[PDF] LES SUITES c) la suite (un) est





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VARIATIONS DUNE FONCTION

On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction b) La fonction est croissante sur les intervalles [?4 ; 0] et [5 ; 7].



Monotonie

Fonctions strictement croissantes. On dit qu'une fonction f est strictement croissante ssi Donner un exemple de fonction décroissante non strictement.



LES SUITES

c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; f sur l'intervalle 0;+? . ... DÉMONTRER QU'UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE.



FONCTIONS DE REFERENCE

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle 0;+????? . Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs tels 





GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES

Par ce procédé Archimède donne naissance



Théorème de la bijection : exemples de rédaction

a) f(I) est un intervalle car image d'un intervalle par une fonction continue Montrer qu'il existe un unique ? ? ... tel que . . . ».



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. mettent cependant de vérifier qu'une fonction est (ou n'est pas) dérivable en un point.



Limites et continuité

Soit ]a b[ un intervalle ouvert



CONTINUITÉ

Si f '(x) ? 0 alors f est croissante sur I. La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle ??;2 ... 1) Démontrer que f '(x) = 3x x ? 2.



[PDF] Monotonie

On dit qu'une fonction est croissante sur une partie I de DD(f ) ssi ?xy ? Ix ? y ? f (x) ? f (y) On s'intéresse surtout au cas o`u I est un intervalle 



[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +?[ Démonstration au programme : Vidéo https://youtu be/1EUTIClDac4



[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I (respectivement strictement croissante sur I) signifie



[PDF] Continuité et monotonie sur un intervalle - CPGE Brizeux

Corollaire 1 Si f : I ? R est une fonction définie et continue sur un intervalle I alors l'image directe f(I) de I par f est un intervalle Démonstration — 



[PDF] Étude globale dune fonction sur un intervalle

On dit que f est une fonction croissante sur l'intervalle I lorsque pour tout (a b) ? I2 a ? b =? f(a) ? f(b) On dit que f est une fonction 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I On dit que f est dérivable



[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles

Pour que ceci ait un sens il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle Soit f : D ? R une fonction et soit x0 ? D On dit que f est continue



[PDF] CH XI : Étude globale des fonctions réelles dune variable réelle

Donner son domaine de définition 3f et démontrer que f est paire Une fonction qui n'est pas croissante n'est pas forcément décroissante La



[PDF] Dérivation des fonctions

On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I 



[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes

7 nov 2014 · Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I Soit a un élément de I On dit que la fonction f est continue en a si 

  • Comment prouver qu'une fonction est croissante sur un intervalle ?

    On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ? y, on a aussi f (x) ? f (y). En langage plus formel, ? donne ?x,y ? DD(f ),x ? y ? f (x) ? f (y).

  • Comment déterminer une fonction croissante ?

    Si [a, b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est croissante dans l'intervalle [a, b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a, b], si x1 < x2, alors f(x1) ? f(x2).

  • Comment voir si une fonction est croissante ou décroissante ?

    Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.
  • Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles ? ? ou + ? ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x ? a f ( a ) et lim x ? b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
C

HAPITRE

1

LES SUITES

1.1Généralités sur les suitesDé“nition 1.1.1

Une suite(u

n )est une fonction définie de?dans?.Onnote(u n n?-→u n ?u n est appelé le terme général de la suite(u n ?Attention donc à bien faire la différence entre(u n )(la suite) etu n (un seul terme). ?On pourra noter indifféremment(u n )ou tout simplementu. ?Variations, monotonie d"une suiteDé“nition 1.1.2

Soit(u

n )une suite. On dit que : a)la suite(u n )estcroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 b)la suite(u n )estdécroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 c)la suite(u n )estmonotonesi elle est croissante ou décroissante; d)la suite(u n )estconstantesi pour toutn??:u n+1 =u n ?Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes :u n =(-1) n

?Les premiers termes de la suite n"entrent pas forcément en compte dans la variation d"une suite. Ils

peuvent cependant donner une indication sur la monotonie de la suite.

CHAPITRE11

1 ?Méthodes de détermination du sens de variation d"une suite

MÉTHODE1. ... SENS DE VARIATION DUNE SUITE

Pour déterminer le sens de variation d"une suite(u n ), on peut utiliser l"une des règles suivantes : a)On étudie le signe de la différenceu n+1 -u n ?Siu n+1 -u n est positive, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 -u n est négative, alors la suite(u n )est décroissante. b)Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapportu n+1 u n

à1.

