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Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 2

Chapitre I

I.1 Détermination de la fonction Gamma

La fonction Gamma est très simple à déduire à partir de l"intégrale d"Euler: 01px .dxxe Cette intégrale est une fonction de paramètre p ; elle est représentée par le symbole )p(G et s"appelle la fonction Gamma.

L"intégrale d"Euler est une intégrale non propre, car la borne supérieure est infinie,

l"intégrale est égale à

1px- pour 0x= et par conséquent toutes les expressions sous intégrale

tendent vers zéro pour p<1. Considérons pour quelles valeurs de p l"intégrale peut exister. Pour cela, divisons l"intervalle d"intégration en trois parties: de zéro à a

1>0, de a1 à a2 et de a2 à l"infini. On aura:

1 2 1 2

1 1 1 1

0 0. a a x p x p x p x p a a e x dx e x dx e x dx e x dx Montrons que la dernière intégrale existe pour n"importe quelle valeur de p. a2b a2 1px- b1px dxxelimdxxe (Si la limite existe). On utilise pour montrer l"existence de la limite: 0e xlim x1p x= (qu"on peut facilement monter en appliquant plusieurs fois le théorème de l"Hôspital) et par conséquent, pour les grandes valeurs de x, par exemple, si

0xx>, la variable

x1pe x+ sera inférieure à e; si on pose1=e, ainsi pour 0xx>on a: 1e x x1p< et 2x1px 1 e x<-

Si on pose

02xa=, on aura:

Fonction Gamma et fonctions de Bessel

Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 3 21pxx

1xe<--.

et 22 2
b b - p-1 2

2 21 1 1 1e x.

b x a a adxdxx x a b a< = - = - <∫ ∫

Étant donné que e

-x xp-1 > 0, avec la croissance de b, ∫ --b a 1p 2x dxxe augmente. Donc:

¥®b

a 1px b 2 dxxelim existe .p"

Considérons l"intégrale

1

01∫

--a pxdxxe pour1p<. Pour ;1e,0xx®®- et la fonction sous intégrale sera de l"ordre

1px- pour0x®, et ∫

1 01 a p dxx existera pour les mêmes valeurs de p pour lesquelles existe l"intégrale 1a 0 1px dxxe .

Cependant:

).a(limp1pxlimdxxlimdxxpp 10a ap 0 1p 0a 0 1p 111
e-====

®ee

e®e-

®e-

On peut remarquer que: si

0,0pp®e> et l"intégrale existera; si ¥®e et l"intégrale existera. Si

0=p, on aura:

®®-a1

0a1 1

001,lim/lim

eeee axLnxdxdxx c"est-à-dire que l"intégrale n"existe pas. Donc, 01px dxxe existe pour p>0. Par conséquent pour p>0, on a : Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 4 =G 01px .dxxe)p( (I.1)

A titre d"exemple calculons

)1(G et )2(G: =-==G 00x0x ;1edxxe)1( =G

012/1x

.dxxe)2/1(

Posons .zx;dxx2/1dz;zx22/12/1===- Donc:

=G 0z .dze2)2/1( 2

Pour calculer cette intégrale posons:

dzeA 0z

2∫

On peut écrire que:

.dteA 0t

2∫

= Prenons ∫ ∫

0 0tz2

.dte.dzeA 22

Le facteur

dzez2- est une constante qu"on peut inclure dans l"intégrale. Donc:

0 0)tz(2

.dtdzeA 22
Le calcul est plus simple à réaliser si l"on utilise les coordonnées polaires. ret j (fig I.1). On connaît que : p = ()tz

22+et l"élément de surface est égale à rd pdj.

Donc :

.221,2; 421

21;2²,21

2 0 02 0 22
0 002 0 2 2 ppp jjrrrjj pppp

G===-=-=-=-==

AAdedAdduuoùdudedeedA

uu p e Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 5 Le calcul réalisé ci-dessus montre, que le calcul de ( )"Gpp par l"intégrale d"Euler est compliqué.

Fig I.1

I.2 Propriétés de la fonction Gamma

Propriété 1.

( ) ( ).pp1pG=+G (I.2)

Exemple

7 4 4 4 4 11 13 3 3 3 3 3

G = G + = G = G +              

Démonstration : représentons

( )1+Gp par l"intégrale d"Euler et intégrons par parties : +-==+G 01px 0xpp 0x ,dxxepexdxxe1p où .ev,dxedv;dxpxdu,xu xx1pp Or

0exlimexlimxp

x xp x==

Par conséquent :

( ) ( ).ppdxxep1p1p

0xG==+G-¥

Corollaire 1.

Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 6 Si p est nombre entier, on a ()().!1pp-=G Ainsi, on a : ( ) ( ) ( ) ( )!.1p11.2...2p1p....2p2p1p1p1pp -=G-=-== =-G--=-G-=G Donc, de ce corollaire, on peut remarquer comment la fonction gamma croit rapidement : ==G==G==G==G=G==G=G ==G==G=G La fonction gamma peut être utilisée pour réduire la représentation du produit

()()()()1 ... 2 1 ,m p m p p p p+ - + + + où m- entier et.1p0〈〈.. Si l"on ajoute (),pG on obtient

()1pm++G, d"où l"on peut écrire : (m + p) (m -1 + p) ... (1+ p) p= (p) 1)+ m + (p G G.

Corollaire 2.

Détermination de la fonction gamma pour les valeurs négatives et non entières de p. Soit p donné sur l"intervalle ()0,1-. Donc p+1 sera trouvé sur l"intervalle (0, 1) et ()1p+G peut être calculé par la formule d"Euler (I.1).

Posons :

( )p)1p(p +G=Gpour 0p1〈〈- (I.3) Pour p = -1, la formule donne l"infini, et donc : ()¥=G=+0et01p

Par conséquent

()1-G n"existe pas.

La transition d"un intervalle à un autre

()()()...etc2,3,1,2.0,1-----, peut être

déterminée par la formule (I.3). La fonction gamma n"existe pas pour les p négatifs entiers.

Exemple :

.32 49
3 1 3432
3 431
3

4

G= G -G -G Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 7

La valeur de 

G32 est trouvée à partir de la table. Propriété 2 : ( )( )( ) ( )np...2p1ppn!nlimP p n +++=G¥® . Cette formule est utilisée pour le calcul approximatif de la fonction gamma. Pour la démonstration, considérons la fonction : ( ).dxxnx1p,nf1pn 0n

On peut facilement voir que :

()()pp,nflimnG=¥®. Evidemment : ( ).pdxxedxxnx1limdxxnx1limp,nflim1p 0x1pn 0x xn n1p n 0n nnG== D"une autre part, en intégrant par parties, on obtient pour f (n, p) une expression sous la forme :

111,)1(111,11

0 10 1 0 pxvdxxdvdx nnxndunxuoùdxxnx pp x nxdxxnxpnf p pnnp n nn pn pn n

On obtient l"expression :

( )dxxnx1p1p,nf n 0p 1n Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 8 En l"intégrant par parties encore une fois en posant : 1

1 , v .

n pxu d x dxn d"où du

1pxv;dxnx1n1n

1p2n

On obtient :

n,p=1 p 1 -x n x p + 1n

0+ n - 1

n p + 1 1 -x n xdx nn - 1 n pp + 1 x1 -x n xdx Ou encore après intégration par parties n fois, on obtient : 1 0

01 2 ... 1,11 2 .... 1

.1 2 ... 1

1 ... 1 ...n nn

n p n n p n n n p p nn n n n nxf n px dxnn p p p p n n x n p p p p n n p n n n n n p p p n p p p n

Par conséquent :

( )( ) ( ).np....1pp!nnlimp p n ++=G¥® Propriété 3. Dérivée du logarithme de la fonction gamma.

Trouvons la formule pour :

1ln 1 :1

1 lim ;1 ...

1 lim ln ln ! ln 1 .... ln ;

11 1lim ln ... .1 1

p n n n ppp n n p p p pp p p n

In p p n n p p n

p np p p n

¢G +¢ G + = G +

G + = G =

G + = + - + - - + ¢G + = - - - G + + + 

En posant p = 0,

Chapitre I Fonctions Gamma et fonctions de Bessel 9 .n1...211nlnlim)1()1( n +++-=GG La partie gauche de cette égalité est égale approximativement à -0,57721... La grandeur 0,57721... s"appelle la constante C d"Euler.

Par conséquent :

1 1lim ln 1 ... .2nn Cn®¥

Donc, on peut écrire :

1 1 ( 1) 1 1 1 1lim ln 1 ... ...( 1) 2 3

1 1 1 1

1 ... ] lim ln2 3

1 1 1 1 11 ... .2 3

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