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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Dérivabilité et convexité

Bernard Ycart

D"accord, vous n"avez pas attendu ce chapitre pour dériver des fonctions. Attention cependant à deux nouveautés importantes : le théorème des accroissements finis et la convexité. Une bonne maîtrise de la notion de limite vous sera indispensable pour tout comprendre.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Taux d"accroissement et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Entraînement 19

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Compléments 37

3.1 Newton et Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Le calcul différentiel indien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Le dernier disciple de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Règle de l"Hôpital et Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Cette plaie lamentable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Une construction de l"exponentielle et du logarithme . . . . . . . . . . . 47

8 novembre 2011

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF Grenoble1 Cours

1.1 Taux d"accroissement et dérivée

On considère une fonctionf, deRdansR, définie sur un intervalle ouvertI. Soit aun point deI. Définition 1.On appelletaux d"accroissementdefena, la fonctionτasuivante. a

I\ {a} -→R

x?-→τa(x) =f(x)-f(a)x-a. Six?I\ {a}, la valeur deτa(x)est le rapport de l"accroissement de la fonction, f(x)-f(a), à l"accroissement de la variablex-a. Sur le graphe de la fonction, c"est lapentede la droite passant par les points du graphe(a,f(a)et(x,f(x)). Cette droite s"appelle unesécante. SiIest un intervalle de temps etf(x)désigne la position d"un point mobile au tempsx,τa(x)est lavitesse moyennedu mobile sur l"intervalle[a,x] (distance parcourue divisée par le temps de parcours). Définition 2.On dit quefestdérivableenasi le taux d"accroissementτa(x)conver- ge, quandxtend versa. Si c"est le cas, sa limite est ladérivée defenaet se note f ?(a). f ?(a) = limx→af(x)-f(a)x-a. Ladérivéedefest la fonctionf?, qui à un point associe la dérivée defen ce point, si elle existe. Géométriquement, la valeur de la dérivée enaest lapente de la tangenteenaà la courbe d"équationy=f(x)(figure 1). Sif(x)est la position d"un mobile à l"instant x,f?(a)est savitesse instantanéeà l"instanta. Voici deux cas particuliers. •Sifest constante, ses taux d"accroissements sont nuls, et donc sa dérivée en tout point est nulle. ?x?I , f(x) =λ=? ?x?I , f?(x) = 0. •Sifest linéaire, ses taux d"accroissements sont constants, et donc sa dérivée en tout point est constante. ?x?I , f(x) =λx=? ?x?I , f?(x) =λ . Il est souvent commode de se ramener à des limites en0, en écrivant : f ?(a) = limh→0f(a+h)-f(a)h

Voici une écriture équivalente.

1 Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF Grenoblef(a) af(x) xFigure1 - Sécantes et tangente enaà la courbe d"équationy=f(x). Proposition 1.La fonctionfadmetf?(a)comme dérivée enasi et seulement si, au voisinage de0pourh: f(a+h) =f(a) +hf?(a) +o(h). Démonstration: Le taux d"accroissementτa(x)admetf?(a)pour limite enasi et seulement si : lim h→0f(a+h)-f(a)h -f?(a) = limh→0f(a+h)-f(a)-hf?(a)h = 0. Par définition, ceci équivaut à dire quef(a+h)-f(a)-hf?(a)est négligeable devant h, au voisinage de0: f(a+h)-f(a)-hf?(a) =o(h). Définition 3.On dit que la fonctionfadmet undéveloppement limité d"ordre 1en asi : f(a+h) =f(a) +hf?(a) +o(h). Dire quefadmet un développement limité d"ordre1au voisinage de0, c"est donner une approximation : on affirme par là que, sihest petit,f(a+h)peut être approché par la valeur defena,f(a), plus un terme linéairehf?(a). La différence entref(a+h) et cette approximation est négligeable devanth. Sifest dérivable ena, elle est nécessairement continue en ce point. Proposition 2.Sifest dérivable ena, alorsfest continue ena. 2

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleDémonstration: Écrivons le développement limité d"ordre1:

f(a+h) =f(a) +hf?(a) +o(h).

On en déduit

limh→0f(a+h) =f(a), ce qui équivaut à : lim x→af(x) =f(a).

Voici un premier exemple.

