FICHE n°4 Diviseurs dun nombre entier et PGCD Diviseurs dun
Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres entiers est appelé le PGCD de ces nombres. Exemple. ? 9 est un diviseur commun à 36 et 54 car 36 = 9 × 4 et 54 =
SEQUENCE 1 : NOMBRES ENTIERS et RATIONNELS OBJECTIFS :
Exemple : Établir la liste de tous les diviseurs de 36. Exemple : 36 = 3 × 12 et 24 = 2 × 12 donc 12 est un diviseur commun et 24 et 36 ne.
Multiples et diviseurs des nombres dusage courant n°4
N°11 Recopie et complète avec les diviseurs manquants. a) 5 x 9 = 45 b) 7 x 8 =56 c) 9 x 4 =36 d) 10 x 7 = 70 e) 9 x 6 = 54. Continue.
n°4 page 36 a) 7 est un diviseur de 14. b) 45 est un multiple de 15. c
e) 1 est un diviseur de tous les nombres entiers car n = 1×n pour tout nombre entier n. donc les diviseurs de 36 sont 1 2
Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier daide
3 Un garçon de café doit répartir 36 croissants et 24 pains au chocolat dans des 3 Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 36 ; 2 ; 18 ; 3 ; 12 ; 4 ; 9 et 6.
CM1 Mathématiques Connaître les multiples et les diviseurs des
Un multiple est un nombre qui est le résultat d'une multiplication. Par exemple : 36 = 9 x 4. ? 36 est donc un multiple de 9 et aussi un multiple de 4.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
36 = 4 x 9 36 = 4 x 9
Leçon 10 : Multiples et diviseurs. 36 = 4 x 9. 36 est multiple de 4 car on trouve 36 en multipliant 4 par un autre nombre. 36 est aussi multiple de 9.
PEI Math 1 Module 2 / Feuille nOl/page l
36 12. 0. On sait que le PGCD obtenu par l'algorithme d'Euclide
Leçon 7 : Le plus petit commun multiple (ppcm) et le plus grand
Exemple : 36 est divisible par 4 donc 4 est diviseur de 36. Méthode pour trouver les diviseurs d'un entier naturel. Exemple l: Trouer les diviseurs de 36.
[PDF] MULTIPLES DIVISEURS NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
1) 36 est un multiple de 12 2) 28 est un multiple de 8 3) 6 est un diviseur de 54 4) 7 est un diviseur de 24 Correction 1) VRAI : 36 est un multiple de
[PDF] n°4 page 36 a) 7 est un diviseur de 14 b) 45 est un multiple de 15 c
15 donc 13 et 15 sont des diviseurs de 195 N°41 page 16 a) 132 est un multiple de 11 : 132 = 11×12 b) 36 divise 252 : 252 = 36×7 c) 25 035 est divisible
[PDF] Connaître les multiples et les diviseurs des nombres dusage courant
Un multiple est un nombre qui est le résultat d'une multiplication Par exemple : 36 = 9 x 4 ? 36 est donc un multiple de 9 et aussi un multiple de 4
[PDF] FICHE n°4 Diviseurs dun nombre entier et PGCD - Prof Launay
Les diviseurs de 36 sont : Les diviseurs de 54 sont : Donc les diviseurs communs à 36 et 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18 ? Le PGCD de
[PDF] Multiples et diviseurs Exercices Calcul Cycle3
6 – 8 – 10 – 16 – 28 – 36 – 49 7 Entoure les multiples de 9 18 – 21 – 40 – 54 – 63 – 70 – 99 8 Colorie les bonnes cases Quels sont les diviseurs de 12
[PDF] 36 = 4 x 9 - Edukely
Leçon 10 : Multiples et diviseurs 36 = 4 x 9 36 est multiple de 4 car on trouve 36 en multipliant 4 par un autre nombre 36 est aussi multiple de 9
[PDF] Leçon 10 : Multiples et diviseurs - Edukely
36 est multiple de 4 car on trouve 36 en multipliant 4 par un autre nombre 36 est aussi multiple de 9 On a aussi : 9 est un diviseur de 36 car 36 : 9 = 4
[PDF] Chapitre 1 ARITHMÉTIQUE
Les diviseurs de 72 sont : 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72 a Donner la liste des diviseurs communs de 48 et 72 b En déduire le PGCD de 48 et 72
[PDF] 1ENSEMBLES ENSEMBLES DE MULTIPLES DE DIVISEURS
Div36 ? Div54 est l'ensemble des diviseurs communs de 36 et 54 Le plus grand de ces diviseurs est 18 On exprime ce fait en disant que 18 est le plus grand
[PDF] CHAPITRE : NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
Le plus grand diviseur commun à a et b est appelé le PGCD de a et b Plus Grand Commun Diviseur On le note PGCD(a ; b) Exemple : PGCD de 24 et 36
Quel sont les diviseurs de 36 ?
