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ECE1-B2015-2016CH XI : Étude globale des fonctions réelles d"une variable réelle I. Propriétés générales des fonctionsf:I!R Dans la suite,Isera un intervalle (même si la plupart des opérations restent vraies sur une réunion d"intervalles).

I.1. Fonctions paires / impaires

Définition

Une fonctionf:I!Restpairesi :8x2I; f(x) =f(x)Pour que cette définition soit valide, il faut supposer que les quantitésf(x)

etf(x)sont bien définies. Il faut donc que la fonctionfsoit définie sur un intervalleIsymétrique : x2I) x2I

Remarque

La courbe représentative d"une fonction paire est symétrique par rapport

à l"axe des ordonnées.

Ainsi, sifpaire, alorsfn"est pas injective (sauf siI=f0g). On peut écrire une version " sans lesx» de cette définition. SoitIun intervalle symétrique. Une fonctionf:I!Rest paire si :f(id) =fExemple

On considère la fonctionf:x7!exe

2x+ 1.

Donner son domaine de définitionDfet démontrer quefest paire. La quantitéf(x)est définie pour toutxtel que : e2x+16= 0. Or e2x+1>0.

On en déduit queDf=R.

Soitx2R.

f(x) =exe

2x+ 1=1e

x1 e

2x+ 1=1e

x1+e2xe 2x=1e xe2x1 +e2x=exe

2x+ 1=f(x)

On en déduit quefest paire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.642246

0:50:5Définition

SoitIun intervalle symétrique.

Une fonctionf:I!Restimpairesi :8x2I; f(x) =f(x)Remarque La courbe représentative d"une fonction impaire est symétrique par rapport

à l"origine.

SoitIun intervalle symétrique. Une fonctionf:I!Rest impaire si :f(id) = (id)f1 ECE1-B2015-2016Propriété(jouons avec la définition ...)

Soientfetgdeux fonctions définies surR.

1)fpaire)gfpaire2)fetgimpaires)gfimpaire3)fimpaire etgpaire)gfpaireDémonstration.

1)Soitx2R. On a alors :

gf(x) =g(f(x)) =g(f(x)) =gf(x)

Ce qui démontre quegfest paire.

On aurait pu faire une démonstration " sans lesx» : (fg)(id) =f(g(id)) =fg

2)Soitx2R. On a alors :

gf(x) =g(f(x)) =g((f(x))) =g(f(x)) =gf(x)

Ce qui démontre quegfest impaire.

3)Soitx2R. On a alors :

gf(x) =g(f(x)) =g(f(x)) =g(f(x)) =gf(x) Ce qui démontre quegfest paire.I.2. Bornes d"une fonction

I.2.a) Notion de minorant / majorant

Définition

Soitf:I!R.

1)festminorée(surI) si elle admet un minorant :9m2R;8x2I; m6f(x)2)festmajorée(surI) si elle admet un majorant :9M2R;8x2I; f(x)6M3)festbornée(surI) si elle est à la fois majorée et minorée :9(m;M)2R2;8x2I; m6f(x)6Mce qu"on peut aussi écrire sous la forme :

9M2R+;8x2I;jf(x)j6MRemarque

Si une fonctionfadmet un majorantM(resp. un minorantm) alors elle en admet une infinité. En effet, tout élément plus grand queM(resp. plus petit quem) est un majorant (resp. minorant) def. Les bornesmetMévoquées dans ces définitions ne sont pas forcé- ment des valeurs prises parf.Par exemple, la fonctionf:x7!exexe x+exest majorée par1(donc par1:1,

1:5, e,37,1018...) mais1n"est pas atteint parf.2

ECE1-B2015-2016I.2.b) Notion de minimum / maximum global

Définition

Soitf:I!R.

1)fadmet unminimumsur l"intervalleIsi :9x02I;8x2I; f(x)>f(x0)Si tel élément existe, on dit quefatteint sonminimumau pointx0.