Proposition 3.Soitn?Zun entier fixé. La fonctionf:x?→xnest dérivable en tout pointaoù elle est définie, et : f ?(a) =nan-1. Démonstration: Sin= 0la fonction est constante et sa dérivée est nulle. Supposons n >0. Écrivons le taux d"accroissement defena. Pourx?=a: f(x)-f(a)x-a=xn-anx-a=n-1? i=0xian-1-i. La somme contientntermes, dont chacun tend versan-1quandxtend versa. Considérons maintenant la fonctiong:x?→x-n, définie pourx?= 0. Son taux d"accroissement ena?= 0s"écrit : g(x)-g(a)x-a=(1x )n-(1a )nx-a=(1x )n-(1a )nax(1a -1x )=-1ax n-1? i=0? 1x i?1a n-1-i La somme contientntermes, dont chacun tend vers(1/a)n-1quandxtend versa. Le taux d"accroissement a donc pour limite g ?(a) =-na-n+1-2=-na-n-1.

Prenons par exemplen= 3eta= 1. On obtient :

(1 +h)3= 1 + 3h+o(h).

L"expression exacte est :

(1 +h)3= 1 + 3h+ 3h2+h3. Sihest petit (pensezh= 10-3), la valeur approchée1 + 3hest effectivement très proche de la valeur exacte(1 +h)3. Il peut se faire que le taux d"accroissement admette seulement une limite unilatérale ena, auquel cas on parle dedérivée à gaucheou dedérivée à droite. 3

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleDéfinition 4.On dit quefestdérivable à gauche(respectivement : dérivable à droite)

enasi le taux d"accroissementτa(x)admet une limite à gauche (respectivement : à droite) ena. Si c"est le cas, sa limite est ladérivée à gauche defena(respectivement : dérivée à droite defena). Considérons par exemple la fonction valeur absoluef:x?→ |x|. Son taux d"ac- croissement en0est :

0(x) =|x|x

=?-1six <0

1six >0.

La fonctionfn"est donc pas dérivable en0, mais elle admet une dérivée à gauche égale à-1, et une dérivée à droite égale à1. Il se peut aussi que la fonction ne soit définie que sur un intervalle dontaest une borne, auquel cas, on ne peut espérer qu"une dérivée unilatérale. Considérons la fonction suivante.f ]- ∞,1]-→R x?-→f(x) =⎷x 2-x3. Son taux d"accroissement en0est défini, pourx?]- ∞,1], par

0(x) =f(x)-f(0)x

=⎷x 2-x3x =|x|x ⎷1-x , et donc : limx→0-τ0(x) =-1etlimx→0+τ0(x) = 1.

La fonctionfadmet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en0, mais elles sont

différentes :fn"est pas dérivable en0. Considérons maintenant le taux d"accroissement en1. Pourx?[0,1[, il vaut :

1(x) =f(x)-f(1)x-1=⎷x

2-x3x-1=x-

⎷1-x, et donc : limx→1-τ1(x) =-∞. La fonctionfn"admet pas de dérivée à gauche en1. Le fait que la limite du taux d"accroissement soit-∞se traduit par une tangente verticale à la courbe représentative (figure 2).

1.2 Opérations sur les dérivées

Les résultats de cette section sont à connaître par coeur : ils vous permettent de calculer les dérivées de toutes les fonctions que vous rencontrerez, à partir d"un petit nombre de dérivées usuelles. 4 Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF Grenoble-1f(x) x 01 0 2/3

1Figure2 - Courbe représentative dex?→⎷x

2-x3. Théorème 1.Soientfetgdeux fonctions définies sur un intervalleIcontenanta.

On suppose quefetgsont dérivables ena. Alors :

1.f+gest dérivable ena, de dérivéef?(a) +g?(a)

2.fgest dérivable ena, de dérivéef?(a)g(a) +f(a)g?(a).

Comme cas particulier du point2, siλest une constante, la dérivée deλfestλf?.

Démonstration: Par hypothèse,

lim

1. Écrivons le taux d"accroissement de la somme.

Comme la limite de la somme est la somme des limites, le résultat s"ensuit.

2. Écrivons le taux d"accroissement du produit.

