Fonctions continues et uniformement continues
2. Continuité uniforme. 5. 2.1. Définition de la continuité uniforme sur un intervalle. Exercice : si ƒ est u-continue elle admet une limite finie 5.
Chapitre 2 Fonctions Continues
Quelle est la différence entre continuité et continuité uniforme ? Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Preuve. Exercice 2.10.
Chapitre 2 - Fonctions continues entre espaces métriques
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9. Page 2. Exercice 2.7. Soit f : R ? R une fonction dérivable et
Fonctions continues entre espaces métriques
Montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. 9. Exercice 2.7. Soit f : R ? R une fonction dérivable et telle qu'il existe M
Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1. (extrait capes 2012
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
Corrigé du devoir danalyse de mars 2008 Exercice 1 Uniforme
Exercice 1. Uniforme continuité. 1. Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1]. 2. Soit ?? < a < b < +?
Convolution et régularisation
convolée fk ? g est uniformément continue sur Rd. Estimons alors la différence entre f ? g et fk ? g en appliquant naturellement l'inégalité de Hölder :.
Soit f : [0 1[? R uniformément continue. Montrer que f est bornée
Ecrivons la définition de l'uniforme continuité pour ? = 1 : il existe ? > 0 tel Comme la fonction f est continue sur le segment [0 1??]
TD-DEVELOPPEMENT : PROLONGEMENT DES APPLICATIONS
Soient A une partie dense de E et f une application uniformément continue de A dans F. Il existe une unique application continue g : E ? F qui prolonge f. De
Chapitre8 : Fonctions continues
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Démonstration : ‚ Montrons déjà l'équivalence entre les deux théorèmes : ? Supposons le
[PDF] Fonctions continues et uniformement continues
Théorème de Heine Toute fonction numérique continue sur un segment I est uniformément continue sur ce segment I On rappelle qu'un segment est un intervalle
Les fonctions continues et uniformement continues par Graille - page 1
6 avr 2014 · Uniforme : ??>0??>0?x?E?y?Ed(xy)
[PDF] Fonctions continues entre espaces métriques
uniformément continue Définition 2 2 Soit (X d) et (YD) deux espaces métriques et f : X ? Y On dit que f est uniformément continue sur X si
[PDF] Continuité
Définition 2 3 (Continuité uniforme) Soit f une application de D ? R dans R on dit que f est uniformément continue si pour tout ? > 0 il existe ? > 0
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Soient a et b deux réels avec a < b et soit f : [a b] ? R une fonction continue Alors f est uniformément continue sur [a b] Démonstration Par l'absurde
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C'est une fonction continue sur un segment donc elle est uniformément continue d'après le théorème de Heine Supposons que f est lipschitzienne On dispose
[PDF] Chapitre8 : Fonctions continues - Melusine
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle Démonstration : ‚ Montrons déjà l'équivalence entre les deux théorèmes : ? Supposons le
[PDF] Problème 1 : continuité uniforme
La fonction exponentielle est continue sur tout segment contenu dans R D'après le théorème de Heine la fonction exponentielle est donc uniformément continue
[PDF] Feuille 2 Fonctions dune variable réelle
Montrer qu'une fonction continue et périodique sur R est uniformément continue sur R Exercice 9 Soit ƒ une fonction continue sur R admettant des limites
Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.Comment définir si une fonction est continue ?
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".- Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
Universit´e de Marseille L1-S2- 2007-2008
Corrig´e du devoir d"analyse de mars 2008
Exercice 1
Uniforme continuit´e
1. Montrer que la fonction d´efinie parf(x) = 1/xn"est pas uniform´ement
continue sur ]0,1].2. Soit-∞< a < b <+∞, montrer que la fonctionf(x) =x2est uni-
form´ement continue sur [a,b].3. Montrer que la fonctionf(x) =x2n"est pas uniform´ement continue sur
[0,+∞[.Corrig´e
1. On ´ecrit la n´egation de l"uniforme continuit´e
On voit que le probl`eme se pose au voisinage du point 0 car mˆeme si l"´ecart entrexetyest tr`es petit, l"´ecart entref(x) etf(y) peut ˆetre tr`es grand.Plus pr´ecis´ement
?ε0=12 tq?α >0,?n?N?tel que1n < αetx=1n ,y=12n2. Ce sera une cons´equence de l"exercice 3, mais on peut le d´emontrer di-
rectement. Soitx,y?[a,b].Un calcul direct conduit `a : Ainsi (La fonction estf(x) =x2est mˆeme Lipschitzienne sur [a,b] et donc uniform´ement continue sur [a,b]).3. L`a le probl`eme se pose `a l"infini. On va raisonner comme dans le cas 1.
