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Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??



CONTINUITÉ DES FONCTIONS

La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon. http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_SolEqua.pdf. EXEMPLE 2.



Chapitre8 : Fonctions continues

Le produit d'une fonction continue par un réel est continu. Le produit de deux fonctions et composition de fonctions continues donc est continue.



Fonctions continues et uniformement continues

Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.



2. Continuité des fonctions

f (x)= f (a) . Exercice 2.1. Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 et qui est.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

La réciproque est fausse. Par exemple la fonction f : x ??





Corrigé du TD no 11

max(fg) = 1. 2. (f + g +



Chapitre4 : Intégrale dune fonction continue sur un segment et

D'où on tire alors le résultat voulu. B) Remarques. Soit f une fonction définie sur I où I est un intervalle. On suppose f non continue 



Espaces Vectoriels Normés et Topologie

fonctions continues sur le segment [01]. Pour vous donner un exemple assez concret



Intégrales de fonctions de plusieurs variables

Proposition 8.1.1 (Existence et quasi-unicité d'une primitive). Toute fonction continue d'une variable f admet des primitives. De plus (sur tout intervalle 



[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques

1) • La fonction est continue sur l'intervalle [1 ; 2] car une fonction polynôme est continue sur ? • (1) = 1 ? 1 ?1=?1



[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine

Lorsque le contexte est ambigü évitder de dire f est continue sur [0 1] mais plutôt f[01] est continue Remarque : Si f est continue sur [a b] et sur [b 



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes

7 nov 2014 · Propriété 1 : Admis • Les fonctions polynômes sont continues sur R • La fonction inverse x ?? 1 x est continue sur ] ? ?;0[ et sur ] 



[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

Continuité des fonctions réelles 2 1 Généralités Définition 2 1 1 Une fonction réelle f est une application d'une partie D de R dans R La partie D est 



[PDF] COURS 12 : Fonctions continues (suite)

Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a b] et atteint ses bornes sur [a b] Démonstration Pour montrer 



[PDF] Continuité

?? ? R? + ?x ? R 3 ? ? < x < 3 + ? ? 8 98 < x2 < 9 02 Exo 1 La fonction cosinus est continue en a := 2? Si on applique cet



[PDF] 2 Continuité des fonctions - Apprendre-en-lignenet

1 si x=2 Comme f (2) = 1 f est définie en 2 et lim x?2 x2 –x– 2 x– 2 Esquissez le graphe d'une fonction qui est continue partout sauf en x = 3 



[PDF] Continuité dune fonction Théorème des valeurs intermédiaires

fonction est continue sur l'intervalle [– 1 ; 3] (en effet on peut tracer sa courbe sans lever le crayon) mais non dérivable au point d'abscisse 2 (la courbe 



[PDF] Fonctions continues ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

Fonctions continues I- Fonction continue sur un intervalle En revanche on peut prolonger par continuité en posant : (2) = 1 Les fonctions de 



[PDF] LIMITE ET CONTINUITE - AlloSchool

III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES 1) Continuité sur un intervalle Définition : Soit une fonction dont le domaine de définition est  

  • Comment expliquer qu'une fonction est continue ?

    En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).

  • Quelles sont les fonctions continues ?

    Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.

  • Comment justifier qu'une fonction est continue sur R ?

    Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
  • On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).

Continuit´e

D´edou

Mars 2011

Continuit´e en un point

D´efinition

Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enasi, pour tout intervalle non vide centr´e enf(a), J:=]f(a)-?,f(a) +?[, on peut choisir un intervalle non vide centr´e ena,I:=]a-η,a+η[ dont tous les ´el´ements sont envoy´es dansJparf.Ca se dessine et il faut avoir lu "Contrˆoler une fonction" pour comprendre cette d´efinition.

Variante moins po´etique

Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enassi :pour tout r´eel strictement positif?, il en existe un autreηtel que, pour toutxentrea-ηeta+η,f(x) soit entref(a)-?et f(a) +?.

Variante pas po´etique du tout

Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enassi :???R?+,?η?R?+,?x?R,a-η Trois quantificateurs, un record!

