Fonctions continues et uniformement continues
2. Continuité uniforme. 5. 2.1. Définition de la continuité uniforme sur un intervalle. Exercice : si ƒ est u-continue elle admet une limite finie 5.
Chapitre 2 Fonctions Continues
Quelle est la différence entre continuité et continuité uniforme ? Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Preuve. Exercice 2.10.
Chapitre 2 - Fonctions continues entre espaces métriques
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9. Page 2. Exercice 2.7. Soit f : R ? R une fonction dérivable et
Fonctions continues entre espaces métriques
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9. Exercice 2.7. Soit f : R ? R une fonction dérivable et telle qu'il existe M
Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1. (extrait capes 2012
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Exercice 1. Uniforme continuité. 1. Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1]. 2. Soit ?? < a < b < +?
Convolution et régularisation
convolée fk ? g est uniformément continue sur Rd. Estimons alors la différence entre f ? g et fk ? g en appliquant naturellement l'inégalité de Hölder :.
Soit f : [0 1[? R uniformément continue. Montrer que f est bornée
Ecrivons la définition de l'uniforme continuité pour ? = 1 : il existe ? > 0 tel Comme la fonction f est continue sur le segment [0 1??]
TD-DEVELOPPEMENT : PROLONGEMENT DES APPLICATIONS
Soient A une partie dense de E et f une application uniformément continue de A dans F. Il existe une unique application continue g : E ? F qui prolonge f. De
Chapitre8 : Fonctions continues
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Démonstration : ‚ Montrons déjà l'équivalence entre les deux théorèmes : ? Supposons le
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Théorème de Heine Toute fonction numérique continue sur un segment I est uniformément continue sur ce segment I On rappelle qu'un segment est un intervalle
Les fonctions continues et uniformement continues par Graille - page 1
6 avr 2014 · Uniforme : ??>0??>0?x?E?y?Ed(xy)
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uniformément continue Définition 2 2 Soit (X d) et (YD) deux espaces métriques et f : X ? Y On dit que f est uniformément continue sur X si
[PDF] Continuité
Définition 2 3 (Continuité uniforme) Soit f une application de D ? R dans R on dit que f est uniformément continue si pour tout ? > 0 il existe ? > 0
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Soient a et b deux réels avec a < b et soit f : [a b] ? R une fonction continue Alors f est uniformément continue sur [a b] Démonstration Par l'absurde
[PDF] Limites et continuité chapitre 113 - cpge paradise
C'est une fonction continue sur un segment donc elle est uniformément continue d'après le théorème de Heine Supposons que f est lipschitzienne On dispose
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle Démonstration : ‚ Montrons déjà l'équivalence entre les deux théorèmes : ? Supposons le
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
La fonction exponentielle est continue sur tout segment contenu dans R D'après le théorème de Heine la fonction exponentielle est donc uniformément continue
[PDF] Feuille 2 Fonctions dune variable réelle
Montrer qu'une fonction continue et périodique sur R est uniformément continue sur R Exercice 9 Soit ƒ une fonction continue sur R admettant des limites
Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.Comment définir si une fonction est continue ?
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".- Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
Chapitre 2
Fonctions Continues
Semaine 1 :Etude des sous-paragraphes 1.1 et 1.2. Faire les exercices d"appren- tissage 2.1-2.9. Semaine 2 :Etude des sous-paragraphes 1.3, 1.4 et 1.5. Faire les exercices d"ap- prentissage 2.10-2.12 et les exercices d"approfondissement 2.20-2.23. Semaine 3 :Etude du sous-paragraphe 1.6 et du paragraphe 2. Faire les exercices d"apprentissage 2.13-2.15 et les exercices d"approfondissement 2.24-2.29.1. Continuit´e.
