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Maintenant qu"on sait ce qu"est une distance, on peut définir la continuité pour des fonctions entre espaces

métriques, plutôt que deRdansR; c"est essentiellement la même chose, en remplaçantjxyj(qui n"a a priori

pas de sens dans un espace métrique) pard(x;y). Définition 2.1.Soit(X;d)et(Y;D)deux espaces métriques,f:X!Yetx2X. On dit quefestcontinue enxsi :

8" >09 >08x02X d(x;x0)< )D(y;y0)< " :

On dit quefestcontinue surXsi elle est continue enxpour toutx2X, autrement dit :

8x2X8" >09 >08x02X d(x;x0)< )D(f(x);f(x0))< " :

Ou encore (l"ordre dans lequel on écrit les deux8ne change pas le sens de l"énoncé) :

8" >08x2X9 >08x02X d(x;x0)< )D(f(x);f(x0))< " :

Il faut bien comprendre que, ci-dessus,dépend de"et du pointxoù l"on se place. Une définition plus

forte imposerait que le mêmefonctionne pour tous lesx2Xsimultanément; dans ce cas, on dit quefest

uniformément continue. Définition 2.2.Soit(X;d)et(Y;D)deux espaces métriques, etf:X!Y. On dit quefestuniformément continue surXsi

8" >09 >08x2X8x02X d(x;x0)< )D(f(x);f(x0))< " :

Par rapport à la définition de la continuité, on a remplacé "8x2X9 >0" par "9 >08x2X" :dépend

toujours de", mais ne dépend plus dex. Toute fonction uniformément continue est continue, mais la réciproque

est fausse. Exercice 2.3.Montrer que la fonctionx7!x2n"est pas uniformément continue surR.

Exercice 2.4.Pour chacun des énoncés suivants, déterminer toutes les fonctionsf:R!Rqui le satisfont :

1.9 >08" >08x2X8x02Xjxx0[< ) jf(x)f(x0)j< ".

2.8" >08x2X8x02X9 >0jxx0[< ) jf(x)f(x0)j< ".

Définition 2.5.Soit(X;d)et(Y;D)deux espaces métriques. On dit quef:X!Yestlipschitziennes"il existeK >0tel que

8x;x02X D(f(x);f(x0))Kd(x;x0):

Exercice 2.6.Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9

Exercice 2.7.Soitf:R!Rune fonction dérivable, et telle qu"il existeMsatisfaisantjf0(x)j Mpour tout

x2R. Montrer quefest lipschitzienne.

Théorème 2.8.Soit(X;d)et(Y;D)deux espaces métriques,f:X!Yune fonction etx2X. Les propriétés

suivantes sont équivalentes : -fest continue enx. Pour toute suit e(xn)d"éléments deXqui converge versx, la suite(f(xn))converge versf(x).

Preuve:

Supposons tout d"abord quefest continue enx, et fixons une suite(xn)qui converge versxainsi que" >0. D"une part il existe >0tel queD(f(x);f(x0))"dès qued(x;x0)< ; d"autre part il existeN2Ntel qued(xn;x)pour toutnN. Alors, pour toutnN, on ad(f(xn);f(x))", ce qui prouve que(f(xn))converge versf(x). Réciproquement, supposons quefne soit pas continue enx:

9" >08 >09y2X d(x;x0)< etd(f(x);f(y))" :

Fixons" >0comme ci-dessus, et appliquons la propriété pour=1n : ceci nous donne une suite(yn) telle qued(x;yn)<1n pour toutn2N(en particulier,(yn)converge versx) maisd(f(yn);f(x))" (par conséquent,f(yn)ne converge pas versf(x)).

Théorème 2.9.Soit(X;d)et(Y;D)deux espaces métriques etf:X!Yune fonction. Les propriétés

suivantes sont équivalentes :

1.fest continue.

2.

Pour tout ouvert OdeY,f1(O)est un ouvert deX.

3.

Pour tout fermé FdeY,f1(F)est un fermé deX.

On rappelle quef1(A) =fx2X:f(x)2Agdésigne l"image inversedeAparf.

Preuve:

Supposons quefest continue, et soitOun ouvert deY. Fixonsx2f1(O), et considérons une suite (xn)qui tend versx. Alorsf(xn)tend versf(x)puisquefest continue, doncf(xn)appartient àO pournsuffisamment grand puisquef(x)2OetOest ouvert. Par conséquent,xn2f1(O)pourn suffisamment grand, ce qui nous montre quef1(O)est ouvert, et on a montré que (1))(2). Si (2) est vrai etFest fermé dansY, alorsYnFest ouvert et par hypothèse on obtient que f

1(YnF) =Xnf1(F)est ouvert dansX, autrement ditf1(F)est fermé dansX. Ceci éta-

blit l"implication (2))(3), et en fait le même argument de passage au complémentaire donne l"implication réciproque (3))(2).

