Math206 – Equations aux Dérivées Partielles Feuille dExercices 1
Ces exercices et les corrigés qui suivent
Analyse II — Corrigé 5
Exercice 1. [Dérivées partielles]. Pour chaque fonction ci-dessous calculer ses dérivées partielles. a) f(x y) = (x2.
Dérivées partielles et directionnelles
Indication pour l'exercice 1 ?. Pour calculer les dérivées partielles par rapport à une variable interpéter les autres variables comme paramètres et utiliser
Corrigé de lexamen de mi-session
Exercice 1. (a) [8 points] Soit la fonction de deux variables : f(x y) = e2x+3 sin(xy2) ? x3y + cos(y3 ? x2). Calculer les dérivées partielles.
Dérivées partielles : révisions
La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x à y en (0
Corrigés dexercices sur les dérivées partielles
Marcel Délèze. Edition 2017. Thème: Dérivées partielles. Lien vers les énoncés des exercices : Corrigé de l'exercice 2-1. Fonction. E (m v) =.
1 Dérivées dérivées partielles et courbes de niveau
https://www.parisschoolofeconomics.eu/docs/chassagnon-arnold/td6-mathstats-l1gest-2020-corrige.pdf
Matrice jacobienne exercices corrigés pdf
Dérivées partielles : corrigé Exercice 1 Pour les fonctions de deux variables suivantes calculer les dérivées partielles ?f ?x et ?f ?y f(x
TD2 – Dérivabilité des fonctions de plusieurs variables réelles
Donc Dvf(11) = 0. Exercice 2. Calculer toutes les dérivées partielles de la fonction f : R3 ?? R : f(x
Analyse II — Corrigé 4
Analyse II — Corrigé 4. Exercice 1. En utilisant la définition des dérivées partielles on a que: ... Exercices du 11 mars 2015 ...
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— Calculer les dérivées partielles `a l'ordre 2 des fonctions suivantes : f(x y) = x2(x + y) f(x y) = exy Exercice 1 3 — Soit f : R2 ? R une fonction de
[PDF] Dérivées partielles et directionnelles - Exo7
Exercice 1 Déterminer pour chacune des fonctions suivantes le domaine de définition Df Pour chacune des fonctions calculer ensuite les dérivées
[PDF] Dérivées partielles : révisions - Exo7 - Exercices de mathématiques
La fonction f est-elle continue en (00)? 2 Déterminer les dérivées partielles de f en un point quelconque distinct de l'origine 3 La fonction f admet-elle
[PDF] Corrigés dexercices sur les dérivées partielles - Site de Marcel Délèze
Lien vers les énoncés des exercices : https://www deleze name/marcel/sec2/applmaths/csud/plusieurs-variables/2_DERIVEES_PARTIELLES pdf Corrigé de
[PDF] Corrigé de lexamen de mi-session - Normale Sup
Exercice 1 (a) [8 points] Soit la fonction de deux variables : f(x y) = e2x+3 sin(xy2) ? x3y + cos(y3 ? x2) Calculer les dérivées partielles
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Dérivées dérivées partielles limites fonctions concaves et/ou quasi-concaves Ceci est juste un exercice de calcul pour vous entrainer à calculer des
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Comment l'existence d'un plan tangent horizontal se traduit-elle sur les dérivées partielles ? 2 Calculer une équation du plan tangent au graphe de f (i e `a
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2) Si U = R2 Exercice 7 Ensi Physique P 94 Résoudre l'équation aux dérivées partielles suivante : 2xy ?f
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D'apr`es le Thm de dérivation des fonctions composées f est de classe C1 en tout point et on a e g ?f ?x (x0y0) = ?F ?u (u0v0)
Enoncés : Stephan de Bièvre
Corrections : Johannes HuebschmannExo7
Dérivées partielles: Révisions
Exercice 1
Soitf:R2!Rla fonction définie parf(x;y) = (x2+y2)xpour(x;y)6= (0;0)etf(0;0) =1. 1.La fonction fest-elle continue en(0;0)?
