Cours 1ère S PDF quantitatif discret lorsqu'il peut

Modèle mathématique.

continu. Exemples : Le nombre de frères et sœurs d'un élève de seconde est un caractère quantitatif discret. il peut prendre les valeurs 0 1

Statistiques descriptives et exercices

2 Étude d'une variable statistique discrète. 11. 2.1 Effectif partiel - effectif cumulé . 2.3.2 Distribution à caractère quantitatif discret .

Annexe 1 : Cas dun caractère quantitatif discret

Le diagramme en bâtons est la représentation graphique la plus utilisée pour représenter une série statistique dont l'étude porte sur un caractère

Annexe 1 : Cas dun caractère quantitatif discret

Traçons un diagramme en bâton des effectifs : Le diagramme en bâtons est la représentation graphique la plus utilisée pour représenter une série statistique

Statistiques descriptives

au lieu des notes.) • Caractère quantitatif : les valeurs prises par le caractère sont des nombres. ? Quantitatif discret : les valeurs sont isolées.

FICHE DE TD N°2 (Caractère Quantitatif Discret)

3) Calculer le nombre moyen d'animaux malades. 4) Déterminer la médiane de cette série statistique. 5) Déterminer les premier et troisième quartiles de cette

Cours 1ère S

quantitatif discret lorsqu'il peut prendre un nombre fini de valeurs numériques. Soit (x1...

Cours de statistique descriptive

? Exemple: Densité de population d'un département. ? Exemple : proportion des actifs chômeurs à une date donnée. Page 21. Caractère quantitatif discret ou.

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire

Statistique : le terme statistique désigne à la fois : les caractères quantitatifs discrets sont des caractères dont les différentes situations où ...

Corrigé TD n°1 [S1]

Statistique descriptive – Semestre 1. 2007/2008 Un caractère quantitatif discret quand l'observation peut être mesurée par un nombre « isolé ».

Chapitre6

Statistiques

6.1Intr oduction

LaSt atistique(l'étudededonnéesstatistiq ue)estrelativementrécente(b ienqu'ilexistede nombreusetraces,dansl'H istoire,delistesd'obje tsoudenombres)etfaitpartie desmathé matiques traitantlesévènemen tsaléatoire s.

ACOM PLETER

Quantàelle,l abo iteà"moustaches »aété inventéeparTuke yen1 977.

6.2Rap pels

Danscecha pitre, nousconsidèreronsuneséried enobservationsordonnées,notéesx 1 ,...,x n avecn∈N.

Voiciquelques motsdevocabulaireàconna itre.

Définition6.2.1.Unesé ried'observatio ns,ousériestatistique,sedéfinitàpartirdedeuxpara -

mètres:

1.Un epopulationqu iestl'ensembledes individus(ouobje ts)o bservés.

2.U ncaractè requiestlaqualitéétudiéedan slapopulation .

Remarque.Observonsquelecaractèreét udiépeut -êtred enaturediverses: •qualitatiflorsqu'iln'estpasnu mérique. •quantitatifdiscretlorsqu'ilpeut prendreunnombrefinidevaleursnumériques. •quantitatifcontinulorsqu'ilpeut prendreunnombreinfini deva leursréelles.

Exemple6.2.1.Supposonsquenousayonsuns ondageàdi sposi tion.Celui-ciaétéréaliséauprès

denpersonnes(composantlapopula tionétudiée)pourconnaîtreleurintentiondevoteausecond

tourd'une élection(ils'agit ducaractèreétudié).Lesr éponsespossible sdecesondagesont:"Oui»,

"Non»et"Nes eprononcepas»(ils'agitcaractèrequalitatif). 51

52CHAPITRE6.STATISTIQUES

Exemple6.2.2.Unp rofesseurreportelesnotesdesonder niercontrôlesursonord inateur.Pour chaquecopie(l'en sembledescopie scorrespondàlapopulation),ilaattrib uéu nen ote(correspon-

dantaucara ctèreé tudié)pouvantallerde0à20avecunpa sde0,25( ils'agitdonc d'uncaractère

quantitatifdiscret).

Danstoute lasuite,nousess ayeron sdedécrireuneséri estatistiqueàcaractèrequa ntita tifà

partirdecertainsi ndica teurs.Certainsd'entrese uxontdéjàétévu saucoll ègeouenclass ede

seconde.

