions
f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La réciproque est fausse. Par exemple la fonction f : x ??
Corrigé du TD no 11
max(fg) = 1. 2. (f + g +
Chapitre4 : Intégrale dune fonction continue sur un segment et
D'où on tire alors le résultat voulu. B) Remarques. Soit f une fonction définie sur I où I est un intervalle. On suppose f non continue
Espaces Vectoriels Normés et Topologie
fonctions continues sur le segment [01]. Pour vous donner un exemple assez concret
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Proposition 8.1.1 (Existence et quasi-unicité d'une primitive). Toute fonction continue d'une variable f admet des primitives. De plus (sur tout intervalle
[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
1) • La fonction est continue sur l'intervalle [1 ; 2] car une fonction polynôme est continue sur ? • (1) = 1 ? 1 ?1=?1
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
Lorsque le contexte est ambigü évitder de dire f est continue sur [0 1] mais plutôt f[01] est continue Remarque : Si f est continue sur [a b] et sur [b
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · Propriété 1 : Admis • Les fonctions polynômes sont continues sur R • La fonction inverse x ?? 1 x est continue sur ] ? ?;0[ et sur ]
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Continuité des fonctions réelles 2 1 Généralités Définition 2 1 1 Une fonction réelle f est une application d'une partie D de R dans R La partie D est
[PDF] COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a b] et atteint ses bornes sur [a b] Démonstration Pour montrer
[PDF] Continuité
?? ? R? + ?x ? R 3 ? ? < x < 3 + ? ? 8 98 < x2 < 9 02 Exo 1 La fonction cosinus est continue en a := 2? Si on applique cet
[PDF] 2 Continuité des fonctions - Apprendre-en-lignenet
1 si x=2 Comme f (2) = 1 f est définie en 2 et lim x?2 x2 –x– 2 x– 2 Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3
[PDF] Continuité dune fonction Théorème des valeurs intermédiaires
fonction est continue sur l'intervalle [– 1 ; 3] (en effet on peut tracer sa courbe sans lever le crayon) mais non dérivable au point d'abscisse 2 (la courbe
[PDF] Fonctions continues ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
Fonctions continues I- Fonction continue sur un intervalle En revanche on peut prolonger par continuité en posant : (2) = 1 Les fonctions de
[PDF] LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool
III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES 1) Continuité sur un intervalle Définition : Soit une fonction dont le domaine de définition est
Comment expliquer qu'une fonction est continue ?
En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).Quelles sont les fonctions continues ?
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.Comment justifier qu'une fonction est continue sur R ?
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).- On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
3.1 Fonctions d´erivables
Dans tout ce chapitre,d´esigne un intervalle non vide deR. D´efinition 3.1.1.Soit:Rune fonction, et soit0. On dit queest d´erivable en0si la limite lim0(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee deen0, on la note(0). Bien sˆur, il revient au mˆeme de regarder la limite lim0()(0)
0Rappelons l"interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee : siest d´erivable en0, alors
la courbe repr´esentative de la fonctionadmet une tangente au point (0(0)), de coefficient directeur(0).En fait, la fonction(0+)(0)
dont on consid`ere ici la limite en 0, n"est pasd´efinie en ce point. Dans ce cas, l"existence de la limite ´equivaut `a l"´egalit´e des limites `a
gauche et `a droite. C"est pourquoi on introduit les d´eriv´ees `a gauche et `a droite. D´efinition 3.1.2.Soit:Rune fonction, et soit0. 27(1) On dit queest d´erivable `a gauche en0si la limite lim
00(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee de`a gauche en0, on la note (0). (2) On d´efinit de mˆeme la d´eriv´ee `a droite, que l"on note(0).Proposition 3.1.3.Soit: []Rune fonction.
