VARIATIONS DUNE FONCTION
On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction b) La fonction est croissante sur les intervalles [?4 ; 0] et [5 ; 7].
LA DÉRIVÉE SECONDE
pente de la tangente d'une fonction et la dérivée seconde
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? .
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) D`es la seconde moitié du 17e si`ecle le domaine mathématique de l'analyse numérique.
Monotonie
Fonctions croissantes. On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f si on a x ? y
5.15. Théorème Dérivée et monotonie.
f est croissante sur I si et seulement si la fonction dérivée f/ est positive On peut en fait démontrer ce résultat de deux façons.
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Supposons qu'on ait choisi de calculer b ? a. La fonction f : x ?? x2 est strictement croissante sur l'intervalle [0; +?[ et strictement.
Comment montrer quune fonction est convexe ou concave: la
- on étudie le signe de cette fonction f " et on fait son tableau de signes. - lorsque la dérivée seconde ƒ " est positive la fonction est convexe. - lorsque
Fonctions de deux variables
plusieurs param`etres et c'est ce que font les fonctions de plusieurs variables. Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans.
Dérivabilité et convexité
Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de a ? I le taux d'accroissement ?a(x) est une fonction croissante de x sur I ...
[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques
Dire que est monotone signifie que est soit croissante soit décroissante • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction
[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie
[PDF] LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut Au contraire une fonction concave possède une
[PDF] Monotonie
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante Contre-exemple La fonction carré x ?? x2 n'est pas monotone : en effet
[PDF] 2020 Variations des Fonctions 2nde Soit f une fonction définie sur
La fonction f est croissante sur I signifie que : Pour tous réels a et b de I si a
[PDF] Seconde - Fonctions sens variations extremums - Parfenoff org
C'est-à-dire qu'elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses ? Une fonction est
[PDF] Méthodes - Traduction algébrique du sens de variation dune fonction
Exercice 1 Soit la fonction définie sur l'intervalle [-5 ; 5] par : Prouver algébriquement que la fonction est croissante sur cet intervalle Réponse :
[PDF] [PDF] Variation d une fonction - Mathématiques en lycée
On dit que la fonction f est croissante sur [6;8] et décroiante sur [8;15]?[15;22] 2) Synthèse du vocabulaire utilisé M Herbaut 1/4 Seconde
[PDF] Chapitre 7 - Variations dune fonction
Définissons de manière formelle la notion de fonction croissante et décroissante introduite plus haut 7 1 1 Sens de variation Dire qu'une fonction est
[PDF] Comment montrer quune fonction est convexe ou concave
En supposant que les fonctions concernées soient dérivables sans souci on appelle dérivée seconde d'une fonction ƒ et on la note ƒ" la dérivée de la fonction
Comment montrer qu'une fonction est croissante seconde ?
Si [a, b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l'intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a, b], si x1 < x2, alors f(x1) ? f(x2).Comment voir si une fonction est croissante ou décroissante ?
Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.- Si une fonction "f" est dériable sur un intervalle I alors: Si sa dérivée est positive sur cet intervalle alors la fonction y est croissante. Si sa dérivée est négative sur cet intervalle alors la focnction y est décroissante. Si sa dérivée est nulle sur cet intervalle alors la fonction y est constante.
1) Fonction croissante. Fonction décroissante
ł Une fonction ࢌ est croissante :
C'est-à-dire sa courbe représentative monte la parcourt dans le sensł Une fonction ࢌ est décroissante :
C'est-à-dire sa courbe représentative descendłࢌ est constante:
Exemple 1 Exemple 2
La fonction ࢌ est croissante sur [0 ; 3] : La fonction ࢌ est décroissante sur [-1 ; 1]:
Sa courbe représentative monte Sa courbe représentative descendL lorsqu'on la parcourt dans le sens
de l'axe des abscisses entre ݔൌͲ etݔൌ͵ de l'axe des abscisses entre ݔൌെͳ etݔൌͳ
Mathématiquement cela se traduit par :
Pour tout nombre ࢇ et ࢈appartenant à un intervalle I, représentative Etudier lefonction, trouver le(s) intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction ࢌ est croissante, décroissante ou constante. se résumer dans un tableau de variation, si la courbe monte, descend ou est stable. Dans la première ligne on indique les valeurs importantes de ࢞ et dans la seconde les variations de ࢌ: on lit les flèches de gauche à droite si la flèche monte, la fonction est croissante, si elle descend, elle est décroissante, si elle est horizontale, elle est constante. Aux extrémités de chaque flèche, on indique les valeurs atteintes par la fonction ࢌ.La fonction ࢌ
[-4 ; 4], pour tout ݔde cet intervalle : Dans notre exemple 2. La fonction constante est toujours représentée par abscissesExemples :
࢞ െͳ 0 2,5 4 3 50 െͲǡͷ
En reprenant les trois exemples du I) 1), nous pouvons déduire des trois représentations graphiques :La fonction ݂ La fonction ݂
[0 ; 3]. Son tableau de variation est : [-1 ; 1]. Son tableau de variation est :ݔ 0 3
9S ; 3], -1 ; 1],
Les ordonnées montent de 3 à 9 les ordonnées descendent de 8 à 0 3 : La fonction ݂ est constante ; 3]. Son tableau de variation est :ݔ -4 4
ݔ -1 1
8La fonction ݂ -4 ; 4],
3 0 2 2En observant la courbe représentative ci-
contre, nous pouvons dire : - La fonction est définie sur [-1 ;4] - La fonction " monte » sur [-1 ;0] elle est donc croissante sur cet intervalle. - La fonction " descend » sur [0 ;2,5] elle est donc décroissante sur cet intervalle ; - La fonction " monte » sur [2,5 ;4] elle est donc croissante sur cet intervalle. suivant :1) Définitions
łLe maximum ࢌ sur un intervalle I est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle. łLe minimum ࢌ sur un intervalle I est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle. łextremum ࢌ sur un intervalle I est un maximum ou un minimum de cette fonction ࢌ intervalle. I.2) Exemples :
Reprenons les deux exemples précédents :
La plus grande valeur prise par ݂ sur
െ1 ; 4] est 5 et la plus petite estLe maximum de ݂ െ1 ; 4] est 5,
son minimum sur cet intervalle est െ0,5.La plus grande valeur prise par ݂ sur
[0 ; 3] est 9 et la plus petite est 0.Le maximum de ݂ ;3] est 9, son minimum sur
cet intervalle est 0.IV) Récapitulatif :
݂ -2 ; 3]:
1) Décrire les variations de la fonction ݂
2) Dresser son tableau de variation.