1.1. Fonctions continues.
?1.1.1. D´efinition.Soient (E,d) et (E?,d?) deux espaces m´etriques. Soitf:E→F une application etx0?E. On dit quefest continue enx0si et seulement si ?ε >0,?α >0,?x?E, d(x,x0)< α?d?(f(x),f(x0))< ε. On dit quefestcontinue surEsi et seulement sifest continue en tout point x 0?E. SiAest une partie deEet sif:A→Fest une application, dire quefest continue enx0?Aest ´equivalent `a dire quefest continue enx0,A´etant munie de la m´etrique induite.1.1.2. Remarques et propri´et´es.
fest continue enx0si et seulement si
?V? V(f(x0)),?V?? V(x0), f(V?)?V. fest continue enx0si et seulement si, pour tout voisinageVdef(x0),f-1(V)est un voisinage dex0.70Chapitre 2.
IdEest continue ainsi que toute fonction constante. Six0est un point isol´e deE, alors toute fonctionf:E→Fest continue enx0. En particulier, siEest discret, toute fonctionf:E→Fest continue. La compos´ee de deux fonctions continues est continue. SiA?Eet sif:E→Fest continue, alorsf|A→Fest continue. La r´eciproque est fausse.Preuve.Exercice 2.1
1.1.3. Proposition.SiAest voisinage dex0alorsf|Aest continue enx0si et seulement
sifest continue enx0.Preuve.Exercice 2.2
En conclusion, la continuit´e et une propri´et´e locale. Les deux propositions suivantessont particuli`erement importantes, car ce seront g´en´eralement les crit`eres utilis´es (avec
la d´efinition bien sˆur) pour montrer la continuit´e d"une fonction. ?1.1.4. Proposition.fest continue enasi et seulement si, pour toute suite(xn)nqui converge versa, la suite(f(xn))nconverge versf(a).Preuve.Exercice 2.3.
?1.1.5. Proposition.Soitf:E→Fune application, alors les trois assertions suivantes sont ´equivalentes: (i)fest continue surE. (ii)pour tout ouvertUdeF,f-1(U)est ouvert dansE. (iii)pour tout ferm´eGdeF,f-1(G)est ferm´e dansE.Preuve.Exercice 2.4.
1.1.6. Remarques.f:E→Fest continue si et seulement si, pour toutA?E,
f(¯A)? f(A). Enfin, sifest continue, alors l"image directe d"un ouvert deEn"est pas forc´ement un ouvert deFet l"image directe d"un ferm´e n"est pas forc´ement un ferm´e de F.Preuve.Exercice 2.5.
1.2. Limites de fonctions.
La notion de limite de fonction en un point est une notion assez voisine de la notion de continuit´e mais est plus souple car le point peut ne pas appartenir au domaine de d´efinition de la fonction. Nous donnons tout d"abord la d´efinition et nous l"illustrons par la notion de limite `a droite et `a gauche pour les fonctions d´efinies sur des sous-ensembles deR.Fonctions continues.71
?1.2.1. D´efinition.Soient (E,d) et (E?,d?) deux espaces m´etriques. Soitf:D?E→ E ?. SoitA?D,x0?Aet??F. On dit quef(x)tend vers?quandxtend versx0
selonA, et on note limx→x0x?Af(x) =?si et seulement si ?ε >0,?α >0,?x?A, d(x,x0)< α?d?(f(x),?)< ε.1.2.2. Propri´et´e.
La d´efinition ci-dessus se r´e´ecrit aussi ?W? V(?),?V? V(x0), f(A∩V)?W.Si?existe,?est unique et on a??
f(A).?est alors appel´ee la limite defenx0 selonA.Preuve.Exercice 2.6.
1.2.3. Limite usuelle.Six0est un point d"accumulation deDet, siA=D\{a}, limx→x0x?Aest not´ee lim
x→x0x?=x0.1.2.4. Limites `a gauche et `a droite.Soitfune fonction de la variable r´eellexd´efinie
sur un intervalleIdeR. Soitx0? I. LorsqueA=]- ∞,a[∩I, la limite limx→a x?Af(x), si elle existe, est encore not´ee lim x→a x1 +|x|six?R, ?(+∞) = 1, ?(-∞) =-1.
On v´erifie en exercice (cf.Exercice 2.7.) qued(x,y) =|?(x)-?(y)|d´efinit une distance sur R. Cette distance fait deRun espace m´etrique et nous autorise `a parler de limite en +∞ou en-∞. Evidemment, il n"est pas tr`es commode de mani`ere pratique de caract´eriser la limite en±∞`a l"aide de la distance surR. On v´erifiera en exercice (cf.