(1)Soit0][. Alorsest d´erivable en0si et seulement siest d´erivable `a droite et `a gauche en0et(0) =(0). (2)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a droite en. (3)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a gauche en. Les notions de d´eriv´ee `a droite et `a gauche ne sont pas tr`es importantes. Elles per- mettent cependant de v´erifier qu"une fonction est (ou n"est pas)d´erivable en un point. Proposition 3.1.4.Siest d´erivable en0, alorsest continue en0. D´emonstration.Supposonsd´erivable en0, alors la limite lim0=0()(0)
0 existe, et est finie. En multipliant par la fonction (0), qui tend vers 0, on en d´eduit que lim0=0()(0) = 0
c"est-`a-dire lim0=0() =(0)
ce qui montre queest continue en0. La r´eciproque est fausse. Par exemple, la fonction: est continue en 0, mais n"est pas d´erivable en ce point. En effet,(0) =1 et(0) = 1. Proposition 3.1.5.Soit:Rune fonction, et soit0. Alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee(0), si et seulement si il existe une fonctiontelle quelim0() = 0,
satisfaisant (0+) =(0) +(0) +() pour touttel que0+. 28D´emonstration.. Supposonsd´erivable en0. Alors il suffit de d´efinir () =(0+)(0) (0) pour= 0, et(0) = 0.. Supposons qu"il existe une fonctiontelle que lim0() = 0, satisfaisant (0+) =(0) ++() pour un certain r´eel. On peut ´ecrire : (0+)(0) Quandtend vers 0, le membre de droite tend vers. Doncest d´erivable en0et (0) =. Cons´equences imm´ediates de cette proposition : - siest d´erivable en0, et siest un r´eel, alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee (0). - une fonction constante est partout d´erivable, de d´eriv´eenulle. - une fonction affine:+est partout d´erivable, et(0) =pour tout0.
Voici deux exemples bien connus.
Exemples.a) Soit1 un entier, nous allons d´eriver la fonction:. Soit0 un r´eel fix´e, alors d"apr`es la formule du binˆome de Newton nous avons, pour tout, (0+) = (0+)=? =0? 0 =0+(10) +2? =2? 20? et le dernier terme est une fonction de la forme(). Ainsi,est d´erivable en0, et (0) =10. b) Soit la fonction:1 , et soit0= 0. Alors, pour toutnous avons (0+)(0) =10+10=0(0+)
d"o`u lim0(0+)(0)
=120Doncest d´erivable en0, et(0) =1
20. 29C"est Blaise Pascal qui, au d´ebut du 17esi`ecle, a le premier men´e des ´etudes sur la notion de tangente `a une courbe.
D`es la seconde moiti´e du 17
esi`ecle, le domaine math´ematique de l"analyse num´erique connaˆıt une avanc´ee prodigieuse grˆace aux travaux de Newtonet de Leibniz en mati`ere de calcul diff´erentiel et int´egral. Le marquis de l"Hˆopital participe aussi, `a la fin du 17 esi`ecle, `a ´etoffer cette nouvelle th´eorie, notamment en utilisant la d´eriv´ee pour calculerune limite dans le cas de formesind´etermin´ees particuli`eres (c"est la r`egle de L"Hˆopital, ´enonc´ee `a la fin du chapitre).