3) Quels sont les extremums de cette fonction ?
1)łLa fonction ݂ -2 ;-1]
ł݂ -1 ; 2]
łfonction ݂ ; 3]
2) Le tableau de variation est donc :
ݔ െ2 െ1 2 3
0 െ8
3) La plus grande valeur prise par ݂ sur
[-2 ; 3] est 5,5.Donc ࢌ admet en -1 un maximum qui est
5,5La plus petite valeur prise par ݂
[-2 ; 3] est -8.Donc ࢌ admet en 2 un minimum qui est -8
V) Les fonctions de référence
1) La fonction affine ࢞ࢇ࢞࢈
Expression
algébriqueCas où a<0 Cas où a>0
Définition :ࢇet ࢈
sont des réels alors la fonction une fonction affine définie sur Թ.Remarque : ࢇ est
le coefficient directeur et ࢈ l lPropriétés :
La représentation
graphique dune fonction affine est une droite.Si ࢈ൌ la fonction
est appelée fonction linéaireReprésentation graphique :
graphique est une droite décroissante.Représentation graphique :
Si ࢇ, la représentation
graphique est une droite croissante.Tableau de variation : ࢇ
Tableau de signe : ࢇ ǣ
Démonstration : Pour tous réels ݑ et ݒ tel que ݑݒ , ݒȂݑͲ
On a : ݒെݑͲ par hypothèse
łLorsqueࢇ
Le produit de deux nombres positifs étant positif : ܽłLorsque ࢇ
Le produit de deux nombres de signes différents étant négatif : ܽ2) La fonction carré ࢞࢞;
Expression
algébrique Représentation graphique Tableau de variation et tableau de signeDéfinition :La
fonction carré définie sur Թa pour expressionRemarque : Sa
courbe représentative s parabolePropriétés :
La représentation
graphique passe par lorigineLa fonction carré
est positive sur ԹReprésentation graphique :
Tableau de variation :
ݔ െλ 0 +λ
0La fonction carré est
croissante sur [0 ;+λ[Tableau de signe :ǣ
La fonction carré est positive
sur ԹDémonstration (non obligatoire)
Pour tous réels ݑ et ݒ tel que ݑݒon a ࢜Ȃ࢛łPour ࢛ et ࢜ dans [0 ; +λ [:
On a : ݒെݑͲ par hypothèse. La somme de deux nombres positifs est positive : ݒݑͲ
łPour ࢛ et ࢜ dans ]- ; 0 ]:
On a : ݒെݑͲ par hypothèse. La somme de deux nombres négatifs est négative : ݒݑͲ
Conséquences
Si ࢇ et ࢈ sont deux réels positifs tel que ࢇ࢈ alors ࢇ;࢈;
Si ࢇ et ࢈ sont deux réels négatifs tel que ࢇ࢈ alors ࢇ;࢈;
Exemples :
alors 3² -5 -3 alors (-5)² (-3)² soit 25 9Expression
algébrique Représentation graphique Tableau de variation et tableau de signeDéfinition : La
fonction inverse pour expressionRemarque : Sa
courbe représentative s hyperbolePropriétés :
La représentation
graphique nest pas définie en 0La fonction nest
pas définie pourReprésentation graphique :
Tableau de variation :
ݔ െλ 0 +λ
La fonction inverse est
décroissante sur ]0 ;+λ[Tableau de signe :
La fonction inverse est
positive sur sur ]0 ;+λ[Démonstration (non obligatoire)
Pour tous réels ݑ et ݒ non nuls tel que ݑݒ on a :łPour ࢛ et ࢜ dans ]0 ; +λ [:
On a : ݑെݒͲ par hypothèse
Le produit de deux nombres positifs étant positif : ݑݒͲDe là : ௨ି௩
௩௨Ͳ (Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif)łPour ࢛ et ࢜ dans ]- ; 0 [
On a : ݑെݒͲ par hypothèse
Le produit de deux nombres négatifs étant positif : ݑݒͲDe là : ௨ି௩
௩௨Ͳ (Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif)Conséquences
Exemples :
2 4 alors ଵ
ସ soit 0,5 0,25 et - 5 -2 alors ଵLa double
barre indique que la fonction définie en 0quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] tp mps svt
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