Exercice 2.7) que, sifest d´efinie sur un intervalle [c,+∞[, lim Notons que l"on peut caract´eriser de la mˆeme mani`ere la limite d"une suite en +∞. - Limite infinie.Lorsqu"une fonctionfest `a valeurs r´eelles, il est possible de caract´eriser simplement les limites infinies defen raisonnant comme sif´etait `a valeurs dans R. Par exemple,ftend vers +∞lorsquextend versx0selonAsi et seulement si ?C >0,?α >0,?x?A, d(x0,x)< α?f(x)> C.72Chapitre 2.
On note alors lim
x→x0x?Af(x) = +∞. (cf.Exercice 2.7) - Vous pourrez v´erifier en exercice (2.7) que l"on peut caract´eriser simplement une limite infinie prise `a l"infini. ?1.2.6. Composition des limites.Soientf:D1?(E,d)→(E?,d?)etg:D2? (E?,d?)→(E??,d??)telles quef(D1)?D2. SoientA?D1,x0?A,B?D2ety0?B.
On suppose que
f(A)?B,limx→x0x?Af(x) =y0etlimy→y0y?Bg(y) =? o`u??E??. Alors l"application compos´eeh=g◦fv´erifie lim x→x0x?Ah(x) =?.Preuve.Exercice 2.8.
?1.2.7. limite et continuit´e en un point.Soientf:D?(E,d)→(E?,d?)et x0?Dun point d"accumulation deE. L"applicationfest continue enx0si et seulement
lim x→x0x?=x0f(x) =f(x0).Preuve.Exercice 2.9
?1.2.8. Remarque.Lorsquefn"est pas d´efinie enx0et lorsquelimx→x0x?=x0f(x) =?, la fonctiongd´efinie surD?{x0}parg(x) =f(x)surDetg(x0) =?est continue enx0et est appel´ee prolongement par continuit´e defenx0. ?1.2.9. Th´eor`eme.Soient(E,d)et(F,d?)deux espaces m´etriques ,Aune partie de E,a? Aetf:D?E→Fune application avecAinclus dansD.fadmet une limite au pointaselon la partieAsi et seulement si, quelle que soit la suite(un)deAde limite a, la suitef(un)converge. Dans ce cas, la limite def(un)estlimx→af(x). Preuve.En premier lieu, sifposs`ede la limite?ena, alors pour toute suite (un) qui converge versa, la suitef(un) converge vers?. R´eciproquement, il n"est pas dit que toutes les suites (un) qui convergent versa, les suites (f(un)) doivent converger vers la mˆeme limite !! Nous commencerons donc par montrer cela. Soient donc (un) et (vn) deux suites deAqui convergent versa. Les suites (f(un)) et (f(vn)) sont alors convergentes par hypoth`ese, de limites respectives mettons betb?. Introduisons la suite (wn) d´efinie pourn?Npar w2n=unetw2n+1=vn.
Il est clair que (wn) converge versa; `a nouveau, (f(wn)) converge mettons versb??, mais comme les suites (f(un)) et (f(vn)) sont extraites de (f(wn)), on ab=b?=b??. Soit d´esormais?la limite commune des suites (f(un)) lorsque (un) converge versa. On raisonne maintenant par l"absurde, supposant que?n"est pas limite defena.Par les quantificateurs, ceci se traduit par
?ε >0,?δ >0,?x?B(a,δ)∩Aetf(x)??B(?,ε).Fonctions continues.73
On prendδ=1
npourn?N?pour construire une suite (un) deAde limiteatelle que la suite (f(un)) ne converge pas vers?. Ceci est contradictoire, d"o`u le r´esultat.1.3. Hom´eomorphismes.