Il nous reste à prouver que (2))(1); supposons donc de nouveau que (2) soit vérifié, et considérons

x2Xet" >0. PuisqueB(f(x);")est un ouvert contenantf(x), son image inverse est par hypothèse un ouvert contenantx, par conséquent il existe >0tel queB(x;)f1(B(f(x);")), c"est-à-dire :

8x02X d(x;x0)< !D(f(x);f(x0))< " :

On a bien montré quefest continue.

On voit dans cette preuve qu"il vaut mieux être à l"aise avec les propriétés de l"image inverse par une

fonction... Ce sera aussi très important dans la partie du cours consacrée à la théorie de la mesure!

Exercice 2.10.SoitX;Ydeux ensembles,f:X!Yune fonction. Montrer que, pour toutA;BYon a f

1(A[B) =f1(A)[f1(B)etf1(A\B) =f1(A)\f1(B).

Exercice 2.11.Déterminer des images inverses?

Proposition 2.12.Soit(X;dX),(Y;dY)et(Z;dZ)trois espaces métriques, ainsi quef:Y!Zetg:X!Y deux fonctions continues. Alorsfg:X!Zest continue.

Preuve:

10 Fixons" >0. Commefest continue, il existe1>0tel que pour touty;y02Yon aitdY(y;y0)<

1)dZ(f(y);f(y0))< ". Puis, commegest continue, il existe2tel que pour toutx;x02Xon ait

d X(x;x0)< 2)dY(g(x);g(x0))< 1. On a alors, pour toutx;x02X: d X(x;x0)< 2)dY(g(x);g(x0))< 1)dZ(f(g(x));f(g(x0))< " :

On vient de prouver quefgest continue.

Exercice 2.13.On munitR2de la distance induite park k1, etRde sa distance usuelle. Montrer que les fonctions(x;y)7!x+yet(x;y)7!xysont continues. Exercice 2.14.Soit(X;d)un espace métrique etf;g:X!Rdeux fonctions continues. Montrer que la somme f+get le produitfgsont également des fonctions continues. Exercice 2.15.Soit(X;dX),(Y;dY)et(Z;dZ)trois espaces métriques, ainsi quef:Y!Zetg:X!Y deux fonctions uniformément continues. Montrer quefg:X!Zest uniformément continue.

Tout comme la continuité, les notions de convergence simple/uniforme de suites de fonctions qu"on connaît

pour des fonctions deRdansRs"étendent sans difficultés aux fonctions entre espaces métriques.

Définition 2.16.Soit(X;d),(Y;D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions deXdansY. On

dit que(fn)convergesimplementvers une fonctionf:X!Ysi pour toutx2Xla suite(fn(x))converge versf(x); autrement dit :

8x2X8" >09N2N8nN D(fn(x);f(x))< " :

Ci-dessus,Ndépend à la fois de"et dex; comme dans la définition de la continuité, on pourrait demander

queNne dépende que de", et on obtient ainsi la définition de la convergenceuniforme.

Définition 2.17.Soit(X;d),(Y;D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions deXdansY. On

dit que(fn)convergeuniformémentvers une fonctionf:X!Ysi

8" >09N2N8x2X8nN D(fn(x);f(x))< " :

Bien entendu, la convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque est fausse, comme le

montre l"exercice suivant. Exercice 2.18.Pour toutn2N, on définitfn: [0;1]![0;1]en posant f n(x) =(

0six1n

1nxsi0x1n

Pourn2N, représenter le graphe de la fonctionfn, puis montrer que(fn)converge simplement vers une fonctionfque l"on déterminera. La convergence est-ele uniforme?fest-elle continue?

On voit donc que la convergence simple ne préserve pas la continuité (ce qui sera une bonne raison, plus

tard, pour travailler avec des fonctionsmesurablesplutôt que des fonctions continues).

Proposition 2.19.Soit(X;d)et(Y;D)deux espaces métriques, et(fn)une suite de fonctions continues de

XdansY. Si(fn)converge uniformément versf:X!Yalorsfest continue.

Preuve:

Fixons" >0etx2X. Il existeN2Ntel que, pour toutnN, on aitD(fn(x);f(x))"pour toutx2X. Fixons un telN; commefNest continue, il existe >0tel que pour toutx02X, d(x;x0)< )D(fN(x);fN(x0))< ": 11

Alors on a, pour toutx02Xtel qued(x;x0)< :

D(f(x);f(x0))D(f(x);fN(x)) +D(fN(x);fN(x0)) +D(fN(x0);f(x0)) = 3" : Comme"était quelconque, ceci suffit à démontrer quefest continue enx.

Exercice 2.20.Montrer qu"une limite uniforme de fonctions uniformément continues est uniformément conti-

nue.

Exercice 2.21.Soit(X;d)un espace métrique etf:X![0;1]une fonction uniformément continue. Montrer

quefest une limite uniforme de fonctions lipschitziennes. 12quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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