6.3Des criptionparquantiles

Pourdécrir eunesériestatistique nousallon sdéterminerdesv aleursassociées:ils'ag itde quantileparticuliers. Nousallonsnousfocalisésurlamédianeainsiqu esurlepremiere tdernier quartilepermettantdeme surerladispersiondelasérieaut ourdes amédian e.

Définition6.3.1.Soit(x

1 ,...,x n )uneséri estatistiqueàcaractè requantitatif.Voiciladéfi nition dec ertainsquantiles. •Lamé dianeest:

1.la valeurcentralelorsquenestimpair.

2.l amoyennedesdeuxvaleu rscentra leslorsquenestpair.

Danstou slescas,nousno teronslamé dianeparMed.

•Leprem ierquartileQ 1 estlaplu spet itevaleurdela sérietelleque25%desvaleu rsdela sérieluisoien tinférieu resouégales. •Letroi sièmequartileQ 3 estlaplu spet itevaleurdela sérietelleque75%desvaleu rsdela sérieluisoien tinférieu resouégales.

Laq uantitéQ

3 -Q 1 estappelé "écartinterqua rti le»etcorrespondà50%dela population

étudiée.

Remarque.Rappelonsque"l'étendue»d' unesérie sta tistiquesestladifférenceentrela plusgrande

valeurdelasérie( sonmax imum) etlapluspetite( son minimum).Nou slanoteronse. Exemple6.3.1.Observonslasériestatisti quesui vante:

Longueur(enm)3739404142434448

Effectif43422452

Effectifcumulés 47111315192426

1.La longueur médianedeslancersdej avelotprésentésdansceta bleauestMed=41,5m.En

effet,l'effectiftotal estpair(iciN=26)donclamédianeestlamoyennedes13èmeet14ème longueurs;lesquellessontégalesà 41met42 m.

6.3.DESC RIPTIONPARQUANTILES53

2.Il estfaci lededéterm inerle1erquartile ,puisq ue

26
4 =6,5,Q 1 estla7èm elongu eur,à savoir:Q 1 =39m.

3.Ce quiperm etd'obteni rletroisièmequarti le:Q

3 estla2 0èmelon gueur,puisque

3×6,5=19,5,à sav oir:Q

3 =44m.

4.Enfi n,l'écartinterq uartilecorresponddonc à[39;44].

L'ensembledecesinformatio nsdonn eun epremièredescriptiondela série(x 1 ,...,x n ).El les sontrésumé esdanslareprésentation graphiquesui vante.

Définition6.3.2.Und iagrammedeTukey(aussiappelé "boîte àmoustache»)est unré sumé,

suruna xegrad ué,desqua ntilesdéfinisci-dessus.C ediagrammees tconstitu é •d'uneboîte(don tlahauteure stprisedemaniè rearbit raire)délimitéeparle1eret3ème quartiles.Cettemêmeboiteest ensuiteparta géeparlaméd iane. •de"m oust aches»quirelientlesquart iles auxvaleurse xtrêmesdel asérie . Unex empleestdonnéci-desso uscorres pondantauxnotes(s ur10)d'étudiants.

012345678910

Exemple6.3.2.Surle diagra mmeprécédent,nouslisonsdonc: •Lam édianeMedvaut5.Ainsi lamoit iédesélèvesonteu plusde lamo yenne. •Lepr emierquartileQ 1 vaut3etle tro isième quarti leQ 3 vaut6. •Lesv aleursextrêmesvalent1po urleminimumet8p ourlemaximum. Exemple6.3.3.Ile stsouvent utiledecomparerdesdia grammesdecegen repouré mettredes

hypothèses.Parexemple,imaginon squenousa yonsrelevé,àdifférentsintervall es(touteslesheures,

pendantquatrejours ),lestempératuresd ansuneforêt(ennoir)et dans unchamp (enbleu)p roche

54CHAPITRE6.STATISTIQUES

dece ttemêmeforêt.C esmesuresontdo nnélieuauxdiagrammessuivants.

1213141516171819202122232425262728

Quellesembleêtr el'influencedesarbr essurlatemp ératureàl'intérieurdelaforêt? •Cesdia grammesmontrentquelestempératu ressontbeaucoupplusdisp erséesdansles champs.Ilestpossib ledesu pposerqu elesarbrespermettentdemaintenirunetempérature plusstabl e. •Cesdia grammesmontrentaussiquelestem pératuressontglobalementplusbassesenforê t, iles tpossibleém ettrel'hypothèseque lesarbresaidentàconserverlafraîcheur.