?1.3.1. D´efinition.Soient (E,d) et (F,d?) deux espaces m´etriques. Soitf:E→F. On dit quefest unhom´eomorphismesi et seulement sifest continue, bijective etf-1 est continue.1.3.2. Remarque.Une fonction peut ˆetre bijective et continue sans quef-1le soit
n´ecessairement. Par exemple, si on prendE= [0,1[?{2}muni de la distance usuelle, F= [0,1]muni de la distance usuelle, si on d´efinitf(x) =xsix?[0,1[etf(1) = 2, alorsfest bijective continue deEdansF, maisf-1n"est pas continue en1. En effet, lim x→1 x<1f-1(x) = 1?=f-1(1) = 2. N´eanmoins, nous avons la proposition suivante :1.3.3. Proposition.SiIest un intervalle deRet sif:I→Rest continue strictement
monotone, alorsfest un hom´eomorphisme deIdansf(I). Preuve.Rappelons queIest un intervalle si et seulement si pour tousx,y,zdansRtels quex < y < z, sixetzsont dansI, alorsyest dansI. Supposonsfstrictement croissante par exemple. Soity0dansf(I) etx0dansItel quef(x0) =y0. On va montrer quef-1est continue eny0. Pour cela, soitε >0. On va montrer qu"il existeα >0 tel que On va supposer quex0est un point int´erieur `aI(le cas o`ux0est un point fronti`ere de Isera analogue). On prend alorsε?>0 inf´erieur ou ´egal `aεsuffisamment petit pour que ]x0-ε?,x0+ε?[?I. Commefest strictement croissante, on af(x0-ε?)< f(x0) = y0< f(x0+ε?). Posonsα= min(y0-f(x0-ε?),f(x0+ε?)-y0). Clairement,α >0.
x x,x ?sont dansIet v´erifienty=f(x),y?=f(x?), alorsx≥x?impliquef(x)≥f(x?) soit y≥y?ce qui est absurde).1.4. Fonctions uniform´ement continues et lipschitziennes.
?1.4.1. D´efinition.Soient (E,d) et (E?,d?) deux espaces m´etriques. On dit que f:E→E?estuniform´ement continuesi et seulement si ?ε >0,?α >0,?x,y, d(x,y)< α?d?(f(x),f(y))< ε.74Chapitre 2.
On dit quef:E→E?estk-lipschitzienneaveck≥0 si et seulement si ?1.4.2. Remarque.Quelle est la diff´erence entre continuit´e et continuit´e uniforme ? la voici : dans la d´efinition de la continuit´e en un pointx0, leαd´epend dex0. Dans lad´efinition de la continuit´e uniforme, ceαne d´epend plus dex0. Il est le mˆeme quel que
soitx0dansE. Cette uniformit´e fait des fonctions uniform´ement continues des fonctions plus souples d"utilisation que les fonctions continues. ?1.4.3. Proposition. Sifest uniform´ement continue alorsfest continue. Sifetgsont uniform´ement continues, alorsf◦gaussi.IdEest uniform´ement continue.
Toute fonction lipschitzienne est uniform´ement continue.Preuve.Exercice 2.10.
?1.4.4. Proposition. SiAest un sous-ensemble deE, alorsdAla fonction distance `aAest1-lipschit- zienne.Toute fonctionf:I→Rd´efinie sur un intervalle deR, d´erivable et `a d´eriv´ee born´ee
est lipschitzienne.Preuve.Exercice 2.11.
1.4.5. D´efinition.Soitf: (E,d)→(E?,d?) une bijection. On dit quefest un
hom´eomorphisme uniforme si et seulement sifetf-1sont uniform´ement continues.1.5. Distances ´equivalentes.
1.5.1. D´efinition.SoitEun espace m´etrique.
?On dit que deux distancesd1etd2sonttopologiquement ´equivalenteset on note d1t≂d2si et seulement siId: (E,d1)→(E,d2) est un hom´eomorphisme.
On dit que deux distancesd1etd2sontuniform´ement ´equivalenteset on noted1u≂d2 si et seulement siId: (E,d1)→(E,d2) est un hom´eomorphisme uniforme. Enfin, on dit que deux distancesd1etd2sont´equivalenteset on noted1≂d2si et ?De mˆeme, siEest un espace vectoriel, deux normesN1etN2sont dites´equivalentes1.5.2. Proposition.