2)fadmet unmaximumsur l"intervalleIsi :9x02I;8x2I; f(x)6f(x0)Si tel élément existe, on dit quefatteint sonmaximumau pointx0.

Remarque

S"il existe, le maximum (resp. minimum) d"une fonction surIest unique. Cependant, ce maximum peut être atteint en plusieurs points deI. Le maximum (resp. minimum) defsurI, s"il existe, est un majorant (resp. minorant) defqui est atteint parf.xy x 0x

1f(x0)f(x1)La fonctionfadmet le minimum32

Ce minimum est atteint en les deux

pointsx0etx1: f(x0) =32 f(x1) =32 .I.2.c) Notion de minimum / maximum local

Définition

Soitf:I!Retx02I.

1)On dit quefadmet unmaximum localenx0si :9 >0;8x2I;jxx0j6)f(x)6f(x0)2)On dit quefadmet unminimum localenx0si :9 >0;8x2I;jxx0j6)f(x0)6f(x)Remarque

Une fonctionfpeut admettre plusieurs maxima (resp. minima) locaux. Un maximum (resp. minimum) local d"une fonctionfest un majorant (resp. minorant) local def.xy x 0x 1x

2f(x0)f(x1)f(x2)La fonctionfadmet :

un minimum local enx0. un maximum local enx1. un minimum local enx2.

La fonctionf:

n"admet pas de maximum. admet un minimum (global) au pointx0. La fonctionfn"admet pas de majorant. Elle admet une infinité de minorants : tout réelm2Rtel quem6f(x0)est un minorant def. Parmi ses minorants, on peut distinguer celui qui a le plus d"intérêt.3 ECE1-B2015-2016I.2.d) Notion de borne supérieure / inférieure

Définition

Soitf:I!R.

1)Sifest minorée surI, on appelleborne inférieure defsurIle plus

grand des minorants defsurI. Cet élément est notéinfIfouinfx2If(x).

2)Sifest majorée surI, on appelleborne supérieure defsurI, le plus

petit des majorants defsurI. Cet élément est notésup

Ifousup

x2If(x).

3)Sifest bornée surI, on peut donc définirsup

Ijfj. La borne supérieure (resp. inférieure) defn"est pas forcément une valeur atteinte parf. Si c"est le cas il s"agit du minimum (resp. maximum) de la fonction. siinfIf2f(I), alorsinfx2If(x) = minx2If(x) sisup

If2f(I), alorssup

x2If(x) = maxx2If(x)Considérons la fonctionf:x7!ex.xy

La fonctionfn"admet pas

de minimum surR.

Elle est minorée par tout

réelm60.

Sa borne inférieure est :

infRf= 0.La fonctiong:x7!exexe x+exn"admet pas de minimum / maximum.xyLa fonctiongn"admet pas de minimum / maximum.

Elle est minorée par tout

réelm61.

Elle est majorée par tout

réelM>1. infRg=1etsup

Rg= 1.

I.3. Fonctions monotones

Définition

Soitf:I!R.

1)La fonctionfestcroissantesurIsi :8(x;y)2I2; x6y)f(x)6f(y)2)La fonctionfeststrictement croissantesurIsi :8(x;y)2I2; x < y)f(x)< f(y)3)La fonctionfestdécroissantesurIsi :8(x;y)2I2; x6y)f(x)>f(y)4)La fonctionfeststrictement décroissantesurIsi :8(x;y)2I2; x < y)f(x)> f(y)5)La fonctionfestmonotonesurIsi :

(fest croissante surI)OU(fest décroissante surI) On définit de même la notion destricte monotonie.4

ECE1-B2015-2016Remarque

Une fonction qui n"est pas croissante n"est pas forcément décroissante. La négation du caractère croissant est :

9(x;y)2I2;(x6y)ET(f(x)> f(y))

Il est important de préciser l"intervalle d"étude.xy

La fonction inversen"est pasdé-

croissante surR.

