Fonctions continues et uniformement continues
2. Continuité uniforme. 5. 2.1. Définition de la continuité uniforme sur un intervalle. Exercice : si ƒ est u-continue elle admet une limite finie 5.
Chapitre 2 Fonctions Continues
Quelle est la différence entre continuité et continuité uniforme ? Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Preuve. Exercice 2.10.
Chapitre 2 - Fonctions continues entre espaces métriques
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9. Page 2. Exercice 2.7. Soit f : R ? R une fonction dérivable et
Fonctions continues entre espaces métriques
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9. Exercice 2.7. Soit f : R ? R une fonction dérivable et telle qu'il existe M
Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1. (extrait capes 2012
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Exercice 1. Uniforme continuité. 1. Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1]. 2. Soit ?? < a < b < +?
Convolution et régularisation
convolée fk ? g est uniformément continue sur Rd. Estimons alors la différence entre f ? g et fk ? g en appliquant naturellement l'inégalité de Hölder :.
Soit f : [0 1[? R uniformément continue. Montrer que f est bornée
Ecrivons la définition de l'uniforme continuité pour ? = 1 : il existe ? > 0 tel Comme la fonction f est continue sur le segment [0 1??]
TD-DEVELOPPEMENT : PROLONGEMENT DES APPLICATIONS
Soient A une partie dense de E et f une application uniformément continue de A dans F. Il existe une unique application continue g : E ? F qui prolonge f. De
Chapitre8 : Fonctions continues
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Démonstration : ‚ Montrons déjà l'équivalence entre les deux théorèmes : ? Supposons le
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Théorème de Heine Toute fonction numérique continue sur un segment I est uniformément continue sur ce segment I On rappelle qu'un segment est un intervalle
Les fonctions continues et uniformement continues par Graille - page 1
6 avr 2014 · Uniforme : ??>0??>0?x?E?y?Ed(xy)
[PDF] Fonctions continues entre espaces métriques
uniformément continue Définition 2 2 Soit (X d) et (YD) deux espaces métriques et f : X ? Y On dit que f est uniformément continue sur X si
[PDF] Continuité
Définition 2 3 (Continuité uniforme) Soit f une application de D ? R dans R on dit que f est uniformément continue si pour tout ? > 0 il existe ? > 0
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Soient a et b deux réels avec a < b et soit f : [a b] ? R une fonction continue Alors f est uniformément continue sur [a b] Démonstration Par l'absurde
[PDF] Limites et continuité chapitre 113 - cpge paradise
C'est une fonction continue sur un segment donc elle est uniformément continue d'après le théorème de Heine Supposons que f est lipschitzienne On dispose
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle Démonstration : ‚ Montrons déjà l'équivalence entre les deux théorèmes : ? Supposons le
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
La fonction exponentielle est continue sur tout segment contenu dans R D'après le théorème de Heine la fonction exponentielle est donc uniformément continue
[PDF] Feuille 2 Fonctions dune variable réelle
Montrer qu'une fonction continue et périodique sur R est uniformément continue sur R Exercice 9 Soit ƒ une fonction continue sur R admettant des limites
Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.Comment définir si une fonction est continue ?