Deux normes ´equivalentes induisent deux distances ´equivalentes.Fonctions continues.75
Deux distances ´equivalentes sont topologiquement ´equivalentes. Il est donc in- diff´erent, topologiquement parlant, de travailler avec l"une ou l"autre des distances. On verra plus loin (cf. chapitre sur la compacit´e) que dans tous les espaces vectoriels norm´es de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes. Deux distances ´equivalentes sont uniform´ement ´equivalentes. Deux distances uni- form´ement ´equivalentes sont topologiquement ´equivalentes. ?d1≂td2si et seulement siId: (E,d1)→(E,d2)est continue etId: (E,d2)→(E,d1) est continue, soit si et seulement si tout ouvert pourd2est ouvert pourd1et si tout ouvert pourd1est ouvert pourd2. En particulier, deux distances sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si toute suite convergente pour une distance est convergente vers la mˆeme limite pour l"autre distance. d1u≂d2si et seulement si pour toutε >0, il existeα1, α2>0tels que, pour toutPreuve.Exercice 2.12.
1.6. Applications lin´eaires continues, normes ´equivalentes.
Dans ce paragraphe, nous nous pla¸cons dans le cas o`u (E,?· ?E) et (F,?· ?F) sont deux espaces vectoriels norm´es surK=RouC. On noteraL(E,F) l"espace vectoriel des applications lin´eaires deEdansF,L(E,F) l"espace vectoriel des applications lin´eaires continues deEdansF. Nous avons le th´eor`eme suivant : ?1.6.1. Th´eor`eme.Soitf?L(E,F). Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (1)f? L(E,F) (2)fest continue en un point au moins (3)fest continue en 0 (5)fest born´ee sur la boule unit´e ferm´ee (6)fest born´ee sur la sph`ere unit´e (7)fest uniform´ement continue. Preuve.Nous allons montrer que (1)?(2)?(3)?(4)?(5)?(6)?(7)?(1). Il est clair que (1)?(2), (4)?(5)?(6) et que (7)?(1). Montrons que (2)?(3) : Soitflin´eaire deEdansF, continue enx0. On a donc f(x0+h)-→h→0f(x0). Or, f(h) =f(x0+h)-f(x0)-→h→00 et doncfest continue en 0. Montrons que (3)?(4) : Supposonsfcontinue en 0. Soitε >0. Il existe doncα >0En particulier, six?Eest non nul,???
αx ?x?E??? f? x?x?E?α?x?E.
76Chapitre 2.
Il reste `a v´erifier que (6)?(7). Soitflin´eaire deEdansFborn´ee sur la sph`ere unit´e parM. On va montrer quefestM-lipschitzienne. Pour cela, soientxetydans z=(x-y) ?1.6.2. Th´eor`eme et d´efinition.Soient(E,?·?E)et(F,?·?F)deux espaces vectoriels norm´es. Lorsquef? L(E,F), on pose ?f?= sup x?B?(0,1)?f(x)?F. Alors? ·?est une norme surL(E,F)dite associ´ee ou subordonn´ee aux normes?·?EetFsurE.
Preuve.En effet, si?f?= 0,fest nulle sur la boule unit´e, donc surEtout entier par homoth´etie. Pour le reste, on observe simplement qu"il s"agit de la norme sup sur un espace de fonctions born´ees. ?1.6.3. Caract´erisation.?f?est le plus petit nombrek≥0tel que, pour toutxdeE, on ait
Preuve.Revoyons la preuve du th´eor`eme 1.6.1 : il est clair que,k=?f?v´erife la ?1.6.4. Proposition.SoientE,FetGtrois espaces vectoriels norm´es. Sif? L(E,F) Preuve.En effet, pour toutx?E, on a, par applications successives de la d´efinition6.6.2 :
La caract´erisation donn´ee ci-dessus de?g◦f?comme "plus petit nombre tel que..." ?1.6.5. Th´eor`eme.SoitEun espace vectoriel,N1etN2deux normes etd1etd2les distances associ´ees. On a l"´equivalence : (i)N1etN2sont ´equivalentes (ii)d1etd2sont uniform´ement ´equivalentes (iii)d1etd2sont topologiquement ´equivalentes Preuve.On a vu que (i)?(ii)?(iii). (cf.remarque 6.5.2). Il reste `a v´erifier que (iii)?(i). Ord1etd2sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si Id: (E,N1)→(E,N2) est un hom´eomorphisme. CommeIdest lin´eaire, on aIdqui estFonctions continues.77
mˆeme,Idest continue de (E,N2) dans (E,N1) si et seulement si il existeβ >0 tel que N2. Approximation.