Finalement, d"Alembert introduit la d´efinition rigoureuse dunombre d´eriv´e en tant que limite du taux d"accroissement - sous une forme semblable `a celle qui est enseign´ee de nos jours. Cependant, `a l"´epoque de d"Alembert, c"est la notion de limite qui pose probl`eme. C"est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du 19esi`ecle que le concept de d´eriv´ee sera enti`erement formalis´e.C"est Lagrange (fin du 18
esi`ecle) qui a introduit la notation(0) pour d´esigner la d´eriv´ee deen0. Leibniz notait (0) et Newton (0). Ces trois notations sont encore usit´ees de nos jours.3.2 Op´erations sur les d´eriv´ees
Commen¸cons par les op´erations alg´ebriques sur les d´eriv´ees. Th´eor`eme 3.2.1.Soient:Rdeux fonctions, et soit0. On suppose que etsont d´erivables en0. Alors (1)+est d´erivable en0, et (+)(0) =(0) +(0) (2)est d´erivable en0, et ()(0) =(0)(0) +(0)(0) (3)si(0)= 0, alors est d´erivable en0, et (0) =(0)(0)(0)(0)(0)2D´emonstration.(1) Il suffit d"´ecrire
(() +())((0) +(0))0=()(0)0+()(0)0
30et de passer `a la limite quand0. (2) Il suffit d"´ecrire ()()(0)(0)
0=()(0)0() +(0)()(0)0
et de passer `a la limite quand0, en se servant de la continuit´e deen0. (3) Nous avons 1 ()1(0)0=1()(0)()(0)0
Par passage `a la limite, on en d´eduit que la fonction 1 est d´erivable en0, de d´eriv´ee ?1 (0) =(0)(0)2On applique alors le point (1) qui donne
(0) =(0)1(0)+(0)? (0)(0)2? d"o`u le r´esultat.Cons´equences de ce th´eor`eme :
- une fonction polynˆome est d´erivable surR, et sa d´eriv´ee est un polynˆome. - une fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est d´erivable sur son ensemble de d´efinition, et sa d´eriv´ee est une fonction rationnelle. En effet, nous avons vu que les fonctions de la formesont d´erivables sur toutR. On en d´eduit que les monˆomessont d´erivables, puis que les sommes demonˆomes, c"est-`a-dire les polynˆomes, sont d´erivables surR. Le r´esultat pour les fonctions
rationnelles en d´ecoule, par d´erivation d"un quotient. Apr`es les op´erations alg´ebriques, passons `a la composition des fonctions. Th´eor`eme 3.2.2(D´erivation des fonctions compos´ees).Soient:Ret:R deux fonctions telles que(), et soit0. Siest d´erivable en0, et siest d´erivable en(0), alorsest d´erivable en0et ()(0) =((0))(0) D´emonstration.Il existe des fonctions1et2telles que lim01() = 0 = lim02()
satisfaisant, pour tout, (0+) =(0) +(0) +1() 31et, pour tout, ((0) +) =((0)) +((0)) +2()
Prenons en particulier
=((0) +1())Alors nous avons
((0+)) =((0) +) =((0)) +((0)) +2() =((0)) +((0) +1())((0)) +((0) +1())2(((0) +1())) =((0)) +(0)((0)) +3() o`u l"on a pos´e3() =1()((0)) + ((0) +1())2(((0) +1()))
Il est clair que lim
03() = 0, d"o`u le r´esultat.
On voudrait `a pr´esent calculer les d´eriv´ees des fonctions usuelles. Montrer que lesfonctions trigonom´etriques sin et cos sont d´erivables (et calculer leurs d´eriv´ees) n"est pas
´evident, et d´epend des d´efinitions que l"on donne pour ces fonctions. Pour log et exp, c"est plus facile... si on d´efinit log comme l"unique primitive de1 sur ]0+[ qui s"annule en 1. Mais encore faut-il montrer qu"une telle primitive existe : ce sera un r´esultat important du chapitre consacr´e `a l"int´egration. La fonction exp est ensuite d´efinie comme la r´eciproque de la fonction log, et pour la d´eriver on se sert du r´esultat suivant. Th´eor`eme 3.2.3(D´erivation des fonctions r´eciproques).Soit:Rune fonction continue strictement monotone. Alors : (1)L"ensemble:=()est un intervalle, dont les bornes sont les limites deaux bornes de. La fonctionr´ealise une bijection entreet. (2)La bijection r´eciproque1:est continue strictement monotone, de mˆeme sens de variations que. (3)Siest d´erivable en un point0, et si(0)= 0, alors1est d´erivable au point0=(0)et (1)(0) =1 (0)=1(1(0)) D´emonstration.(1) et (2) : c"est le th´eor`eme de la bijection (voir le chapitre 2). (3). Supposonsd´erivable en0. Soit0=(0) et soit, on s"int´eresse `a la quantit´e1()1(0)
0 32Posons=1(), alors cette quantit´e s"´ecrit
0 ()(0)quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] mps projet autour du yaourt
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