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.Quelles sont les multiples de 36 ?
? 1 x 36 = 36, donc 1 et 36 sont des multiples de 36 ? 2 x 18 = 36, donc 2 et 18 sont des multiples de 36 ? 3 x 12 = 36, donc 3 et 12 sont des multiples de 36 ? 4 x 9 = 36, donc 4 et 9 sont des multiples de 36 ? 36 n'est pas dans la table de 5, donc 5 n'est pas un multiple de 36 ? 6 x 6 = 36, donc 6 est un multiple deQuel est le plus grand diviseur commun de 36 ?
Les diviseurs de 36 sont : Les diviseurs de 54 sont : Donc les diviseurs communs à 36 et 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. ? Le PGCD de 36 et 54 est donc 18.
1 PGCD ET NOMBRES PREMIERS
I. PGCD de deux entiers
1) Définition et propriétés
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/sC2iPY27Ym0
Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 Le plus grand diviseur commun à 60 et 100 est 20. On le nomme le PGCD de 60 et 100.Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle PGCD de a et b le plus grand commun diviseur de a et b et note
PGCD(a;b).
Remarque :
On peut étendre cette définition à des entiers relatifs. Ainsi dans le cas d'entiers négatifs, la recherche du PGCD se ramène au cas positif.Par exemple, PGCD(-60;100) = PGCD(60,100).
On a ainsi de façon général : .
Propriétés : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. a) PGCD(a ; 0) = a b) PGCD(a ; 1) = 1 c) Si b divise a alors PGCD(a ; b) = bDémonstration de c :
Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. Donc le plus grand diviseur de b est un diviseur de a.2) Algorithme d'Euclide
C'est avec Euclide d'Alexandrie (-320? ; -260?), que le s théori es sur les nombres premiers se mettent en place. Dans " Les éléments » (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions, des propriétés et démontre cert aines affirma tions du passé, comme l'existence d'une infinité de nombres premiers. " Le s nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres premiers ». Il présente aussi la décomposition en facteurs premiers liée à la notion de PGCD.PGCDa;b
=PGCDa;b 2 Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r est le reste de la division euclidienne de a par b.On a : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)
Démonstration :
On note respectivement q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Si D un diviseur de b et r alors D divise a = bq + r et donc D est un diviseur de a et b. Réciproquement, si D un diviseur de a et b alors D divise r = a - bq et donc D est un diviseur de b et r. On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de b et r. Et donc en particulier, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r). Méthode : Recherche de PGCD par l'algorithme d'EuclideVidéo https://youtu.be/npG_apkI18o
Déterminer le PGCD de 252 et 360.
On applique l'algorithme d'Euclide :
360 = 252 x 1 + 108
252 = 108 x 2 + 36
108 = 36 x 3 + 0
Le dernier reste non nul est 36 donc PGCD(252 ; 360) = 36. En effet, d'après la propriété précédente : PGCD(252 ; 360) = PGCD(252 ; 108) = PGCD(108 ; 36) = PGCD(36 ; 0) = 36 Il est possible de vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice :Avec une TI 84 :
Touche "MATH" puis menu "NUM" :
Avec une Casio 35+ :
Touche "OPTION" puis "ð" (=touche F6).
Choisir "Num" puis "ð".
Et choisir "GCD".
TPinfosurtableur:L'algorithmed'Euclide
3 Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls. L'ensemble des diviseurs communs de a et b est l'ensemble des diviseurs de leur PGCD.Démonstration :
On a démontré précédemment que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de b et r. En poursuivant par divisions euclidiennes successives, on obtient une liste strictement décroissante de restes En effet, on a successivement : Il n'existe qu'un nombre fini d'entiers compris entre 0 et r.Il existe donc un rang k tel que et .
Ainsi l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de r k et 0. A noter qu'à ce niveau ce résultat démontre le fait que dans l'algorithme d'Euclide, le dernier reste non nul est égal au PGCD de a et b. En effet, PGCD(r k ; 0) = r k On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs de r kExemple :
Vidéo https://youtu.be/leI0FUKjEcs
Chercher les diviseurs communs de 2730 et 5610 revient à chercher les diviseurs dequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] multiple de 18
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