?2.1. D´efinition.SoitXun ensemble, (E,d) un espace m´etrique. Soit (fn)nune suite d"applications deXdansE, etf:X→E. On dit que la suite (fn)converge simplement versfsi et seulement, pour toutx?X, la suite (fn(x))nconverge versf(x), soit si et seulement si On dit que la suite (fn)converge uniform´ement versfsi et seulement, ?2.2. Remarque. La diff´erence entre convergence simple et uniforme, est quele rangn0est ind´ependant dexdans le cadre de la convergence uniforme, ce qui n"est pas le cas pour la convergence simple. Si une suite de fonctions converge uniform´ement vers une autre fonction, alors il y a aussi convergence simple.Preuve.Exercice 2.13.
?2.3. Th´eor`eme.Soit(E,d)un espace m´etrique,Xun ensemble. SurB(X,E) l"ensemble des fonctions born´ees deXdansE, la convergence uniforme est d´efinie par la distanceD(f,g) = sup
x?Xd(f(x),g(x)). En d"autres termes, une suite(fn)converge uniform´ement versfsi et seulement siD(fn,f)→n→+∞0.
Preuve.Exercice 2.14.
?2.4. Th´eor`eme.Soient(E,d)et(E?,d?)deux espaces m´etriques. Soit(fn)une suite de fonctions deEdansE?qui converge uniform´ement versf:E→E?. Si, pour toutn?N,fnest continue, alorsfest continue. Si, pour toutn?N,fnest uniform´ement continue, alorsfest uniform´ement continue.Preuve.Exercice 2.15.
?2.5. Remarque.Attention ! Une limite simple de fonctions continues n"est pas forc´ement continue. Par exemple, sifn: [0,1]?x?→xn, alorsfnconverge simplement vers la fonctiong: [0,1]→Rqui `ax?[0,1[associe 0 et qui `a 1 associe 1. Cette fonction n"est pas continue.78Chapitre 2.
Exercices.
Exercices d"apprentissage.
Exercice 2.1.Montrez la proposition 1.1.2
Exercice 2.2.Montrez la proposition 1.1.3
Exercice 2.3.Montrez la proposition 1.1.4
Exercice 2.4.Montrez la proposition 1.1.5
Exercice 2.5.Montrez la proposition 1.1.6
Exercice 2.6.Montrez la proposition 1.2.2
Exercice 2.7.V´erifiez les points non d´emontr´es dans le point 1.2.5.Exercice 2.8.Montrez la proposition 1.2.6
Exercice 2.9.Montrez la proposition 1.2.7
Exercice 2.10.Montrez la proposition 1.4.3
Exercice 2.11.Montrez la proposition 1.4.4
Exercice 2.12.Montrez la proposition 1.5.2 (sauf le trois`eme point).Exercice 2.13.Montrez la remarque 2.2.
Exercice 2.14.Montrez la th´eor`eme 2.3.
Exercice 2.15.Montrez la th´eor`eme 2.4.
Exercices d"approfondissement.
Exercice 2.16.Soient (E,d) et (F,d?) deux espaces m´etriques etf:E→Fune application continue surjective etAune partie dense deE. Montrer quef(A) est dense dansF. Exercice 2.17.Soit (E,d) un espace m´etrique. Montrer les propri´et´es suivantes : i. La diagonale Δ ={(x,x) :x?E}est ferm´ee dansE×E. ii. Pour toutx?E, l"intersection des voisinages de ferm´es dexest ´egale `a{x}. iii. Les singletons sont ferm´es dansEet tout ensemble fini est ferm´eFonctions continues.79
iv. Sif,g:E→Fsont deux applications continues deEvers un espace m´etriqueF, alors l"ensembleA={x?E:f(x) =g(x)}est ferm´e dansE.Exercice 2.18.Soit (E,d) un espace m´etrique.
