[PDF] [PDF] Prépa Agrég écrit dAnalyse avril 2004 Fonctions de Bessel Les

View - Download [PDF] Prépa Agrég écrit dAnalyse avril 2004 Fonctions de Bessel Les

Previous PDF

Next PDF

Fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel peuvent servir µa illustrer un grand nombre des thµemes qui

1. La fonction de BesselJ0

0essaie de montrer pourquoi les

8(x;y)2R2; f(x;y) =eiy:

et faisons subir µa la fonctionfune rotation (d'angle¡®) pour obtenir la fonctionf®

8M2R2; f®(M) =f(R®M)

oµu R

8(x;y)2R2; f®(x;y) =ei(xsin®+ycos®):

F = Z 2¼ 0 f

®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;F(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)d®

2¼.

r=p x y=rsinµ, on a

F(x;y) =Z

2¼ 0 eir(cosµsin®+sinµcos®)d®

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)d¯

2¼= J0(r);

J

0(r) =Z

2¼ 0 eirsinudu

2¼.

1

8r >0;J000(r) +1

r

J00(r) =¡J0(r):

surRpar

8t2R;J0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ

2¼.

Nous venons d'expliquer que J

de paramµetre 0, (B

0)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) +t2y(t) = 0:

0 e itsinµ= exp¡(t=2)(eiµ¡e¡iµ)¢= exp¡seiµ¢exp¡

¡seiµ¢

= exp

¡seiµ¢

exp

¡¡seiµ¢;

de sorte que J

0(t) appara^³t comme le produit scalaire dans L2(0;2¼) des deux fonctions

µ!exp(seiµ) etµ!exp(¡seiµ),

J

0(t) =Z

2¼ 0 eitsinµdµ D +1X k=0s k k!eikµ;+1X k=0(¡s)k k!eikµi=+1X k=0(t=2)k k!(¡t=2)k k!=+1X k=0(¡1)kt2k 4 k(k!)2. rayon de convergence in¯ni (on pourrait facilement calculer ce rayon avec les critµeres sur le plan complexeCtout entier.

Vibrations d'un tambour

D, nulles

des ondes sous la forme

8(x;y)2D;8t¸0; u(x;y;t) =g(x;y) cos(¹t):

2u @t

2= ¢u;

2 oµu le laplacien est pris dans les variables d'espace (x;y). On verra plus loin que la fonction J et introduisons une fonctiongsurR2en posant

8(x;y)2R2; g(x;y) = F(¹x;¹y) = J0(¹r):

(¢g)(x;y) =¹2(¢F)(¹x;¹y) =¡¹2g(x;y); ce qui montre que ¢g=¡¹2g. On trouve unhhmode propreiide vibration pour chaque sont de la forme u k(x;y;t) = J0(¹0;kr) cos(¹0;kt); r=p x 2+y2: tambour, qui est l'analogue du cas oµu une corde de guitare ou de violon vibre en un seul fuseau. En e®et, J

0est>0 sur [0;¹0;0[; la solutionu0ci-dessus est donc>0 µa l'instant

2. Les autres fonctions de Bessel

F n=Z 2¼ 0 f

®e¡in®d®

2¼,

c'est-µa-dire

8(x;y)2R2;Fn(x;y) =Z

2¼ 0 ei(xsin®+ycos®)¡in®d®

2¼.

n=¡Fn. La fonction F nn'est plus une fonction radiale : si on posex=rcosµ,y=rsinµ, on a F n(x;y) =Z 2¼ 0

2¼=Z

2¼ 0 eirsin(µ+®)¡in®d® 2¼ =Z 2¼ 0 eirsin(¯)¡in(¯¡µ)d¯

2¼=einµJn(r);

8t2R;Jn(t) =Z

2¼ 0 eitsinue¡inudu

2¼.

d 2 dr 2+1 r d dr +1 r 2d 2 dµ 2 J

00n(r) +1

r

J0n(r)¡n2

r

2Jn(r) =¡Jn(r):

3

Nous trouvons ainsi que J

paramµetren, (B n)8t2R; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0: analogue µa ce qu'on a fait pour J

0: il su±t d'y translater denpas vers la droite le

8t2R;Jn(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+n k!(k+n)!. On voit µa nouveau que le rayon de convergence est in¯ni. On note que J n(0) = 0 pour nobtenue en exprimant (k+n)! comme ¡(k+n+ 1),

8t >0;Jº(t) =+1X

k=0(¡1)k(t=2)2k+º k!¡(k+º+ 1). fonction J ºest solution det2y00+ty0+ (t2¡º2)y= 0 sur (0;+1). Ainsi, Jºet J¡º pournentier<0 on a Jn= (¡1)nJ¡n; les fonctions Jºpermettent aussi de trouver une n). Par exemple, dans le casn= 0, on prendra Y

0= limº!0J

º¡J0

de Bessel BY intervalle.

¡tJ0(t)2'0(t)¢0= 0:

multiples de J 0. 4 L

8x2(0;1];(Tf)(x) = ln(x)Z

x 0 f(t)tdt+Z 1 x ln(t)f(t)tdt: Montrer que T est hermitien, Hilbert-Schmidt, µa image dense donc injectif; montrer que 0). forment, aprµes normalisation, une base hilbertienne de L

2([0;1];¹).

