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Enoncés : Stephan de Bièvre

Corrections : Johannes HuebschmannExo7

Dérivées partielles: Révisions

Exercice 1

Soitf:R2!Rla fonction définie parf(x;y) = (x2+y2)xpour(x;y)6= (0;0)etf(0;0) =1. 1.

La fonction fest-elle continue en(0;0)?

2. Déterminer les déri véespartielles de fen un point quelconque distinct de l"origine. 3. La fonction fadmet-elle des dérivées partielles par rapport àx, àyen(0;0)?

Soitf:R2!Rla fonction définie par

f(x;y) =x2y+3y3x

2+y2pour(x;y)6= (0;0);

f(0;0) =0: 1. La fonction fest-elle continue en(0;0)? Justifier la réponse. 2.

La fonction fadmet-elle des dérivées partielles par rapport àx, àyen(0;0)? Donner la ou les valeurs le

cas échéant et justifier la réponse. 3. La fonction fest-elle différentiable en(0;0)? Justifier la réponse. 4. Déterminer les déri véespartielles de fen un point(x0;y0)6= (0;0). 5. Déterminer l"équation du plan tangent au graphe de fau point(1;1;2). 6.

Soit F:R2!R2la fonction définie parF(x;y) = (f(x;y);f(y;x)). Déterminer la matrice jacobienne de

Fau point(1;1). La fonctionFadmet-elle une réciproque locale au voisinage du point(2;2)? Soitf:R3!Rune fonction de classeC1et soitg:R3!Rla fonction définie par g(x;y;z) =f(xy;yz;zx):

Montrer que

On considère les fonctionsf:R2!R3etg:R3!Rdéfinies par f(x;y) = (sin(xy);ycosx;xysin(xy)exp(y2));g(u;v;w) =uvw: 1

1.Calculer e xplicitementgf.

2. En utilisant l"e xpressiontrouvée en (1), calculer les déri véespartielles de gf. 3. Déterminer les matrices jacobiennes Jf(x;y)etJg(u;v;w)defet deg. 4. Retrouv erle résultat sous (2.) en utilisant un produit approprié de matrices jacobiennes.

Indication pourl"exer cice1 N1.Utiliser les coordonnées polaires (r;j)dans le plan et le fait que limr!0r>0rlogr=0.Indication pourl"exer cice2 N1.Pour réfuter la dif férentiabilitéde fen(0;0), il suffit de trouver une dérivée directionnelle qui n"est pas

combinaison linéaire des dérivées partielles (par rapport aux deux variables). 2. Le plan tangent au point (x0;y0;f(x0;y0))du graphez=f(x;y)deFest donnée par l"équation

Indication pour

l"exer cice

4 NÉcriref(x;y) = (sin(xy);ycosx;xysin(xy)exp(y2)) = (u;v;w).3

Correction del"exer cice1 N1.f(x;y) = (x2+y2)x=exlog(x2+y2)=e2rcosjlogr. Puisque cosjest borné, limr!0r>02rcosjlogr=0 d"où

lim (x;y)!(0;0) (x;y)6=(0;0)f(x;y) =elim r!0r>02rcosjlogr =e0=1; car la fonction exponentielle est continue. 2. Dans R2nf(0;0)gles dérivées partielles par rapport aux variablesxetyse calculent ainsi: ln(x2+y2)+2x2x 2+y2 (x2+y2)x 2+y2 (x2+y2)x 3.

Pour que la déri véepartielle

lim x!0x6=0f(x;0)1x =limx!0x6=0(x2)x1x =limx!0x>0e

2xlogx1x

existe. Six>0, e

2xlogx1x

=2logx+e(x) où lim y6=0f(0;y)1y =limy!0 y6=0(y2)01y =0 existe.Correction del"exer cice2 N1.Puisque f(x;y) =x2y+3y3x

2+y2=r(cos2jsinj+3sin3j), il s"ensuit que

lim (x;y)!(0;0) (x;y)6=(0;0)f(x;y) =0 car cos

2jsinj+3sin3jreste borné. Par conséquent la fonctionfest continue en(0;0).

2.

Les déri véespartielles

=limx!0x6=00x 2=0 y6=0f(0;y)y =limy!0 y6=03y3y 2=3 existent. 3.

Puisque f(x;x) =4x32x2=2x, la dérivée directionnelleDvf(0;0)suivant le vecteurv= (1;1)est non nulle.

Par conséquent, la fonctionfn"est pas différentiable en(0;0). 4.

2y+3y3x

2y+3y3x

4

5.D"après ( 2), cette équation s"écrit

d"oùz=3yx. 6.

La fonction F:R2!R2s"écritF(x;y) =x2y+3y3x

2+y2;y2x+3x3x

2+y2 et sa matrice jacobienne J

F(1;1) ="

=1 3 31

au point(1;1)est inversible. Par conséquent, la fonctionFadmet une réciproque locale au voisinage du

point(1;1). Au point(2;2), J

F(2;2) ="

=1 3 31
d"où ( 1 ).Correction del"exer cice4 N1.g(f(x;y)) =xy2sin2(xy)cosxexp(y2) 2. 3.

Calculons d"abord

=yexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)) =xexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)+2y2sin(xy)) =xexp(y2)((1+2y2)sin(xy)+xycos(xy)): 5

Ainsi la matrice jacobienne J

fdefs"écrit J f=2 6 7 5 2

4ycos(xy)xcos(xy)

ysinxcosx 5

De même, la matrice jacobienne J

gdegest : J = [vw;uw;uv] 4.

La matrice jacobienne J

gfde la fonction composéegfs"écrit comme produit matricielle J 2 6 7 5 d"où (xysin2(xy)exp(y2))ysinx +(xysin2(xy)exp(y2))cosxquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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