VARIATIONS DUNE FONCTION
On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction b) La fonction est croissante sur les intervalles [?4 ; 0] et [5 ; 7].
LA DÉRIVÉE SECONDE
pente de la tangente d'une fonction et la dérivée seconde
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? .
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) D`es la seconde moitié du 17e si`ecle le domaine mathématique de l'analyse numérique.
Monotonie
Fonctions croissantes. On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f si on a x ? y
5.15. Théorème Dérivée et monotonie.
f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons.
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Supposons qu'on ait choisi de calculer b ? a. La fonction f : x ?? x2 est strictement croissante sur l'intervalle [0; +?[ et strictement.
Comment montrer quune fonction est convexe ou concave: la
- on étudie le signe de cette fonction f " et on fait son tableau de signes. - lorsque la dérivée seconde ƒ " est positive la fonction est convexe. - lorsque
Fonctions de deux variables
plusieurs param`etres et c'est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans.
Dérivabilité et convexité
Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de a ? I le taux d'accroissement ?a(x) est une fonction croissante de x sur I ...
[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques
Dire que est monotone signifie que est soit croissante soit décroissante • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction
[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie
[PDF] LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut Au contraire une fonction concave possède une
[PDF] Monotonie
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante Contre-exemple La fonction carré x ?? x2 n'est pas monotone : en effet
[PDF] 2020 Variations des Fonctions 2nde Soit f une fonction définie sur
La fonction f est croissante sur I signifie que : Pour tous réels a et b de I si a
[PDF] Seconde - Fonctions sens variations extremums - Parfenoff org
C'est-à-dire qu'elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses ? Une fonction est
[PDF] Méthodes - Traduction algébrique du sens de variation dune fonction
Exercice 1 Soit la fonction définie sur l'intervalle [-5 ; 5] par : Prouver algébriquement que la fonction est croissante sur cet intervalle Réponse :
[PDF] [PDF] Variation d une fonction - Mathématiques en lycée
On dit que la fonction f est croissante sur [6;8] et décroiante sur [8;15]?[15;22] 2) Synthèse du vocabulaire utilisé M Herbaut 1/4 Seconde
[PDF] Chapitre 7 - Variations dune fonction
Définissons de manière formelle la notion de fonction croissante et décroissante introduite plus haut 7 1 1 Sens de variation Dire qu'une fonction est
[PDF] Comment montrer quune fonction est convexe ou concave
En supposant que les fonctions concernées soient dérivables sans souci on appelle dérivée seconde d'une fonction ƒ et on la note ƒ" la dérivée de la fonction
Comment montrer qu'une fonction est croissante seconde ?
Si [a, b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l'intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a, b], si x1 < x2, alors f(x1) ? f(x2).Comment voir si une fonction est croissante ou décroissante ?
Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.- Si une fonction "f" est dériable sur un intervalle I alors: Si sa dérivée est positive sur cet intervalle alors la fonction y est croissante. Si sa dérivée est négative sur cet intervalle alors la focnction y est décroissante. Si sa dérivée est nulle sur cet intervalle alors la fonction y est constante.
Fonctions de deux variables
D´edou
Mai 2011
D"une `a deux variables
Les fonctions mod`elisent de l"information d´ependant d"un param`etre. On a aussi besoin de mod´eliser de l"information d´ependant de plusieurs param`etres, et c"est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu"on sait faire pour les fonctions d"une variable s"´etend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir.Exemple de fonctions de deux variables
Comme les fonctions d"une variable, celles de deux variables s"´ecrivent avec "?→". En voici une :d:= (x,y)?→ |x-y|. Je l"appelledparce que d(x,y) est la distance entrexety. En voici une autre :p:= (R,R?)?→RR?R+R?. C"est la fonction qui donne la r´esistance d"un montage en parall`ele de deux r´esistances. C"est pour ¸ca que j"ai appel´e les variablesRetR?, mais j"aurais aussi bien pu ´ecrire la mˆeme fonction (x,y)?→xyx+y.Exo 1 Donnez votre exemple favori de fonction de deux variables.Domaine de d´efinition
Certaines fonctions sont d´efinies pour toutes les valeurs des (deux) variables mais d"autres non. On va dire que les fonctions de deux variables sont les applications deR2dansR?, ce qui permet de d´efinir le domaine de d´efinition par la formule :DDf:={(x,y)?R2|f(x,y)?=?}.Exemple
Posonsf:= (x,y)?→ln(x-y2)-2?y-x2.