Elle est décroissante surR.

Elle est décroissante surR+.

Sifest croissante (resp. décroissante) alorsfest décroissante (resp. croissante). Le résultat est le même en cas de stricte monotonie.

Proposition 1.

Soitf:I!R.

1)Sifest strictement monotone surI, alorsfest injective deIsurR.

2)Sifest strictement monotone surI, alorsfréalise une bijection deI

surf(I).

Démonstration.

On fait la démonstration dans le cas de la croissance (autre cas analogue).

1)Supposonsfstrictement croissante. Soit(x1;x2)2I2tel quex16=x2.

Quitte à renommerx1etx2, supposonsx1< x2. Par stricte croissance def, on a :f(x1)< f(x2)et donc :f(x1)6=f(x2).

2)L"image defcoïncide avec son ensemble d"arrivée. La fonctionfest donc

surjective. Étant de plus injective (cf précédent), elle réalise une bijection deIsurf(I).Théorème 1.(théorème de la limite monotone)

Soitfune fonction monotone surI= ]a;b[(a < b).

(aveca2R[ f1getb2R[ f+1g) 1)Six

02I:fadmet une limitefinieà gauche et à droite enx0.

2)Six

0=a:fadmet une limite dansR[ f1;+1genx0.

a)sifest croissante,lim x!af(x) =(infx2If(x)sifest minorée 1 sinonb)sifest décroissante,lim x!af(x) =(sup x2If(x)sifest majorée +1sinon3)Six

0=b:fadmet une limite dansR[ f1;+1genx0.

a)sifest croissante,lim x!bf(x) =(sup x2If(x)sifest majorée +1sinonb)sifest décroissante,lim x!bf(x) =(infx2If(x)sifest minorée 1 sinonDémonstration.(CULTURE) Pour faire la démonstration, il faut connaître la notion de borne supérieure (et inférieure) d"une partie deRet sa caractérisation. SiERalors le plus petit des majorants deE, lorsqu"il existe, est appelé borne supérieure deEet est notéM= supE. On peut caractériser cette borne supérieureMde la façon suivante.

8x2E; x6M(Mest un majorant)

8" >0;9x2E; M" < x(M"n"est jamais un majorant)5

ECE1-B2015-2016On se limite ici au cas oùfest croissante (casfdécroissante analogue) et on s"intéresse au casx0=b. On distingue alors deux cas : soitfestmajorée.

On note alorsM= sup

x2If(x) = supff(x)jx2Ig. Soit" >0. De par la caractérisation précédente, on sait queM"n"est pas un majorant deff(x)jx2Ig. Ainsi, il existeu2I(i.e.a < u < b) tel que :M" < f(u)6M. Pour toutxtel queu6x < b, on a, par croissance def:

M" < f(u)6f(x)6M

En notant=bu >0, on a donc :

8x2I;(b6x < b) jf(x)Mj6")

soitfestnonmajorée.

SoitA2R.

Commefnon majorée, il existeu2I(i.e.a < u < b) tel que :f(u)> A. Pour toutxtel queu6x < b, on a, par croissance def:

A < f(u)6f(x)

En notant=bu >0, on a donc :

8x2I;(b6x < b)f(x)> A)Ceci ne signifie pas qu"une fonction monotone admet une limite en

tout point de]a;b[. Par exemple, on peut considérer la fonction f:[0;+1[!Rx7!8 :pxsi06x <3

3six= 3

13 x+ 3six >3 qui est (strictement) croissante mais n"admet pas de limite en3.Représentation graphique xy 34
p3 Commefest croissante, le Théorème1 p ermetd"affirmer que la fonction f admet une limite à gauche et à droite en tout pointx02I. C"est notamment le cas enx0= 32[0;+1[. Détaillons ce cas : limx!3f(x) = limx!3px=p3 limx!3+f(x) = limx!313 x+ 3 = 4 Pour autant, cela ne signifie pas quefest continue en3. Ce n"est pas le cas puisque :limx!3f(x)6= limx!3+f(x).6 ECE1-B2015-2016II. Continuité sur un intervalle