Problµeme de Dirichlet, suite

g(x;y) = Fn(¹x;¹y) = Jn(¹r)einµ de fonctions propres pour le problµeme de Dirichlet dans H J

On remarque que J

j n(s) =+1X k=0(¡1)ksk 2

2k+nk!(k+n)!,

donc F n(x;y) =jn(x2+y2)rneinµ=jn(x2+y2)(x+iy)n 5

8µ;eitsin(µ)=X

n2ZJ n(t)einµ:

G(u;t) = exp³t

2 u¡1 u

G(u;t) =X

n2Za n(t)un

8u2Cn f0g;8t2R;exp³t

2 u¡1 u =X n2ZJ n(t)un: J n(t) =1

2i¼Z

°(½)G(u;t)

u ndu u avec la fonction entiµere J njJn(t)j ·maxfjG(u;t)j:juj=½g: t2C, toutn2Z, R jnjjJn(t)j ·maxfjG(u;t)j: 1=R· juj ·Rg:

Quanduest dans cette couronne, le module de1

2 jG(u;t)j ·eRjtj; on obtient pour toust2C,n2Zet R>1 jJn(t)j ·R¡jnjeRjtj:

8u2Cn f0g;8t2C;exp³t

2 u¡1 u =X n2ZJ n(t)un: 6 g(u;t) =1 2 u¡1 u exp³t 2 u¡1 u

Pbn(t)un; les arguments de

jbn(t)j ·R¡jnjReRjtj t. Ces lignes justi¯ent beaucoup des calculshhformelsiiqu'on peut faire sur la fonction Exercice(facile). Montrer que 2J0n= Jn¡1¡Jn+1. de la fonction ch(t) : elle est paire, croissante sur [0;+1[, tend vers l'in¯ni plus vite que

Exercice.Montrer que pour tout entiern¸0, on a

tJn+1(t) =nJn(t)¡tJ0n(t): coe±cients entierstels que t kJn+k(t) = A(t)Jn(t) +tB(t)J0n(t): J

3. Comportement µa l'in¯ni des fonctions de Bessel

3.1.

Voir Chatterji volume 3, sections 2.6 et 2.7.

On suppose quenest un entier¸0 et queyest solution sur l'intervalle ouvert (B n)8t >0; t2y00(t) +ty0(t) + (t2¡n2)y(t) = 0:

Si on posez(t) =p

(1)z00(t) +³

1¡n2¡1=4

t 2´ z(t) = 0: q(t) = 1¡n2¡1=4 t 2 section. 7 n, qui est {µa un multiple prµes{ quandt!0. tinue sur un intervalle ouvert I½R, six00(t)+q(t)x(t) = 0 pour toutt2I, et si la fonction xn'est pas identiquement nulle sur I, on voit que le vecteur X(t) = (x0(t);x(t))2R2 n'est jamais nul. En e®et, l'ensemble

A =ft2I :x(t) =x0(t) = 0g

q

1etq2surItelles que

q

1·q2;

8t2I; x001(t) +q1(t)x1(t) = 0; x002(t) +q2(t)x2(t) = 0:

Six2ne s'annule pas surIet six1n'est pas identiquement nulle surI, alorsx1possµede la fonctionx2(t) =etest une solution dex00¡x= 0 qui ne s'annule pas surR; la solution x b= infft > a:x1(t) = 0g l'intervalle ouvert (a;b). Elle y a donc un signe constant, par exemplex1>0 sur (a;b). x

01(a) = limh!0;h>0h¡1¡x1(a+h)¡x1(a)¢= limh!0;h>0h¡1x1(a+h)¸0;

garde un signe constant sur (a;b)½I, par exemplex2>0. L'outil de la preuve est le wronskien

W(t) =x01(t)x2(t)¡x1(t)x02(t);

X

1(t) = (x01(t);x1(t)) et X2(t) = (x02(t);x2(t)); en tout pointt0oµux1(t0) = 0, on a

W(t0) =x01(t0)x2(t0). Ainsi

W(a) =x01(a)x2(a)>0;W(b) =x01(b)x2(b)<0:

8

Mais par ailleurs on voit que

8t2(a;b);W0(t) =x001(t)x2(t)¡x1(t)x002(t) = (q2(t)¡q1(t))x1(t)x2(t)¸0;

ce qui contredit le fait que W(b)Corollaire.Soit(a(n)

0< a(n)

k< a(n) k+1etnentier¸0; sin= 0, on aa(n) k+1¡a(n) k< ¼pour toutket sin >0, on aa(n) k+1¡a(n) k> ¼. On a de plus pour toutn¸0, lim k!+1¡a(n) k+1¡a(n) k¢=¼:

0, et posonsak=a(0)

kpour simpli¯er; si z(t) =p tJ0(t), on a z

00(t) +³

1 +1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] introduction ? la microéconomie varian pdf

[PDF] cours microeconomie 1 pdf

[PDF] cours de microéconomie licence 1 pdf

[PDF] corrélation multiple

[PDF] correlation multiple r

[PDF] exercice fonction cout de production

[PDF] corrélation multiple définition

[PDF] corrélation multiple spss

[PDF] coefficient de détermination multiple excel

[PDF] definition fonction de cout total

[PDF] corrélation entre plusieurs variables excel

[PDF] corrélation multiple excel

[PDF] fonction de cout marginal

[PDF] régression multiple excel

[PDF] cours microeconomie