1.Pour toute partieAnon vide deE, montrer que l"application
dA:x?→dA(x) =d(x,A)
est continue deEdansR.2.SoientFetGdeux ferm´es disjoints deE. En utilisant les fonctionsdFetdG,
construire une fonction continuefdeEdans [0,1] qui vaut 0 surFet 1 surG.3.En d´eduire qu"il existe deux suites d"ouverts disjoints (O1n)net (O2n)net deux suites
de ferm´es disjoints (F1n)net (F2n)ntelles que :F?O11?F11?O12?...?O1n?F1n?O1n+1?...
etG?O21?F21?O22?...?O2n?F2n?O2n+1?... Exercice 2.19.Soient (E1,d1) et (E2,d2) deux espaces m´etriques et soit (E,d) l"espace m´etrique produit muni de la distanced((x1,x2),(y1,y2)) =d1(x1,y1) +d2(x2,y2).1.Montrer que les projections canoniquesπi:E→Ei,i= 1,2 sont ouvertes, c"est-`a-dire
qu"elles envoient tout ouvert deEen un ouvert deEi.2.Montrer sur un exemple que la projection d"un ferm´e peut ne pas ˆetre un ferm´e.
3.SoientA1etA2deux parties deE1etE2respectivement. Montrer que
A1×A2=¯A1ׯA2.
Exercice 2.20.Continuit´e uniforme.
1.Soitf: (E,d)→(F,d?) une application. Montrez que, si il existe deux suites (xn) et
(yn) telles que limn→+∞d(xn,yn) = 0 et limn→+∞d?(f(xn),f(yn))>0, alorsfn"est pas uniform´ement continue.2.´Etudier la continuit´e uniforme des applications suivantes :f1:R?x?→sinx?R,
f x?R. Exercice 2.21.Distance discr`ete.SoitEun ensemble etδla distance d´efinie parδ(x,y) = 0 six=yetδ(x,y) = 1 six?=y.
1.Montrer que toute applicationf: (E,δ)→(F,d) o`u (F,d) est un espace m´etrique
quelconque est continue.2.Soitd2la distance euclidienne surRn.
2.1.Montrer quex?→xde (Rn,δ)→(Rn,d) est uniform´ement continue.
2.2.Montrer qu"une bijection de (Rn,d)→(Rn,δ) n"est continue en aucun point.
Exercice 2.22.
Soitf:R→R, uniform´ement continue. Montrer qu"il existe des constantesa,b positives telles queA-t-on la r´eciproque ?
80Chapitre 2.
Exercice 2.23.SoitIun intervalle deRetfune application deIdansRtelle que1.Siα >1, montrer quefest constante.
non lipschitzienne avecα <1.3.Trouverfuniform´ement continue ne v´erifiant aucune des conditionsHα. (on admettra
qu"une fonction continue sur un compact est uniform´ement continue).Exercice 2.24.L"espace
R.On rappelle queR=R? {+∞,-∞}. Soitf:R→R d´efinie par f(x) =x1 +|x|pourx?R,f(-∞) =-1, f(+∞) = 1.
Montrer qued1(x,y) =|f(x)-f(y)|d´efinit une distance surR. Quelle est la topologie
surRinduite par celle deR? Montrer queRest dense dansR.
Soitg:
R→Rd´efinie par
g(x) =2 πArctanxpourx?R,g(-∞) =-1, g(+∞) = 1. Montrer qued2(x,y) =|g(x)-g(y)|d´efinit une distanced2surRqui est topologiquement
´equivalente `a la distanced1.
Exercice 2.25.Montrer que, surR,d3(x,y) =|x3-y3|et la distance usuelledsont topologiquement ´equivalentes et non uniform´ement ´equivalentesExercice 2.26.On reprend l"exercice 1.29
1.Montrer que si l"applicationfest continue en 0, alorsdetd?=f(d) d´efinissent la
mˆeme topologie et quedetd?sont uniform´ement ´equivalentes.2.Donner un exemple d"espace m´etrique et d"applicationftelle quedetd?=f(d) ne
d´efinissent pas la mˆeme topologie. Exercice 2.27.SoientEetFdeux espaces vectoriels norm´es,f:E→Fune application lin´eaire. Montrez quefest continue si et seulement si elle transforme toute suite de limite nulle en une suite born´ee. Exercice 2.28.Soit (E,?·?) un espace vectoriel norm´er´eel. Soitfune forme lin´eaire surE, c"est `a dire une application lin´eaire deEdansR. On noteH= kerf1.Montrez que, pour touta?E\H, on aH?Ra=E.