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".- Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
D R
f:DÑR x0PD f x0ðñf x0( f(x0)) f(x)ÝÝÝÝÑxÑx0f(x0) ðñ @εą0,Dαą0,@xPD,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) @x0PD,@εą0,Dαą0,@xPD,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) f:DÑR D1ĂD f D1f|D1 f D D1 f Dðñ @x0PD ,@εą0,Dαą0,@xPD ,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) f D1ðñ @x0PD1 ,@εą0,Dαą0,@xPD ,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) f D1ðñ @x0PD1 ,@εą0,Dαą0,@xPD1 ,(|x´x0| ăαùñ |f(x)´f(x0)| ăε) 0 1 2 f |[0,1] f [0,1] f Af Bùñf AYB f [a,b] [b,c]aăbăc f [a,c]f [a,c] x0P[a,b[ f x0 [a,b] x0 f x0 f(x0)x0 f f(x0)x0 bf f b x0P]b,c] ā f:DÑR 1 f f(x)ÝÝÝÝÑxÑx0f(x0) f(x0)‰0 1 f(x)ÝÝÝÝÑxÑx01 f(x0) x0PD 1 f D f:DÑRg:EÑR f(D)ĂE g˝f Dx0PD f(x)ÝÝÝÝÑxÑx0f(x0) g(u)ÝÝÝÝÝÝÑuÑf(x0)g(f(x0)) f(x0)PEg f(x0)
f D |f| D f+f´ D f+@xPD,f+(x) =(f(x),0) =1 2 (f(x) +|f(x)|) f+ f´@xPD,f´(x) =(´f(x),0) =1 2 (´f(x) +|f(x)|) f+ xÞÑxαC0(I,R) C0I ĿC ŀ
f: [a,b]ÑRaăb cP[a,b] d=f(c)I R f I f(I)
α,βPf(I) dαβ f(I)
dαβ aPIbPI [a,b]ĂII f I f [a,b] dPf(I) f(I) f(I) f(I) R f: [a,b]ÑR f([a,b]) [a,b] a,bPR aăb f: [a,b]ÑR df(a)f(b) g: [a,b]ÝÑR xÞÝÑf(x)´d f(a)ěf(b) g: [a,b]ÝÑR xÞÝÑd´f(x) ā (an)(bn) a0=ab0=b
nPN g(an+bn 2 2 bn+1=bn an+1=anbn+1=an+bn 2 (an) (bn) @nPN,bn´an=b´a 2 n (an)(bn) ā c g c f(a) f(b) I f(a) f(b) f: [a,b]ÑR aăb J=f([a,b])J [a,b]
Jα,βP¯R α,βPJ
JβP¯R(J)
nPN xnP[a,b] yn=f(xn) (xn)nPN (x1n)nPN= (xφ(n))nPNβ=f(l) βPJ
āαPJ
J R f [a,b] f f(x) =1 x ]0,1[ f(]0,1[) =]1,+8[ f(x) =1 x [1,+8[ f([1,+8[) =]0,1] f:xÑxR f(R) = [´1,1] f:xÑx2]´1,1[ f(]´1n1[) = [0,1[ [3π,4π] f I f I J abaăb ¯RIJ¯Rα,β
aPIα=f(a)αPJα=afαRJ
f´1:JÑI Jā ĕ f αββα
f aPI αPJα=f(a) aRI´8=αf
xI x0
aā b
f´1 u,u1PJ uău1 f´1(u)ăf´1(u1) f´1(u)ěf´1(u1) f f(f´1(u))ě f(f´1(u1))uěu1 f´1 J f ´1(u0) =x0 @WPV(x0),DUPV(u0),@uPUXJ,f´1(u)PWWPV(x0)
x u1=f(x1)u2=f(x2) u1ăf(x0)ău2 u1ău0ău2 [u1,u2] u0 J
u1,u2PJ U= [u1,u2] @uPUXJ,f´1(u)PW
f u0PJ x0 I x0=(I) WXIU= [u1,+8[ u0
@uPUXJ,f´1(u)PW f´1(u)PIx0=(I) f´1(u)P[x1,x2]ĂW f´1 u0 f´1 J f ĕ ´f´f I J
f xP ´JyPI y=f´1(x)ðñf(y) =xðñ ´f(y) =´xðñy= (´f)´1(´x) x 04+8 f 1(x) f (x) +8 @Rf(4) +8 f(4) = 4(1´4)ă04ąe f ]0,4] 0f= +8 f ]0,4]]f(4),+8] f(4)ă00P]f(4),+8] ]0,4]āf [4,+8[ x1P[4,+8[
f(x1) = 0 f(4)‰0xP]0,4[x1P]4,+8[ x‰x1D R f:DÑR f D
@εą0,Dαą0,@xPD,@x1PD,(|x´x1| ăαùñ |f(x)´f(x1)| ăε) f:DÑR f D f D f D ðñ @εą0,Dαą0,@xPD,@x1PD,(|x´x1| ăαùñ |f(x)´f(x1)| ăε) f D ðñ @xPD,@εą0,Dαą0,@x1PD,(|x´x1| ăαùñ |f(x)´f(x1)| ăε) xPD,εą0αą0
@u,u1PD,(|u´u1| ăαùñ |f(u)´f(u1)| ăε) u=x u1x1 @x1PD,(|x´x1| ăαùñ |f(x)´f(x1)| ăε) @xPD,@εą0,Dαą0,@x1PD,(|x´x1| ăαùñ |f(x)´f(x1)| ăε) αą0,Dx,x1PR+,(|x´x1| ăα|f(x)´f(x1)| ěε)ε= 1
n x=nx1=n+1 n |x´x1|=1 năα |x2´x12|=1
n (2n+1 n ) = 2 +1 n2ěε ā
ε= 2
f D f Dεą0 α=ε
k xÞÑ?K= [a,b] R aăb
f:KÑR @εą0,Dαą0,@x,x1PK,(|x´x1| ăαùñ |f(x)´f(x1)| ăε) f(x1)| ěε) n |f(xn)´f(x1n)| ěε) 0 x1φ(n)=xφ(n)loomoonÑ0 l+8
f l f(xφ(n))Ñf(l)f(x1φ(n))Ñf(l) f(xφ(n))´f(x1φ(n))Ñ0 nÑ+8|f(xφ(n))´f(x1φ(n))| ěεą0 f [a,b] fn:RÝÑR xÞÝÑxn n fn RR n fn R+R+ n fn R x n R+ x rq? x pr=q? x p q? x p p q xp/q x 6 a (´2)2=6?4ą03?
´2ă0
(´2)2/6(´2)1/3 xr xą0rPQ x,x1ą0r,r1PQ x rxr1=xr+r1x´r=1 x rx0= 1 (xx1)r=xrx1r r= 0xÞÑxr 1 xą0 αPR (rn)nPNPQN α (xrn)nPNα (rn)nPN
xα=nÑ+8xrn αPQαă0
x,x1ą0α,βPR x0= 1xαxβ=xα+β(xα)β=xαβx´α=1
xα(xx1)α=xαx1α
αą0 xÑ0xα= 0 xÑ+8xα= +8
xÞÑax R aą1 a= 1 aă1 un= 1+1 2! +1 3! +¨¨¨+1 n! ePRzQ2ăeă3
ex´1 xÝÝÝÑxÑ01 xÞÑex
R eą2ą1
R]0,+8]
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