???R?+,?η?R?+,?x?R,a-η

Exemple

Exemple

La fonction carr´ef:=x?→x2est continue ena:= 3. Si on applique cet ´enonc´e `a?:= 0.02, on obtient ?η?R?+,?x?R,3-η Exercice

Exemple

La fonction carr´ef:=x?→x2est continue ena:= 3. Si on applique cet ´enonc´e `a?:= 0.02, on obtient ?η?R?+,?x?R,3-η ´enonc´e `a?:= 0.003, qu"obtient-on?

L"ordre des quantificateurs I

La condition (C) obtenue en inversant l"ordre des deux premiers quantificateurs est?η?R?+,???R?+,?x?R, a-η L"id´ee est que, si la fonction est continue, pour tout?, on trouve unηqui marche, mais plus?est petit et plus on doit prendreηpetit. Tandis que cette condition (C) demande un seul et mˆemeηqui marche pour toutes les valeurs de?.

L"ordre des quantificateurs II

Voici un exemple plus simple montrant que l"ordre des quantificateurs ne doit pas ˆetre n´eglig´e.Toute fonctionfsurRv´erifie (prendreM:=f(x)).La fonction exponentielle ne v´erifie pas (ici il faudrait trouver unM"avant de connaˆıtrex").

Variante avec intervalles

Sans intervalles :

Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enassi :???R?+,?η?R?+,?x?R,a-η Variante avec valeurs absolues

Sans valeurs absolues :

Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enassi :???R?+,?η?R?+,?x?R,a-η Exemple

Exemple

La fonction cubef:=x?→x3est continue ena:= 2. Si on applique la version avec valeurs absolues `a?:= 0.05, on obtient ?η?R?+,?x?R,|x-2|< η? |x3-8|<0.05.

Exercice

Exo 2 La fonction exponentielle est continue ena:= 1. Si on applique la version avec valeurs absolues `a?:= 0.06, qu"obtient-on?

In´egalit´es strictes ou larges?

Chacun doit prendre le temps de comprendre ce qui se passe si on remplace, dans la d´efinition de continuit´e, certaines in´egalit´es strictes par les larges. Et il faut retenir que la "strictitude" pour?et pourηn"est pas n´egociable.

Variante avec in´egalit´es larges

Avec in´egalit´es strictes :

Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enassi :???R?+,?η?R?+,?x?R, a-η Avec in´egalit´es strictes : Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enassi :???R?+,?η?R?+,?x?R, |x-a|< η? |f(x)-f(a)|< ?.Avec in´egalit´es larges : Soitfune fonction surRetaun r´eel. On dit quefest continue enassi :???R?+,?η?R?+,?x?R,

Le cas d"une fonction partielle

Soitfune fonction etaun r´eel de son domaine de d´efinition. On dit quefest continue enassi :???R?+,?η?R?+,?x?DDf, a-η Exemple

Exemple

La fonction racine carr´ee est continue ena:= 4. Si on applique la version avec valeurs absolues `a?:= 0.3, on obtient ?η?R?+,?x?[0,+∞[,|x-4|< η? |⎷x-2|<0.3.

Exercice

Exo 3 La fonction logarithme est continue ena:=e. Si on applique la version avec valeurs absolues `a?:= 0.8, qu"obtient-on? Le cas des fonctions d´erivables `a d´eriv´ee born´ee

Proposition

Soitfune fonction d´erivable `a d´eriv´ee born´ee sur un intervalleI. Alorsfest continue en tout point deI.Id´ee de la preuve Quitte `a remplacerMparM+ 1, on peut supposer qu"on a .Ca marche aussi pour les fonctions d´erivables quelconques, mais c"est un peu plus compliqu´e `a prouver.

Continuit´e globale

D´efinition

On dit qu"une fonction est continue si elle l"est en tout point de son domaine de d´efinition.La plupart de nos fonctions sont continues. Soitfune fonction. On dit donc quefest continue enassi :?a?DDf,???R?+,?η?R?+,?x?DDf, a-η