2.Montrez quefest continue si et seulement si son noyauHest ferm´e dansE(on
montrera l"existence d"unr >0 tel que, pour toutx?B(0,r), on ait|f(x)|<1).3.Montrez qu"un hyperplan d"un espace vectoriel norm´eEest soit ferm´e, soit dense
dansE.Exercice 2.29.
1.Soit (E,d) un espace m´etrique. Soitf?C([a,b],E) et (fn) une suite de fonctions de
C([a,b],E). On suppose que (fn) converge uniform´ement versfsur ]a,b[. Montrer que (fn) converge uniform´ement sur [a,b].2.Soit (Pn) une suite de polynˆomes convergeant uniform´ement surRvers une fonction
f. Montrer quefest un polynˆome.Fonctions continues.81
Corrig´e des exercices d"apprentissage.
Exercice 2.1.Supposons que
?V? V(f(x0)),?V?? V(x0), f(V?)?V. Montrons quefest continue enx0. Soitε >0. La bouleB(f(x0),ε) est un voisinageV def(x0). Il existe donc un voisinageV?dex0tel quef(V?)?V. Par d´efinition des voisinages dex0, il existeα >0 tel queB(x0,α)?V. On a donc bien, ?x?E, d(x,x0)< α?d?(f(x),f(x0))< ε. R´eciproquement, sifest continue enx0et siVest un voisinage def(x0), il existe ε >0 tel que la bouleB(f(x0),ε) soit incluse dansV. Commefest continue, il existe α >0 tel quef(B(x0,α))?V. On poseV?=B(x0,α) et le premier point en d´ecoule. Montrons quefest continue enx0si et seulement si pour tout voisinageVdef(x0), f -1(V) est un voisinage dex0. pour cela, il suffit d"utiliser la caract´erisation prouv´ee juste avant, en posantV?=f-1(V). Pour montrer queIdEest continue, il suffit de remarquer que ?ε >0,?x?E, d(x,x0)< ε?d(IdE(x),IdE(x0)) =d(x,x0)< ε. Pour montrer que sigest constante et vautb?E?, alorsgest continue, on remarque que ?ε >0,?α >0, d(x,x0)< α?d?(g(x),g(x0)) =d?(b,b) = 0< ε. Six0est un point isol´e deE, et siVest un voisinage def(x0), alorsV?={x0}est un voisinage dex0etf(V?) ={f(x0)} ?Vce qui montre quefest continue. Montrons que la compos´ee de deux fonctions continue est continue. Supposonsf continue enx0etgcontinue enf(x0). SiVest un voisinage deg◦f(x0), commegest continue enf(x0), il existeV?un voisinage def(x0) tel queg(V?)?V. Commefest continue enx0, il existe un voisinageV??dex0tel quef(V??)?V?. On a alorsg◦f(V??) =g(f(V??))?g(V?)?V, ce qui prouve la continuit´e deg◦f. Une autre preuve possible ´etait une preuve utilisant par exemple lesαet lesε... Enfin, sif:E→Fest continue et six0?A, la continuit´e defsurE´equivaut `a ?ε >0,?α >0,?x?E, d(x,x0)< α?d?(f(x),f(x0))< ε, ce qui implique imm´ediatement que ?ε >0,?α >0,?x?A, d(x,x0)< α?d?(f(x),f(x0))< ε. Si on prend comme espace m´etriqueEl"espaceRmuni de la distance usuelle, comme fonctionfla fonction qui vaut 1 surA= [0,1] et 0 ailleurs, on voit quef|Aest continue mais quefn"est pas continue surE. Exercice 2.2.On a vu que sifest continue enx0, alorsf|Aest continue enx0. Montronsquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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