6.4Desc riptionparmoyennes

Danscette section,nouspré sentonsuneautremanièred edécrireunes ériestatist ique.Plaçons

nousàprés en tdanslecadred'unesériest atisti que(x k ;n k ),k=1,...,l,r∈Noùl esvaleurs distinctesx 1 ,...,x l ontpoure ffectifrespecti fn 1 ,...,n l (oupour fréquencef 1 ,...,f r ).L' effectif totaldelasé rieest notéNoùN=n 1 +...+n l Définition6.4.1.Lamoye nnedelasériestatistiq ue(x k ;n k noté¯x)définipar:

¯x=

1 N l i=1 n i x i r i=1 f i x i

Exemple6.4.1.

Don(ene uros)1015203050Total

Effectif12171011555

C'estpourquoi ,ledonmoyen¯xestde2 1=

55
euros. Similairementaucasdelamédiane,lamoyennese ulen'es tqu'unoutil limiténetenantp as comptedeladispers ion.Po urpal iercemanque,nousdéfinissonsles quantitéss uivantes. Définition6.4.2..La varianc edelasériestatistique (x k ;n k définiepar V= 1 N l i=1 n i (¯x-x i 2 l i=1 f i (¯x-x i 2

6.5.COM PARAISONDESÉRIES55

Remarque.Observonsquelavarianceest simpleme ntlamo yennedesécartsà lam oyenne aucarré.

Autrementdit,lamoyennede s(¯x-x

i 2 racinecarréedelav ariancenotéeσ=

Vetap peléeécarttypedelas érie.

Exemple6.4.2.Commenousall onslevoirsur l'exemplesuivant, lavari ancepermetd'en apprendreplussurunes ériestatistiqu eetcomplè tel'informationapportéeparl amoyenne. Considéronslesdeuxsériesstatis tiquessui vantes: S 1 :{9;9;11;11}etS 2 :{1;1;19;19}. Cesdeu xsériesontla mêmemoyenne:10.Cal culonslav arianc eetl'écart-typedecesdeux séries:

1.P ourlapremiè resérieS

1 ,nousavons V 1

2(9-10)

2 +2(11-10) 2 4 =1et σ 1 V 1 =1

2.pou rladeuxiè mesérie S

2 ,nousobtenons V2=

2(1-10)

2 +2(19-10) 2 4 =81etσ 2 V 2 =9

6.5Compa raisondeséries

Lades criptiond'unesériepassesouven tparlechoixd'un paramètreditdepos ition(moye nne oumé diane)quidonneunepremière information. Cetteinformation,partielle,es tcomplétéepar unpar amètrededispersioncorresp ondan t(écartinterquartileouéca rttype ).Cecidonneuncou ple

depar amètresquioffreu nepremières ynthèsedesobservationset facil itelacomparaisondeséries.

Eneffet,

1.Le couple( Med;Q

3 -Q 1 etd elaconcen tratio ndelamoitiédesdonnéesautourdecettedernière(écartinterquantile). Iles tpeusensi bleauxval eursextrêmes.Enrevanche ,l'écartin terquartileneprendencompte quelam oitiéd elapopulationetpeu tnepas êtrer eprésentatif.

2.Le couple( m;σ)donneuneindicationdelatendancemoyennedelasérie(moyenne)etmesure

lec arrédesécartsàc ettederniè re(écarttype).Ile stt rèssensibleauxvaleurse xtrêmes.

Enrev anche,ils'avèretrèsefficacedans lecasdesériessy métriquesautourdelamoy enne (phénomènerencontréparexempl edanslessondages). Remarque.Commenousleve rrons,lacalc ulatr icepermetfacilementd'obtenircesdifférentesvaleurs associéesàunesériestatistiq ue.

6.6Bil an

•Déterminerlanatured'uneséri estati stique(population ,caractère...).

56CHAPITRE6.STATISTIQUES

•Déterminerlaboîteàmoustache corres pondantàunesér ies tatistique. •Savoircalculerlam oyenne,lavarianceetl'éc arttyp ed'unesériestatistique. •Comparerdeuxsériesetc ommenter.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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