C"est une partie du plan et ¸ca se dessine.Exo 2Dessinez le domaine de d´efinition de
f:= (x,y)?→xln(x+y)-y⎷y-x.Graphe
Le grapheGrfd"une fonctionfde deux variables, c"est une partie deR3, `a savoir :Grf:={(x,y,z)?R3|z=f(x,y)}.Exemple
a) Le graphe de (x,y)?→x+y+ 1 est le plan passant par (0,0,1),(1,0,2) et (0,1,2). b) Le graphe de (x,y)?→?1-x2-y2est "l"h´emisph`ere nord" de la sph`ere unit´e.Ca se dessine ou se visualise.D´eriv´ees partielles
Pour une fonction de deux variables, il y a deux d´eriv´ees, une "par rapport `ax" et l"autre "par rapport `ay". Les formules sont (`a gauche la premi`ere, `a droite la seconde) : (a,b)?→(x?→f(x,b))?(a) (a,b)?→(x?→f(a,x))?(b). La premi`ere est not´eef?xou parfois∂f∂xet la seconde est not´eef?y ou parfois ∂f∂y. On a donc f ?x(a,b) = (x?→f(x,b))?(a)f?y(a,b) = (x?→f(a,x))?(b).Calcul de la premi`ere d´eriv´ee partielle
Pour calculer la premi`ere d´eriv´ee partielle, on consid`ereycomme un param`etre et on d´erive comme d"habitude.ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?x(x,y) =y-ysinxy.Exo 3Calculezf?x(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Calcul de la seconde d´eriv´ee partielle
Pour calculer la seconde d´eriv´ee partielle, on consid`erexcomme un param`etre et on d´erive "eny".ExemplePosonsf:= (x,y)?→xy+y2+ cosxy.On a
f ?y(x,y) =x+ 2y-xsinxy.Exo 4Calculezf?y(x,y) pourf:= (x,y)?→xy2-y+exy.
Le gradient
Si on met les deux d´eriv´ees partielles ensemble, on obtient le gradientdef, qu"on note?f, ce qui se lit aussi "nablaf" :Posonsf:= (x,y)?→xy+y2.On af?x(x,y) =yet
f ?y(x,y) =x+ 2y. Le gradient defau point (3,10) est donc (10,23).Exo 5 Calculez le gradient def:= (x,y)?→xey-3yx2en (1,1).Le dessin du gradient
Le gradient?f(M) defau pointMest un ´el´ement deR2qu"on voit comme un vecteur. Et ce vecteur, on est libre de le voir o`u on veut : alors on fait le choix des physiciens qui consiste `a voir l"origine de ce gradient enM. Ainsi, quandMvarie, on a un gradient en chaque point. Les physiciens disent que le gradient d"une fonction est un "champ" de vecteurs.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+ 2y2, on a?f(2,1) = (4,4) et ¸ca se dessine.Exo 6Pourf:= (x,y)?→xy-y2, dessinez?f(1,1).
Le sens du gradient
A une variable, la d´eriv´ee dit dans quel sens varie la fonction et `a quelle vitesse : plus la d´eriv´ee est grande, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation"). A deux variables, le gradient pointe dans la direction o`u la fonction augmente le plus, et plus il est long, plus la fonction augmente ("en premi`ere approximation").Points critiques
On a compris qu"une fonction d´erivable d"une variable atteint ses bornes l`a o`u sa d´eriv´ee s"annule (ou au bord de son DD). A deux variables c"est pareil, sauf que la d´eriv´ee est remplac´ee par le gradient.D´efinition Les points critiques d"une fonctionfde deux variables sont les points o`u son gradient s"annule.Points critiques : exemples
Exemple
Les points critiques def:= (x,y)?→x3-3x+y2sont ceux qui v´erifient les deux ´equations 3x2-3 = 0 et 2y= 0. On trouve deux points critiques : (1,0) et (-1,0).Exo 7 Trouver les points critiques def:= (x,y)?→x2-4x+y3-3y.Courbes de niveau
Les courbes de niveau d"une fonctionfde deux variables sont les lieux o`ufest constante, il y en a une par valeur prise : Niv c:={M?R2|f(M) =c}.Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etcpositif, la courbe de niveaucest le cercle de rayon⎷ccentr´e en l"origine.Courbe de niveau par un point
SiAest un point du domaine de d´efinition def, il y passe une courbe de niveau def, celle de niveauf(A). L"´equation de la courbe de niveau defpassant parAest f(M) =f(A).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation de la courbe de niveau passant parAestx2+y2= 25 , c"est donc le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine.Exo 8 Pour la mˆeme fonction, quelle est la courbe de niveau passant par (1,2)?Courbe de niveau et gradient
