[PDF] [PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques





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VARIATIONS DUNE FONCTION

On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction b) La fonction est croissante sur les intervalles [?4 ; 0] et [5 ; 7].



LA DÉRIVÉE SECONDE

pente de la tangente d'une fonction et la dérivée seconde



FONCTIONS DE REFERENCE

Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? .



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) D`es la seconde moitié du 17e si`ecle le domaine mathématique de l'analyse numérique.



Monotonie

Fonctions croissantes. On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f si on a x ? y



5.15. Théorème Dérivée et monotonie.

f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons.



FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

Supposons qu'on ait choisi de calculer b ? a. La fonction f : x ?? x2 est strictement croissante sur l'intervalle [0; +?[ et strictement.



Comment montrer quune fonction est convexe ou concave: la

- on étudie le signe de cette fonction f " et on fait son tableau de signes. - lorsque la dérivée seconde ƒ " est positive la fonction est convexe. - lorsque 



Fonctions de deux variables

plusieurs param`etres et c'est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans.



Dérivabilité et convexité

Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de a ? I le taux d'accroissement ?a(x) est une fonction croissante de x sur I ...



[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques

Dire que est monotone signifie que est soit croissante soit décroissante • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction 



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Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie



[PDF] LA DÉRIVÉE SECONDE

Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut Au contraire une fonction concave possède une 



[PDF] Monotonie

On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante Contre-exemple La fonction carré x ?? x2 n'est pas monotone : en effet 



[PDF] 2020 Variations des Fonctions 2nde Soit f une fonction définie sur

La fonction f est croissante sur I signifie que : Pour tous réels a et b de I si a



[PDF] Seconde - Fonctions sens variations extremums - Parfenoff org

C'est-à-dire qu'elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses ? Une fonction est 



[PDF] Méthodes - Traduction algébrique du sens de variation dune fonction

Exercice 1 Soit la fonction définie sur l'intervalle [-5 ; 5] par : Prouver algébriquement que la fonction est croissante sur cet intervalle Réponse :



[PDF] [PDF] Variation d une fonction - Mathématiques en lycée

On dit que la fonction f est croissante sur [6;8] et décroiante sur [8;15]?[15;22] 2) Synthèse du vocabulaire utilisé M Herbaut 1/4 Seconde 



[PDF] Chapitre 7 - Variations dune fonction

Définissons de manière formelle la notion de fonction croissante et décroissante introduite plus haut 7 1 1 Sens de variation Dire qu'une fonction est 



[PDF] Comment montrer quune fonction est convexe ou concave

En supposant que les fonctions concernées soient dérivables sans souci on appelle dérivée seconde d'une fonction ƒ et on la note ƒ" la dérivée de la fonction 

  • Comment montrer qu'une fonction est croissante seconde ?

    Si [a, b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l'intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a, b], si x1 < x2, alors f(x1) ? f(x2).

  • Comment voir si une fonction est croissante ou décroissante ?

    Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.
  • Si une fonction "f" est dériable sur un intervalle I alors: Si sa dérivée est positive sur cet intervalle alors la fonction y est croissante. Si sa dérivée est négative sur cet intervalle alors la focnction y est décroissante. Si sa dérivée est nulle sur cet intervalle alors la fonction y est constante.

1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frFONCTIONS DE REFERENCE I. Rappels de la classe de seconde 1) Sens de variation d'une fonction Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors

(respectivement si a < b alors f(a)). - Dire que f est décroissante sur I (respectivement strictement décroissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors

f(a)≥f(b) (respectivement si a < b alors f(a)>f(b) ). - Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : f(a)=f(b)

. - Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I Remarques : • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre. • On dit qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. • Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. 2) Fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur

par f(x)=x 2 . Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Remarques : - La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3) Fonction inverse Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur

\{}0 par f(x)= 1 x . Propriété : La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement décroissante sur l'intervalle

0;+∞

. Remarques : - La courbe de la fonction inverse est appelée une hyperbole de centre O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère. Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction Vidéo https://youtu.be/TWbjEeiZXnw Démontrer que la fonction f définie sur

par f(x)=x 2 -8x+3 est strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞

. Soit a et b deux nombres réels tels que : f(a)-f(b)=a 2 -8a+3-b 2 +8b-3 =a 2 -b 2 -8a+8b =a-b a+b -8a-b =a-b a+b-8 Comme a4 , on a : a+b>8 , soit : a+b-8>0