?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est décroissante. c)Si la suite(u n )est définie explicitement :u n =f(n), alors il suffit d"étudier les variations de la fonction fsur l"intervalle0;+∞.Lasuite(u n )et la fonctionfont le même sens de variation. d)On utilise un raisonnement par récurrence (voirsection 2).

Il est bien évident que chacune de ces méthodes est adaptée au type de suite à laquelle nous serons

confrontés.

Exemple

Déterminer le sens de variation des suites suivantes en utilisant la règle la mieux adaptée.

a)Pour toutn??,u n =n 2 -n. b)Pour toutn?? ,u n =2 n n. c)Pour toutn?2,u n =2n-1 n+1. a)Pour toutn??, u n+1 -u n =(n+1) 2 -(n+1)-(n 2 -n)=2n?0.

Par conséquent, la suite(u

n )est croissante. b)Ici on étudie le rapportu n+1 u n . Pour toutn?1 u n+1 u n =2 n+1 n+1 2 n n= 2 n+1 n+1×n2 n =2n n+1=n+nn+1?1.

Ainsi, la suite(u

n )est croissante. c)On au n =f(n)oùf(x)=2x-1 x+1.Lafonctionfest dérivable sur0;+∞et pour toutx?0,

2LES SUITES

2

Chapitre 1

f (x)=3 (x+1) 2 >0. La fonctionfest donc strictement croissante sur0;+∞. On déduit que la suite(u n )est aussi strictement croissante. ?Suite arithmétique

Dé“nition 1.1.3

Une suite(u

n n?? est arithmétique s"il existe un réelrindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =u n +r

Le nombrerest appelé la raison de la suite(u

n

Exemple 1

La suite(u

n )définie par :u 0 =2etu n+1 =u n +3(n??) est arithmétique. Ici la raison estr=3. MÉTHODE2. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE

Une suite(u

n

)est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante

est alors la raison de la suite.

Ainsi, si pour toutn??,u

n+1 -u n =r, alors la suite(u n )est arithmétique de raisonr.

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =4n-1. Montrer que(u n )est arithmétique.

Pour toutn??:

u n+1 -u n =4(n+1)-1-4n+1=4.

Par conséquent, la suite(u

n )est bien arithmétique de raisonr=4.

Propriété 1.1.4

A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 +nr; ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes:siSdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique,

alors :

S=(Nombre de termes)×

1 er terme+dernier terme 2

CHAPITRE13

3

Les suites

?Suite géométrique

Dé“nition 1.1.5

Une suite(u

n n?? est géométrique s"il existe un réelqindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =q.u n

Exemple 2

a)La suite(u n )définie par :u 0 =2etu n+1 =3u n pour toutn??.

Ici la raison estq=3.

b)La suite(v n )définie par :v 0 =-3etv n+1 =v n

4pour toutn??.

La suite(v

n )est-elle géométrique? MÉTHODE3. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE

Pour justifier qu"une suite(u

n )est géométrique, il suffit d"utiliser la définition suivante.

Une suite(u

n )est géométrique si l"on peut écrireu n+1 sous la forme :u n+1 =qu n . Le nombre réelqest alors la raison de la suite géométrique(u n

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =3 2 n .Montrerque(u n )est géométrique. On précisera le premier terme et la raison.

Pour toutn??,

u n+1 =3 2 n+1 =1

2×32

n =1 2u n

Par conséquent, la suite(u

n )est bien géométrique de raisonq=1 2. Une autre méthode (reposant aussi sur la définition) consiste à prouver que le rapportu n+1 u n est constant, mais il faut s"assurer que les termesu n ne s"annulent pas.

4LES SUITES

4

Chapitre 1

Propriété 1.1.6

Si(u n )est une suite géométrique de raisonq: A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 q n ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes: si

Sdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite géométrique de raisonq(q?=1), alors :

S=(1 er terme)×1-q nombre de termes 1-q

1.2Le raisonnement par récurrence

?Introduction et intérêt du raisonnement par récurrence

Exemple

Soit la suite(u

n )définie par : (uquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
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