L`a o`u le gradient est non nul, il est perpendiculaire `a la courbe de niveau. Autrement dit, la tangente `a la courbe de niveau est perpendiculaire au gradient. "Pour monter (ou descendre) le plus vite, il faut partir perpendiculairement `a la courbe de niveau".Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), la courbe de niveau passant parAest le cercle de rayon 5 centr´e en l"origine. Et on a ?f(3,4) = (6,8), qui est bien proportionnel au rayon.Plan tangent au graphe
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"´equation de la tangente au graphe au point (a,f(a)) est y=f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"´equation du plan tangent au point (a,b,f(a,b)) est z=f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exemple Pourf:= (x,y)?→x2+y2, etA:= (3,4), l"´equation du plan tangent est z= 25 + 6(x-3) + 8(y-4).Approximation lin´eaire
Pour une fonction d´erivablefd"une variable, on se rappelle que l"approximation lin´eaire au pointaest la fonction dont le graphe est la tangente, `a savoir : x?→f(a) + (x-a)f?(a). Sifest `a deux variables, c"est presque pareil, l"approximation lin´eaire au point (a,b) est la fonction dont le graphe est le plan tangent, `a savoir : (x,y)?→f(a,b) + (x-a)f?x(a,b) + (y-b)f?y(a,b).Exo 9 Calculez l"approximation lin´eaire def:= (x,y)?→x2+y2enA:= (3,4).
D´eriv´ees partielles sup´erieures
Pour faire des approximations quadratiques et autres, il faut des d´eriv´ees sup´erieures. Bien entendu, on peut par exemple d´eriver deux fois, et ce de quatre fa¸cons. Ces quatre d´eriv´ees sont not´eesf??x2,f??xy,f??yx,f??y2sauf que les deux du milieu sont toujours ´egales, donc on n"´ecrit jamaisf??yx.Exo 10 Calculezf??xyetf??yxpourf:= (x,y)?→exy+xsiny.Extrema
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle;alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du
rectangle, soit en des points critiques.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→x2+y2-2x-4ysur le On af(x,y) = (x-1)2+ (y-2)2-5. On voit qu"elle atteint son maximum en (3,5) qui est sur le bord du rectangle, et son minimum (-5) en (1,2) qui est un point critique.Exo 11Trouver le maximum et le minimum de la fonction
f:= (x,y)?→x2+y2-3x-3ysur le rectangle d´efini par les deuxInterm`ede : mauvaise foi
On a dit :
Sifest une fonction d´erivable sur un rectangle, alorsfatteint son maximum et son minimum soit sur le bord du rectangle, soit en des points critiques.Exo 12 Donner une interprˆetation fausse (et de mauvaise foi!) de cet´enonc´e.
Extrema sur le bord
Soitfune fonction d´erivable sur un rectangle.On trouve les extrema defsur le bord du rectangle en examinant
les quatre cˆot´es, et en gardant le meilleur de ce qu"on trouve.Exemple On consid`ere la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur le Cette fonction est nulle sur deux des quatre cˆot´es du rectangle. Sur le bord d"en haut, on a la fonctionx?→2x+ 2x3qui est croissante et varie de 0 `a 4. Sur le bord de droite, on a la fonction y?→y2qui est croissante et varie de 0 `a 4. Donc, sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4.Extrema tout court : exemple
Exemple
On consid`ere encore la fonctionf:= (x,y)?→xy2-xy+x3ysur Sur le bord le minimum de la fonction est 0 et son maximum est 4. Pour trouver le minimum de cette fonction sur tout le rectangle, on calcule ses points critiques, qui sont d´efinis par y2-y+ 3x2y= 2xy-x+x3= 0.En dehors des axes, on trouve
y+ 3x2= 1 et 2y+x2= 1 En r´esolvant ce syst`eme, on trouve, dans notre rectangle, le point critique ( 25,1⎷5 En ce point,fprend la valeur n´egative10⎷5-42125 ⎷5 qui est donc son minimum.
Extrema tout court : exercice
Exo 13
Calculer le maximum et le minimum de
f:= (x,y)?→2xy2-xy+x3ysur le mˆeme rectangle d´efini par lesquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] tp mps svt
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