II.1. Continuité globale

Définition

Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalleI. La fonctionfest continue sur I si elle est continue en tout point deI. Autrement dit,fest continue sur I si elle admet une limite finie en tout point deI. Ceci s"écrit :8x02I; 9`2R;8" >0;9 >0;8x2I;(jxx0j6) jf(x)`j6")Remarque On peut simplifier l"écriture précédente. En effet, commefest continue en x

0et définie enx0, on a : "`=f(x0)».

Ainsi,fest continue surIsi :8x02I; 8" >0;9 >0;8x2I;(jxx0j6) jf(x)f(x0)j6")II.2. Opérations algébriques sur les fonctions continues

Théorème 2.

Soientf;g:I!Rdeux fonctions continues surI. Soit2R. Alors les fonctionsf+g,f,fgsont des fonctions continues surI.

De plus, signe s"annule pas surI,1g

etfg sont aussi continues surI.

Démonstration.

On obtient ce résultat en appliquant à tous les points deIle résultat analogue énoncé dans le chapitre précédent (continuité en un point).Théorème 3.

1)Toute fonction polynomiale est continue surR.

2)Toute fonction rationnellef:x7!P(x)Q(x)est continue sur tout intervalle

Isur lequelQne s"annule pas.

Démonstration.

1)La fonctionx7!1et la fonctionx7!xsont continues surR(il suffit de

prendre="). On en déduit par somme, produit et produit par un réel que les fonctions polynomiales sont continues.

2)La fonctionfest continue surIpar quotient de fonctions continues dont

le dénominateur ne s"annule pas.Application De par ces propositions sur les opérations algébriques et la composition, on pourra rédiger comme suit : fest une continue surIcarfest la somme / produit / quotient (attention au dénominateur) de fonctions continues surI.

Exemple

1)On considère la fonctionf:x7!xln(x)1définie surR+.

La fonctionfest continue surR+car elle est la somme des fonctions : x7!xln(x)continue surR+comme produit des fonctions : (i)x7!xpolynomiale donc continue surR+, (ii)x7!ln(x)continue surR+. x7! 1constante donc continue surR+.

2)On considère la fonctiong:x7!e2x+ 1e

2x1définie notamment sur]0;+1[.

La fonctiongest continue sur]0;+1[car c"est le quotient de : la fonctionx7!e2x+ 1, continue sur]0;+1[. et de la fonctionx7!e2x1, continue sur]0;+1[et qui ne s"annule pas sur]0;+1[.7 ECE1-B2015-2016II.3. Composée de deux fonctions continues

Proposition 2.

Soitf:I!Rcontinue sur un intervalleI.

Soitg:J!Rcontinue sur un intervalleJ.

On suppose de plus que :f(I)J(pour quegf:I!Rsoit bien définie).

Alorsgf:I!Rest continue surI.

Démonstration.

Encore une fois, ce résultat global est un corollaire direct du résultat du chapitre précédent sur la limite en un point de la composéegf.Exemple

1)Sifest continue surI, alors :f2,jfj,exp(f)sont continues surI.

2)Sifest continue et positive surI,pfetln(f)sont continues surI.

3)Dans la pratique, on rédigera comme suit.

a)Considérons la fonctionh:t7!ln(1 +t)définie sur]1;+1[. La fonctionhest continue sur]1;+1[car c"est la composée de : g:t7!t+ 1, continue sur]1;+1[car polynomiale.

De plus,g(]1;+1[) ]0;+1[.

et def:t7!ln(t), continue sur]0;+1[. b)Considérons la fonctionh:t7!ept définie sur[0;+1[. La fonctionhest continue sur[0;+1[car c"est la composée de : g:t7!pt, continue sur[0;+1[.

