Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon. http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_SolEqua.pdf. EXEMPLE 2.
Chapitre8 : Fonctions continues
Le produit d'une fonction continue par un réel est continu. Le produit de deux fonctions et composition de fonctions continues donc est continue.
Fonctions continues et uniformement continues
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
2. Continuité des fonctions
f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La réciproque est fausse. Par exemple la fonction f : x ??
Corrigé du TD no 11
max(fg) = 1. 2. (f + g +
Chapitre4 : Intégrale dune fonction continue sur un segment et
D'où on tire alors le résultat voulu. B) Remarques. Soit f une fonction définie sur I où I est un intervalle. On suppose f non continue
Espaces Vectoriels Normés et Topologie
fonctions continues sur le segment [01]. Pour vous donner un exemple assez concret
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
Proposition 8.1.1 (Existence et quasi-unicité d'une primitive). Toute fonction continue d'une variable f admet des primitives. De plus (sur tout intervalle
[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
1) • La fonction est continue sur l'intervalle [1 ; 2] car une fonction polynôme est continue sur ? • (1) = 1 ? 1 ?1=?1
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
Lorsque le contexte est ambigü évitder de dire f est continue sur [0 1] mais plutôt f[01] est continue Remarque : Si f est continue sur [a b] et sur [b
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · Propriété 1 : Admis • Les fonctions polynômes sont continues sur R • La fonction inverse x ?? 1 x est continue sur ] ? ?;0[ et sur ]
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Continuité des fonctions réelles 2 1 Généralités Définition 2 1 1 Une fonction réelle f est une application d'une partie D de R dans R La partie D est
[PDF] COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a b] et atteint ses bornes sur [a b] Démonstration Pour montrer
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?? ? R? + ?x ? R 3 ? ? < x < 3 + ? ? 8 98 < x2 < 9 02 Exo 1 La fonction cosinus est continue en a := 2? Si on applique cet
[PDF] 2 Continuité des fonctions - Apprendre-en-lignenet
1 si x=2 Comme f (2) = 1 f est définie en 2 et lim x?2 x2 –x– 2 x– 2 Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3
[PDF] Continuité dune fonction Théorème des valeurs intermédiaires
fonction est continue sur l'intervalle [– 1 ; 3] (en effet on peut tracer sa courbe sans lever le crayon) mais non dérivable au point d'abscisse 2 (la courbe
[PDF] Fonctions continues ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
Fonctions continues I- Fonction continue sur un intervalle En revanche on peut prolonger par continuité en posant : (2) = 1 Les fonctions de
[PDF] LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool
III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES 1) Continuité sur un intervalle Définition : Soit une fonction dont le domaine de définition est
Comment expliquer qu'une fonction est continue ?
En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).Quelles sont les fonctions continues ?
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.Comment justifier qu'une fonction est continue sur R ?
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).- On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Théorème 0.1.Sifest une fonction continue sur un intervalle fermé borné[a,b]alors fest bornée sur[a,b]et atteint ses bornes sur[a,b].DémonstrationPour montrer quefest bornée, il suffit de montrer que la fonction (composée)|f|est
majorée. Comme la fonctionx?→ |x|est continue surR, sifest continue sur[a,b]alors |f|aussi. Supposons que|f|ne soit pas majorée. Alors il existe une suite(xn)nd"éléments de[a,b]tels que|f(xn)|tend vers+∞. Comme la suite(xn)nest bornée, il existe une sous-suite(xnk)kconvergeant vers un élémentcde[a,b]. Comme|f|est continue sur[a,b] donc enc, on alimk→∞|f(xnk)|=|f(c)|. Finalement, on a lim k→∞|f(xnk)|=|f(c)|et limk→∞|f(xnk)|= +∞. Contradiction. La fonction est donc bornée et les nombres sup{f(x)/ x?[a,b]}et inf{f(x)/ x?[a,b]} sont bien définis. Montrons quefatteint ses bornes c"est à dire qu"il existeαetβdans [a,b]tels que f(α) = sup{f(x)/ x?[a,b]}etf(β) = inf{f(x)/ x?[a,b]}. Par définition de la borne inférieure il existe une suite de nombres de la formef(xn)(avec x ndans[a,b]pour toutn) convergeant verssup{f(x)/ x?[a,b]}. Considérons une sous suite(xnk)kde(xn)nconvergeant vers un élémentαde[a,b]. Alors on a d"une part, lim k→∞f(xnk) =f(α)) carfest continue enα. D"autre part lim k→∞f(xnk) = sup{f(x)/ x?[a,b]} par définition, autrement ditf(α) = sup{f(x)/ x?[a,b]}. Le cas de la borne inférieurese traite de la même manière.Corollaire 0.2.L"image d"un segment par une application continue est un segment.
1En généralf([a,b])ne coïncide pas avec[f(a),f(b)].Théorème 0.3.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR, continue surI,
strictement monotone surI. La fonctionfest alors une bijection deTsur l"intervalle f(I)et sa bijection réciproque est continue strictement monotone surf(I)(de même sens de variation quef). DémonstrationFaisons la preuve dans le cas oùfest strictement décroissante. Par définitionfdéfinit une surjection deIsurf(I). Sixetysont différents, on ax < y ouy < x. Dans le premier casf(x)<(fy)dans le deuxièmef(y)< f(x). Autrement dit x?=y?f(x)?=f(y),i.e.fest injective surI. Notonsgla bijection réciproque def. g(y). Alorsg(x)etg(y)sont deux nombres distincts deItels quex=f(g(x))≥f(g(y)) = y(carfest décroissante), ce qui est en contradiction avecx < y. On a doncg(x)> g(y), autrement ditgest strictement croissante. Considérons deux pointsaetbdansf(I)etcun élément de[a,b]. Par définition il existe xetydansItels quea=f(x)etb=f(y). CommeIest un intervalle[x,y]est inclus dansI. Commefest continue surI, elle est continue sur[x,y]. Le théorème des valeurs intermédiaires assure alors l"existence d"un pointzde[x,y]tel quec=f(z). Autrement ditcappartient àf(I). On a donc montré que l"image deIest un intervalle. Reste à montrer quegest continue. Soitxun point def(I)et(xn)une suite de points def(I)convergeant versx. Supposons que(g(xn))nne converge pas versg(x). Alors il existe? >0tel que pour toutNil existen > Ntel que|g(xn)-g(x)|> ?. On peut donc construire une suite(xnk)kconvergeant versxtel que pour toutkon ait |g(xnk)-g(x)|> ?; ou encore1une suite(xnk)kconvergeant versxtel que pour toutkon aitg(xnk)-g(x)> ?ou bien une suite(xnk)kconvergeant versxtel que pour toutkon aitg(x)-g(xnk)> ?. Dans le premier cas on axnk=f(g(xnk))< f(g(x)+?)(commefest décroissante). Mais g(x) +? > g(x)doncf(g(x) +?)< f(g(x)) =xdoncxnk< f(g(x) +?)< xet(xnk)kne converge pas versx. Contradiction. Dans le second cas on obtientxnk> f(g(x)-?)> xet aussi une contradiction.1Attention j"affirme l"existence de telles suites. Je ne dis pas ici qu"une suite convergeant versxconverge
versxpar valeurs supérieures ou inférieures. Pour passer de la première suite(xnk)kà l"une des deux
autres, il faut éventuellement extraire une nouvelle fois une suite.2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] mps projet autour du yaourt
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