On en déduit que :

f(a)-f(b)<0 et donc : f(a)4;+∞

3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr II. Etude de la fonction racine carrée Vidéo https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4 Définition : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur

0;+∞

par f(x)=x . Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs tels que a < b. f(a)-f(b)=a-b= a-b a+b a+b a-b a+b <0 Donc f(a). III. Etude de la fonction valeur absolue Vidéo https://youtu.be/O61rmOdXg9I 1) Valeur absolue d'un nombre Exemples : - La valeur absolue de -5 est égale à 5. - La valeur absolue de 8 est égale à 8. Définition : La valeur absolue d'un nombre A est égal au nombre A si A est positif, et au nombre -A si A est négatif. La valeur absolue de A se note

A

4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frExemple :

x-5= x-5,six≥5 Propriétés : Soit x et y deux nombres réels. 1) x≥0 2) -x=x 3) x 2 =x

4) |x| = 0 équivaut à x = 0 5) |x| = |y| équivaut à x = y ou x = -y 6) |xy| = |x| x |y| 7)

x y x y pour y≠0 Exemples : 1) |-3| = 3 et |3| = 3 donc |-3| = |3|. 2) -5 2 =25=5 et -5=5 donc -5 2 =-5

2) Distance et valeur absolue Définition : Soit a et b deux nombres réels. Sur une droite graduée munie d'un repère

O,i

, la distance entre les points A et B d'abscisses respectives les nombres a et b est le nombre |a - b|. Ce nombre s'appelle aussi la distance entre les réels a et b et se note d(a ; b). Exemple : Calculer la distance entre les nombres -1,5 et 4. d(-1,5 ; 4) = |4 - (-1,5)| = 5,5 Propriété de l'inégalité triangulaire : Soit x et y deux nombres réels. On a :

Démonstration : Dans un repère

O,i

AO + OB, soit :

x--y , soit encore :

5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3) Fonction valeur absolue Définition : La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur

par f(x)=x . Propriété : La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Eléments de démonstration : f(x)= -xsur-∞;0 xsur0;+∞

Sur chacun des intervalles

-∞;0 et

0;+∞

, la fonction f est une fonction affine. Représentation graphique : x -∞

0 +∞

x!x

0 Remarque : Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. IV. Positions relatives de courbes Propriété : - Si

, alors x 2 - Si x≥1 , alors 2 . Démonstration : Dans un repère O;i ;j , on appelle C f C g et C h les courbes représentatives respectives des fonctions f, g et h telles que : f(x)=x g(x)=x et h(x)=x 2 f(0)=g(0)=h(0)=0 et f(1)=g(1)=h(1)=1 . Les courbes C f C g et C h sont donc sécantes au point O et au point A(1 ; 1)

6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr- Si 0 < x < 1 : On a alors :

00 0 0 soit encore : 0 0 donc : 0Sur l'intervalle 0;1 , la courbe C g est strictement au dessus de la courbe C h et strictement en dessous de la courbe C f . - Si x > 1 : On a alors : 11×x x 0 soit encore : x 2 0 donc : xSur l'intervalle

1;+∞

, la courbe C g est strictement au dessus de la courbe C f et strictement en dessous de la courbe C h . Propriété : - Sur l'intervalle 0;1 , la droite d'équation y=x

est au dessus de la courbe de la fonction carré et en dessous de la courbe de la fonction racine carrée. - Sur l'intervalle

1;+∞

, les position de ces trois courbes sont inversées.

7 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Etudier la position de deux courbes Vidéo https://youtu.be/EyxP5HIfyF4 Soit f et g deux fonctions définies sur

par : f(x)=-x 2 +8x-11 et g(x)=x-1 . Etudier la position relative des courbes représentatives C f et C g . On va étudier le signe de la différence f(x)-g(x) f(x)-g(x)=-x 2 +8x-11-x+1=-x 2 +7x-10 . Le discriminant du trinôme -x 2 +7x-10 est Δ = 72 - 4 x (-1) x (-10) = 9 Le trinôme possède deux racines distinctes : x 1 -7-9

2×(-1)

=5 et x 2 -7+9

2×(-1)

=2 . On dresse le tableau de signes du trinôme -x 2 +7x-10 : x -∞

2 5 +∞

f(x)-g(x) - O + O - On conclut : La courbe C f est en dessous de la courbe C g pour tout x de -∞;2 ∪5;+∞ . La courbe C f est en dessus de la courbe C g pour tout x de 2;5

. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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