[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE Propriété : La fonction racine





Previous PDF Next PDF



VARIATIONS DUNE FONCTION

On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction b) La fonction est croissante sur les intervalles [?4 ; 0] et [5 ; 7].



Monotonie

Fonctions strictement croissantes. On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi Donner un exemple de fonction décroissante non strictement.



LES SUITES

c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; f sur l'intervalle 0;+? . ... DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE.



FONCTIONS DE REFERENCE

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle 0;+????? . Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs tels 





GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES

Par ce procédé Archimède donne naissance



Théorème de la bijection : exemples de rédaction

a) f(I) est un intervalle car image d'un intervalle par une fonction continue Montrer qu'il existe un unique ? ? ... tel que . . . ».



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) dérivable en un point.



Limites et continuité

Soit ]a b[ un intervalle ouvert



CONTINUITÉ

Si f '(x) ? 0 alors f est croissante sur I. La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle ??;2 ... 1) Démontrer que f '(x) = 3x x ? 2.



[PDF] Monotonie

On dit qu'une fonction est croissante sur une partie I de DD(f ) ssi ?xy ? Ix ? y ? f (x) ? f (y) On s'intéresse surtout au cas o`u I est un intervalle 



[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +?[ Démonstration au programme : Vidéo https://youtu be/1EUTIClDac4



[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie



[PDF] Continuité et monotonie sur un intervalle - CPGE Brizeux

Corollaire 1 Si f : I ? R est une fonction définie et continue sur un intervalle I alors l'image directe f(I) de I par f est un intervalle Démonstration — 



[PDF] Étude globale dune fonction sur un intervalle

On dit que f est une fonction croissante sur l'intervalle I lorsque pour tout (a b) ? I2 a ? b =? f(a) ? f(b) On dit que f est une fonction 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I On dit que f est dérivable



[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle Soit f : D ? R une fonction et soit x0 ? D On dit que f est continue



[PDF] CH XI : Étude globale des fonctions réelles dune variable réelle

Donner son domaine de définition 3f et démontrer que f est paire Une fonction qui n'est pas croissante n'est pas forcément décroissante La



[PDF] Dérivation des fonctions

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I 



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes

7 nov 2014 · Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I Soit a un élément de I On dit que la fonction f est continue en a si 

  • Comment prouver qu'une fonction est croissante sur un intervalle ?

    On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ? y, on a aussi f (x) ? f (y). En langage plus formel, ? donne ?x,y ? DD(f ),x ? y ? f (x) ? f (y).

  • Comment déterminer une fonction croissante ?

    Si [a, b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l'intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a, b], si x1 < x2, alors f(x1) ? f(x2).

  • Comment voir si une fonction est croissante ou décroissante ?

    Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.
  • Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles ? ? ou + ? ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x ? a f ( a ) et lim x ? b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).

1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frFONCTIONS DE REFERENCE I. Rappels de la classe de seconde 1) Sens de variation d'une fonction Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors

(respectivement si a < b alors f(a)). - Dire que f est décroissante sur I (respectivement strictement décroissante sur I) signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors

f(a)≥f(b) (respectivement si a < b alors f(a)>f(b) ). - Dire que f est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : f(a)=f(b)

. - Dire que f est monotone sur I signifie que f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I Remarques : • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre. • On dit qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. • Une fonction constante sur I peut être considérée comme croissante et décroissante sur I. 2) Fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur

par f(x)=x 2 . Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Remarques : - La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3) Fonction inverse Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur

\{}0 par f(x)= 1 x . Propriété : La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement décroissante sur l'intervalle

0;+∞

. Remarques : - La courbe de la fonction inverse est appelée une hyperbole de centre O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport au centre du repère. Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction Vidéo https://youtu.be/TWbjEeiZXnw Démontrer que la fonction f définie sur

par f(x)=x 2 -8x+3 est strictement croissante sur l'intervalle

4;+∞

. Soit a et b deux nombres réels tels que : f(a)-f(b)=a 2 -8a+3-b 2 +8b-3 =a 2 -b 2 -8a+8b =a-b a+b -8a-b =a-b a+b-8 Comme a4 , on a : a+b>8 , soit : a+b-8>0

On en déduit que :

f(a)-f(b)<0 et donc : f(a)4;+∞

3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr II. Etude de la fonction racine carrée Vidéo https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4 Définition : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur

0;+∞

par f(x)=x . Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs tels que a < b. f(a)-f(b)=a-b= a-b a+b a+b a-b a+b <0 Donc f(a). III. Etude de la fonction valeur absolue Vidéo https://youtu.be/O61rmOdXg9I 1) Valeur absolue d'un nombre Exemples : - La valeur absolue de -5 est égale à 5. - La valeur absolue de 8 est égale à 8. Définition : La valeur absolue d'un nombre A est égal au nombre A si A est positif, et au nombre -A si A est négatif. La valeur absolue de A se note

A

4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frExemple :

x-5= x-5,six≥5 Propriétés : Soit x et y deux nombres réels. 1) x≥0 2) -x=x 3) x 2 =x

4) |x| = 0 équivaut à x = 0 5) |x| = |y| équivaut à x = y ou x = -y 6) |xy| = |x| x |y| 7)

x y x y pour y≠0 Exemples : 1) |-3| = 3 et |3| = 3 donc |-3| = |3|. 2) -5 2 =25=5 et -5=5 donc -5 2 =-5

2) Distance et valeur absolue Définition : Soit a et b deux nombres réels. Sur une droite graduée munie d'un repère

O,i

, la distance entre les points A et B d'abscisses respectives les nombres a et b est le nombre |a - b|. Ce nombre s'appelle aussi la distance entre les réels a et b et se note d(a ; b). Exemple : Calculer la distance entre les nombres -1,5 et 4. d(-1,5 ; 4) = |4 - (-1,5)| = 5,5 Propriété de l'inégalité triangulaire : Soit x et y deux nombres réels. On a :

Démonstration : Dans un repère

O,i

AO + OB, soit :

x--y , soit encore :

5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr3) Fonction valeur absolue Définition : La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur

par f(x)=x . Propriété : La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur l'intervalle -∞;0 et strictement croissante sur l'intervalle

0;+∞

. Eléments de démonstration : f(x)= -xsur-∞;0 xsur0;+∞

Sur chacun des intervalles

-∞;0 et

0;+∞

, la fonction f est une fonction affine. Représentation graphique : x -∞

0 +∞

x!x

0 Remarque : Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. IV. Positions relatives de courbes Propriété : - Si

, alors x 2 - Si x≥1 , alors 2 . Démonstration : Dans un repère O;i ;j , on appelle C f C g et C h les courbes représentatives respectives des fonctions f, g et h telles que : f(x)=x g(x)=x et h(x)=x 2 f(0)=g(0)=h(0)=0 et f(1)=g(1)=h(1)=1 . Les courbes C f C g et C h sont donc sécantes au point O et au point A(1 ; 1)

6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr- Si 0 < x < 1 : On a alors :

00 0 0 soit encore : 0 0 donc : 0Sur l'intervalle 0;1 , la courbe C g est strictement au dessus de la courbe C h et strictement en dessous de la courbe C f . - Si x > 1 : On a alors : 11×x x 0 soit encore : x 2 0 donc : xSur l'intervalle

1;+∞

, la courbe C g est strictement au dessus de la courbe C f et strictement en dessous de la courbe C h . Propriété : - Sur l'intervalle 0;1 , la droite d'équation y=x

est au dessus de la courbe de la fonction carré et en dessous de la courbe de la fonction racine carrée. - Sur l'intervalle

1;+∞

, les position de ces trois courbes sont inversées.

7 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Etudier la position de deux courbes Vidéo https://youtu.be/EyxP5HIfyF4 Soit f et g deux fonctions définies sur

par : f(x)=-x 2 +8x-11 et g(x)=x-1 . Etudier la position relative des courbes représentatives C f et C g . On va étudier le signe de la différence f(x)-g(x) f(x)-g(x)=-x 2 +8x-11-x+1=-x 2 +7x-10 . Le discriminant du trinôme -x 2 +7x-10 est Δ = 72 - 4 x (-1) x (-10) = 9 Le trinôme possède deux racines distinctes : x 1 -7-9

2×(-1)

=5 et x 2 -7+9

2×(-1)

=2 . On dresse le tableau de signes du trinôme -x 2 +7x-10 : x -∞

2 5 +∞

f(x)-g(x) - O + O - On conclut : La courbe C f est en dessous de la courbe C g pour tout x de -∞;2 ∪5;+∞ . La courbe C f est en dessus de la courbe C g pour tout x de 2;5

. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15