5

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleCommegest dérivable, elle est continue ena, doncg(x)tend versg(a)quand

xtend versa. La limite d"un produit est le produit des limites, idem pour la somme. D"où le résultat. Le théorème 1, combiné avec la proposition 3, entraîne en particulier que toute fonction polynôme est dérivable surR. Théorème 2.Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvertIdeR, dérivable ena. Soitgune fonction définie sur un intervalle ouvert contenantf(a), dérivable en f(a). Alors la composéeg◦fest dérivable ena, de dérivée : (g◦f)?(a) =f?(a)g?(f(a)). Démonstration: Par hypothèse, les taux d"accroissement defenaet degenf(a) convergent : lim Nous allons utiliser en plus les conséquences suivantes :

C1 :fest continue ena,

C2 : sif?(a)?= 0alorsf(x)?=f(a)au voisinage dea,

C3 : le taux d"accroissement degest borné au voisinage def(a). L"idée consiste à écrire le taux d"accroissement deg◦fenacomme un produit de deux taux :

τ(x) =g(f(x))-g(f(a))x-a=τ1(x)τ2(x),

avec :

1(x) =g(f(x))-g(f(a))f(x)-f(a)etτ2(x) =f(x)-f(a)x-a.

Évidemment,τ1(x)n"est défini que sif(x)?=f(a). Mais sif(x) =f(a), alorsτ(x) = 0. Considérons d"abord le cas oùf?(a) = 0. Dans ce cas,τ2(x)tend vers0, et comme conséquence de C1 et C3, il existe un intervalleJ?Iet une constanteMtelle que : ?x?J\ {a},|τ(x)|6M|τ2(x)|.

Doncτ(x)converge vers0.

Considérons maintenant le cas oùf?(a)?= 0. Comme conséquence de C2,τ1(x) est bien défini au voisinage dea. La convergence deτ2(x)versg?(f(a))découle de la dérivabilité deget de la continuité def(composition des limites). D"après la proposition 3, appliquée à la fonction inverseg:y?→1/y, celle-ci est dérivable en tout pointboù elle est définie, etg?(b) =-1/b2. On déduit du théorème 6

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF Grenoble2 que sifest dérivable et ne s"annule pas ena, alors son inversex?→1/f(x)est

dérivable, de dérivée?1f (a) =-f?(a)f 2(a). En combinant ceci avec la formule donnant la dérivée d"un produit, on obtient la dérivée d"un quotient.?uv ?(a) =v(a)u?(a)-u(a)v?(a)v 2(a). Attention à ne pas confondre l"inverse1/favec la fonction réciproquef-1dans le cas oùfest bijective. Proposition 4.Soitfune bijection d"un intervalle ouvertIvers un intervalle ouvert J. Soitaun point deIetb=f(a)?J. Sifest dérivable ena, de dérivée non nulle, alors la fonction réciproquef-1est dérivable enb, et : (f-1)?(b) =1f ?(f-1(b)). Démonstration: Pour tout pointydeJ, il existe un uniquex?Itel quey=f(x). Écrivons le taux d"accroissement def-1enb: pour touty?J\ {b}, f -1(y)-f-1(b)y-b=x-af(x)-f(a). Puisquefest continue ena,f-1est continue enb, et donc lim y→bf -1(y)-f-1(b)y-b= limx→ax-af(x)-f(a)=1f ?(a). Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de toutes les fonctions que vous aurez à examiner, à condition d"admettre la dérivabilité des " briques de base » que sont les fonctions usuelles. Toutes les fonctions usuelles sont dérivables en tout point d"un intervalle ouvert où elles sont définies. Ceci concerne les fonctions polynômes, fractions rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, mais exclut bien sûr la valeur absolue. 7

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleVoici un tableau récapitulatif des formules de dérivation à connaître par coeur.

fonctiondérivée u+vu ?+v?uvu ?v+uv?u/v(vu?-uv?)/v2u◦vv ?(u?◦v)1/u-u?/u2⎷uu ?/(2⎷u)u

ααu

α-1u?u

-11/(u?◦u-1)Les dérivées suivantes doivent être connues. fonctiondérivée x

ααx

α-1⎷x1/(2⎷x)1/x-1/x2sin(x)cos(x)cos(x)-sin(x)tan(x)1 + tan 2(x)e xe

xln(x)1/xLa connaissance des dérivées usuelles, permet, en appliquant la définition 2, de calculer

des limites de taux d"accroissement. À titre d"exemple, nous donnons ci-dessous trois limites à connaître. Théorème 3.Au voisinage de0,sin(x),ex-1etln(1 +x)sont équivalents àx. lim x→0sin(x)x = limx→0e x-1x = limx→0ln(1 +x)x = 1. Démonstration: Les trois limites sont démontrées dans l"ordre.

