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Les fonctions de Bessel

fonction déterm inée la fonction de Bessel d'ordre 0



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FONCTIONS IMPORTANTES — — — — — - ƒ — —? — — —?-

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B Jekowsky [1] a donne la definition suivante: La fonction de Bessel modifiee de premiere espese d'ordre k entier de n variables est Ie coefficient

:

Annexes

Yves Jannot 117

A.2.5 : Equations et fonctions de Bessel

Equations particulières de Bessel et leurs solutions

0ymxy'y"

2 =++ ⇒ ()45mxYkxmJky 0201
()0ynxy'xy"x 222
=-++ ⇒ ()45entier)(nxYkxJky n2n1

0ymxy'y"

2 =-+ ⇒ ()45xmKkxmIky 0201
()0ynxy'xy"x 222
=+-+ ⇒ ()45xKkxIky n2n1

Jn Fonction de Bessel de 1

ère

espèce non modifiée d"ordre n I n

Fonction de Bessel de 1ère

espèce modifiée d"ordre n Y n

Fonction de Bessel de 2

ème

espèce non modifiée d"ordre n K n

Fonction de Bessel de 2

ème

espèce modifiée d"ordre n. (cf. Özisik pour la définition des fonctions de Bessel). Principales propriétés des fonctions de Bessel

Récurrence

() ()45uJun2uJuJ n1n1n () ()45uYun2uYuY n1n1n () ()45uIun2uIuI n1n1n () ()45uKun2uKuK n1n1n

Dérivée

() ()45 4545uJunuJuJunuJuJ n1nn1n'n () ()45 4545uYunuYuJunuYuY n1nn1n'n () ()45 4545uIunuIuI un uIuIn1nn1n' n () ()45 4545uKunu-KuKunu-KuK n1nn1n'n

Limites des fonctions de Bessel d'ordre 0 et 1

Si u → 0 :

J 0 (u) → 1 J 1 (u) → 0 Y 0 (u) → -∞ Y 1 (u) → -∞ I 0 (u) → 1 I 1 (u) → 0 K

0(u) → +∞ K

1 (u) → +∞

Si u → ∞

J 0 (u) → 0 J 1 (u) → 0 Y 0 (u) → 0 Y 1 (u) → 0 I 0 (u) → +∞ I 1 (u) → +∞ K 0 (u) → 0 K 1 (u) → 0 Comportement asymptotique des fonctions de Bessel d'ordre 0 et 1

Si u → 0 :

J 0 (u) → 1 J 1 (u) → u/2 Y0 (u) → (2/π) ln(u) Y 1 (u) → 2/πu I 0 (u) → 1 I 1 (u) → u/2 K 0 (u) → -ln(u) K 1 (u) → 1/x

Si u → ∞

J 0

π-π4ucosu2 J

1

π--π42

u ucos u2 Y 0

π--π42uusinu2

Y 1

π-π4usinu2 I0

(u), I 1 (u) → ()uexpu2π K 0 (u), K 1 (u) → ()uexpu2-πquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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