De plus,g([0;+1[) R.

et def:t7!et, continue surR.II.4. Fonctions continues par morceaux Définition(continuité par morceaux sur un segment)

Soitaetbdeux réels tels quea < b.

On dit quefestcontinue par morceauxsur[a;b]s"il existe une subdivision a

0=a < a1<< an=btelle que pour touti2J0;n1K:

1)f]ai;ai+1[est continue(i.e. continue sur]ai;ai+1[),

2)f]ai;ai+1[est prolongeable par continuité sur l"intervalle fermé[ai;ai+1].

Remarque(bien comprendre cette définition)

Naturellement, on a envie de poser la définition suivante : "fest continue par morceaux sur[a;b]si l"on peut découper l"intervalle en morceaux (les]ai;ai+1[) tel quefest continue sur chaque morceau ». Ceci correspond au point1)de la définition. Par ajout du point2)on impose de plus quefne peut admettre une limite infinie en les pointsai.

Définition(équivalente)

La fonctionfest continue par morceaux sur[a;b]s"il existe une subdivision a

0=a < a1<< an=btelle que pour touti2J0;n1K:

fest continue sur]ai;ai+1[, fadmet une limite finie à droite enai, fadmet une limite finie à gauche enai+1. (et ces limites ne sont pas forcément égales et peuvent aussi être différentes def(ai)etf(ai+1))8

ECE1-B2015-2016Exemple

On considère la fonction suivante :

f:[1;5]!Rx7!8 :1xsi16x <3

8six= 3

3x+ 5si3< x65

fn"est pas continue sur[1;5]car elle n"est pas continue au point3: lim x!3f(x) =26= 14 = limx!3+f(x)

Par contre,fest continue par morceaux sur[1;5].

En effet, si l"on prenda0= 1,a1= 3,a2= 5, on a :

fest continue sur]1;3[et sur]3;5[. limx!1+f(x) = limx!11x= 0(limite finie) lim x!3f(x) = limx!31x=2(limite finie) lim x!3+f(x) = limx!33x+ 5 = 14(limite finie) lim x!5f(x) = limx!53x+ 5 = 20(limite finie)

Remarque

On peut étendre cette définition à un intervalleIquelconque. Une fonctionfest ditecontinue par morceaux sur un intervalleIsi elle est continue par morceaux sur tout segment[a;b]I. La fonctionx7! bxcest continue par morceaux surRpuisqu"elle est

continue par morceaux sur tout segment[a;b](aveca,bdansR).III. Les grands théorèmes de la continuité surI

III.1. Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 4.(Théorème des Valeurs Intermédiaires)

Soitf:I!Rune fonction continue sur unintervalleI.

Siaetbsont deux points deI(a < b) tels que :f(a)f(b)60.

Alors il existec2[a;b]tel quef(c) = 0.

Démonstration.

a)Casf(a) =f(b) = 0: trivial. Prendrec=a. b)Casf(a)60etf(b)>0(l"autre cas est analogue) La démonstration se base sur une méthode dite " de dichotomie » qu"on peut résumer par le schéma suivant.a 0b 0a 1b 1a 2b 2a 3b 3a 4b 49
ECE1-B2015-2016On construit une suite de segments emboîtés[an;bn]tels que : f(an)60, f(bn)>0. On définit les suites(an)et(bn)par récurrence.

0)Initialement, on posea0=a,b0=betc0=a+b2

1)Sif(c0)60, on posea1=c0etb1=b.

Sif(c0)>0, on posea1=a0etb1=c0.

2)... n+1)On notecn=an+bn2

Sif(cn)60, on posean+1=cnetbn+1=bn.

Sif(cn)>0, on posean+1=anetbn+1=cn.

Les suites(an)et(bn)ainsi construites sont adjacentes. En effet : an+1>an, bn+16bn, bnan=bn1an12 ==b0a02 n!n!+10. Ainsi,(an)et(bn)sont convergentes et convergent vers la même limite c= supan= infbn. On note au passage quea=a06c6b0=b.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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