1. La dérivée de la fonction sinus en0estcos(0) = 1. Son taux d"accroissement en

0est :

0(x) =sin(x)-sin(0)x-0=sin(x)x

D"où le résultat.

2. La dérivée de la fonction exponentielle en0este0= 1. Son taux d"accroissement

en0est :

0(x) =ex-e0x-0=ex-1x

D"où le résultat.

8

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF Grenoble3. La dérivée de la fonctionx?→ln(1 +x)en0est1/(1 + 0) = 1. Son taux

d"accroissement en0est :

0(x) =ln(1 +x)-ln(1)x-0=ln(1 +x)x

D"où le résultat.

1.3 Dérivées successives

Etant donné un intervalle ouvertI, on dit quefestdérivable surI, si elle est dérivable en tout point deI. Soitfune fonction dérivable surI. Sa dérivéef?peut

être elle-même dérivable. On appelle alorsdérivée secondela dérivée def?, et on la

notef??. Cette fonction peut être elle-même dérivable, etc. Sifestkfois dérivable, on

notef(k)sa dérivée d"ordrek, ou dérivéek-ième. Par définition, la dérivée d"ordre0

est la fonction elle-même. Par exemple, sinest un entier fixé, etfest la fonctionx?→xn, ?k= 1,...,n, f(k)(x) =n(n-1)...(n-k+ 1)xn-ket?k > n, f(k)(x) = 0. Vous rencontrerez souvent les notations suivantes, que nous n"utiliserons pas ici. f ?(x) =dfdx, f??(x) =d2fdx2, f(n)(x) =dnfdxn. Définition 5.Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR. On dit quefest de classeCksurI, ou encorefestkfois continûment dérivable, si elle admet une dérivéek-ièmecontinuesurI. On dit quefest de classeC∞surI, si elle admet des dérivées successives de tout ordre (elles sont nécessairement continues puisque dérivables). Vous pouvez retenir que : toutes les fonctions usuelles sont de classeC∞ sur les intervalles ouverts où elles sont définies. Ceci concerne les fonctions polynômes, fractions rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus. La formule de Leibniz, très proche de la formule du binôme de Newton, exprime la dérivéen-ième d"un produit à d"aide des dérivées successives des composantes. Proposition 5.Sifetgsont deux fonctions deRdansR,nfois dérivables sur un intervalleI, alors le produitfgestnfois dérivable surIet : (fg)(n)=n k=0? n k? f (k)g(n-k).(1) 9

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleDémonstration: par récurrence surn. Puisque par définitionf(0)=f, la formule est

vraie pourn= 0. Supposons qu"elle est vraie pourn. Sifetgsont dérivablesn+ 1 fois surI, alors pour toutk= 0,...,n, le produitf(k)g(n-k)est dérivable et sa dérivée est : (f(k)g(n-k))?=f(k+1)g(n-k)+f(k)g(n-k+1). D"après (1),(fg)nest dérivable, comme combinaison linéaire de fonctions dérivables.

Sa dérivée s"écrit :

(fg)(n+1)=? n? k=0? n k? f (k+1)g(n-k)? n? k=0? n k? f (k)g(n+1-k)? n+1? h=1? n h-1? f (h)g(n+1-h)? n? k=0? n k? f (k)g(n+1-k)? =f(n+1)g(0)+? n? h=1? n h-1? f (h)g(n+1-h)? n? k=1? n k? f (k)g(n+1-k)? +f(0)g(n+1) =f(n+1)g(0)+? n? k=1?? n k-1? +?n k?? f (k)g(n+1-k)? +f(0)g(n+1) n+1? k=0? n+ 1 k? f (k)g(n+1-k). Pour la dernière égalité, nous avons appliqué la formule du triangle de Pascal. La formule est vraie pourn+ 1, donc pour toutn?N, par récurrence. À titre d"exemple, calculons la dérivéen-ième dex?→xn(1+x)2. Posonsf:x?→xn etg:x?→(1 +x)2. Alors : f (n-2)(x) =n!2 x2, f(n-1)(x) =n!x, f(n)(x) =n!, et g ?(x) = 2(1 +x), g??(x) = 2,et?k>3, g(k)(x) = 0.

Par application de (1),

(fg)(n)=n!(1 +x)2+ 2nn!x(1 +x) +n(n-1)2 n!x2.

1.4 Théorème des accroissements finis

En un point où la dérivée d"une fonction s"annule, les accroissements de la fonction sont négligeables devant les accroissements de la variable. Souvent, c"est un point où les variations de la fonction changent de sens, donc un maximum ou un minimum. 10

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleDéfinition 6.Soitfune fonction deRdansR, définie sur un intervalle ouvertI.