?ε0= 1 tq?α >0,?n?N?tel que1n < αetx=n ,y=n+12n 1Exercice 2
Prolongement par densit´e
Soientfetgdeux fonctions d´efinies etcontinuessurR.Montrer que (x?Q?f(x) =g(x))?f=g.Corrig´e
On va utiliser queQest dense dansR(voir d´emonstration plus loin) et quef etgsont continues surR. Soitx?Ril existe une suite (xn)?Qtelle quexn→x.Par continuit´e de fetgon a limn→+∞f(xn) =f(x) et limn→+∞g(xn) =g(x). Mais comme pour toutn?N,xn?Qet quefetgco¨ıncident surQ, on a f(xn) =g(xn),?n?N. Donc limn→+∞f(xn) = limn→+∞g(xn).Densit´e deQdansR.
Soitx?R. Par d´efinition de la partie enti`ere,E[.], pour toutn?N, on a :Posons:
x n=E[(n+ 1)x]n+ 1.On axn?Qet
x n→n+∞x. Exercice 3Soitα >0,β >0.Soitfune fonction continue de [0,α[ dansR telle quef(0)<0 et limx→x<ααf(x) = +∞. Soitgune fonction continue deRdansRtelle queg(0)<0 etg(β)>0. Montrer qu"il existex?]0,min{α,β}[ tel quef(x)(x-β)-g(x) = 0.[On pourra distinguer les casβ < α,β > αetβ=α.]Corrig´e
Voir corrig´e du partiel de 2006-2007.
Exercice 4
Soita < b?R.Toute fonction continue sur un[a,b]est uniform´ement continue.Soitf: [a,b]→R.
On va raisonner par l"absurde.
21)-Ecrire la n´egation de cette d´efinition.
2)-Montrer que sifn"est pas uniform´ement continue sur [a,b], il existeε0>0
et (xn),(yn)?[a,b] tels que|xn-yn|<1n+1et|f(xn)-f(yn)| ≥ε0.3)-Montrer qu"il existeφstrictement croissante deN→Netα?[a,b] tels
4)-En d´eduire que sifn"est pas uniform´ement continue sur [a,b],il existe
α?[a,b] tel quefn"est pas continue enα.
Corrig´e
1)- ?ε0>0,?δ >0,?(xδ,yδ)?[a,b]2t.q|xδ-yδ|< δet|f(xδ)-f(yδ)| ≥ε0.2)-Il suffit de choisir pour toutn?N,δ=1n+1.
?ε0>0,?n?N,?(xn,yn)?[a,b]2t.q|xn-yn|<1n+ 1et??f(xn)-f(yn)??≥ε0.3)-Comme [a,b] est un intervalle ferm´e born´e, par le th´eor`eme de Bolzano-
Weierstrass,on peut extraire de (xn) une suite convergente. Ainsi il existex? [a,b] etφ?:N→Ntels quexφ(n)→x. La suite (yφ(n)) est une suite extraite de la suit (yn), elle est dans [a,b] donc, toujours par le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une sous suite convergente. Ainsi il existey?[a,b] etψ?:N→Ntels queyψ(n)→y. La suite (xψ(n)) est extraite de la suite (xφ(n)) qui estconvergente versx, donc elle converge aussi versx.On a doncxψ(n)→xetyψ(n)→y.Mais on a aussi pour toutn |xn-yn|<1n+1et donc??xψ(n)-yψ(n)??<1ψ(n)+1et en passant `a la limite sur non obtient:|x-y|= 0,et doncx=y. On appelleαcette valeur commune.4)-On a donc trouv´eα?[a,b] et deux suites de [a,b] convergentes versαet
telles que??f(xψ(n))-f(yψ(n)))??≥ε0.Sif´etait continue enαles suites images (f(xψ(n)) et (f(yψ(n)) seraient convergentes versf(α) et on aurait |f(α)-f(α)| ≥ε0>0 ce qui est impossible. 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] plan histoire des arts
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