Soitaun point deI. On dit queaest un

•maximum localdefsi ?η >0,|x-a|6η=?f(x)6f(a), •minimum localdefsi ?η >0,|x-a|6η=?f(x)>f(a). Insistons sur l"adjectiflocal. Il suffit que la valeur defenasoit la plus grande des valeurs prises parfsur un petit intervalle autour deapour quefsoit un maximum local. Cette valeur n"est pas nécessairement la plus grande prise parfsur tout son domaine de définition (voir le graphe de la figure 3). Théorème 4.Soitfune fonction deRdansR, définie sur un intervalle ouvertI. Si fprésente un extremum (maximum ou minimum) local en un pointadeI, et sifest dérivable ena, alorsf?(a) = 0. Démonstration: Siaest un minimum local def, alors c"est un maximum local de-f: quitte à remplacerfpar-f, nous pouvons supposer queaest un maximum local. ?η >0,|x-a|6η=?f(x)6f(a).

Donc pour toutxdans l"intervalle[a-η,a[,

Pour toutxdans l"intervalle]a,a+η[,

D"où le résultat.

Reprenons l"exemple de la figure 2 :f:x?→⎷x

2-x3. La dérivée est :

f ?(x) =2x-3x22 ⎷x 2-x3. Elle s"annule enx= 2/3, etfadmet effectivement un maximum en ce point. Mais savoir quef?(2/3) = 0permet seulement d"affirmer que la tangente en ce point est horizontale. Il se pourrait que la dérivée en un point soit nulle sans que la fonction admette un extremum en ce point : par exemple la fonctionx?→x3en0. D"autre part, une fonction peut présenter un extremum ena, sans être dérivable en ce point (par exemple la fonctionx?→⎷x

2-x3en0).

11

Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleVoici un autre exemple (figure 3). Soitfla fonction définie par :

f R ?-→R x?-→f(x) =?x2sin(1/x)six?= 0

0six= 0.

Le taux d"accroissement defen0estxsin(1/x), qui tend vers0. La dérivée def-0.1 0.0 0.1 -0.010.000.01 f(x) x f(x)=x^2 sin(1/x) Figure3 - Graphe de la fonctionx?→x2sin(1/x). en0est donc nulle. Pourtant, tout intervalle contenant0, contient aussi des valeurs positives, et des valeurs négatives (et aussi une infinité d"extrema locaux). Nous allons appliquer le théorème 4, pour démontrer lethéorème de Rolle. Théorème 5.Soientaetbdeux réels tels quea < b. Soitfune fonction de[a,b] dansR, continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[. Sif(a) =f(b), alors la dérivée def s"annule sur]a,b[. ?c?]a,b[, f?(c) = 0. Démonstration: Une application continue sur intervalle fermé borné, atteint sa borne inférieuremet sa borne supérieureM: il existec1,c2?[a,b]tels que pour tout x?[a,b], m=f(c1)6f(x)6f(c2) =M . Sim=M, l"applicationfest constante sur[a,b], et sa dérivée est identiquement nulle. Sim < M, alors l"une au moins de ces deux valeurs est différente def(a)(et donc def(b)). Sim < f(a), alorsc1?]a,b[est un minimum pourf, et doncf?(c1) = 0, d"après le théorème précédent. SiM > f(a), alorsc2est un maximum pourf, et donc f ?(c2) = 0. On en déduit le résultat le plus important de cette section, lethéorème des accroisse- ments finis. 12 Maths en LigneDérivabilité et convexitéUJF GrenobleM mf(a)=f(b) abFigure4 - Théorème de Rolle. abf(a)f(b)Figure5 - Théorème des accroissements finis. Théorème 6.Soientaetbdeux réels tels quea < b. Soitfune fonction de[a,b]dans

R, continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[.

?c?]a,b[,f(b)-f(a)b-a=f?(c). Démonstration: Considérons la fonctiong, qui àx?[a,b]associe g(x) =f(x)-f(b)-f(a)b-ax . La fonctiongest continue sur[a,b], dérivable sur]a,b[. De plus, elle prend la même valeur enaetb: g(a) =g(b) =bf(a)-af(b)b-a. D"après le théorème de Rolle, la dérivée degs"annule en un pointcde]a,b[. gquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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