2. Déterminer les déri véespartielles de fen un point quelconque distinct de l"origine. 3. La fonction fadmet-elle des dérivées partielles par rapport àx, àyen(0;0)?Soitf:R2!Rla fonction définie par
f(x;y) =x2y+3y3x2+y2pour(x;y)6= (0;0);
f(0;0) =0: 1. La fonction fest-elle continue en(0;0)? Justifier la réponse. 2.La fonction fadmet-elle des dérivées partielles par rapport àx, àyen(0;0)? Donner la ou les valeurs le
cas échéant et justifier la réponse. 3. La fonction fest-elle différentiable en(0;0)? Justifier la réponse. 4. Déterminer les déri véespartielles de fen un point(x0;y0)6= (0;0). 5. Déterminer l"équation du plan tangent au graphe de fau point(1;1;2). 6.Soit F:R2!R2la fonction définie parF(x;y) = (f(x;y);f(y;x)). Déterminer la matrice jacobienne de
Fau point(1;1). La fonctionFadmet-elle une réciproque locale au voisinage du point(2;2)? Soitf:R3!Rune fonction de classeC1et soitg:R3!Rla fonction définie par g(x;y;z) =f(xy;yz;zx):Montrer que
On considère les fonctionsf:R2!R3etg:R3!Rdéfinies par f(x;y) = (sin(xy);ycosx;xysin(xy)exp(y2));g(u;v;w) =uvw: 11.Calculer e xplicitementgf.
2. En utilisant l"e xpressiontrouvée en (1), calculer les déri véespartielles de gf. 3. Déterminer les matrices jacobiennes Jf(x;y)etJg(u;v;w)defet deg. 4. Retrouv erle résultat sous (2.) en utilisant un produit approprié de matrices jacobiennes.Indication pourl"exer cice1 N1.Utiliser les coordonnées polaires (r;j)dans le plan et le fait que limr!0r>0rlogr=0.Indication pourl"exer cice2 N1.Pour réfuter la dif férentiabilitéde fen(0;0), il suffit de trouver une dérivée directionnelle qui n"est pas
combinaison linéaire des dérivées partielles (par rapport aux deux variables). 2. Le plan tangent au point (x0;y0;f(x0;y0))du graphez=f(x;y)deFest donnée par l"équationIndication pour
l"exer cice4 NÉcriref(x;y) = (sin(xy);ycosx;xysin(xy)exp(y2)) = (u;v;w).3
Correction del"exer cice1 N1.f(x;y) = (x2+y2)x=exlog(x2+y2)=e2rcosjlogr. Puisque cosjest borné, limr!0r>02rcosjlogr=0 d"où
lim (x;y)!(0;0) (x;y)6=(0;0)f(x;y) =elim r!0r>02rcosjlogr =e0=1; car la fonction exponentielle est continue. 2. Dans R2nf(0;0)gles dérivées partielles par rapport aux variablesxetyse calculent ainsi: ln(x2+y2)+2x2x 2+y2 (x2+y2)x 2+y2 (x2+y2)x 3.Pour que la déri véepartielle
lim x!0x6=0f(x;0)1x =limx!0x6=0(x2)x1x =limx!0x>0e2xlogx1x
existe. Six>0, e2xlogx1x
=2logx+e(x) où lim y6=0f(0;y)1y =limy!0 y6=0(y2)01y =0 existe.Correction del"exer cice2 N1.Puisque f(x;y) =x2y+3y3x2+y2=r(cos2jsinj+3sin3j), il s"ensuit que
lim (x;y)!(0;0) (x;y)6=(0;0)f(x;y) =0 car cos2jsinj+3sin3jreste borné. Par conséquent la fonctionfest continue en(0;0).
2.Les déri véespartielles
=limx!0x6=00x 2=0 y6=0f(0;y)y =limy!0 y6=03y3y 2=3 existent. 3.Puisque f(x;x) =4x32x2=2x, la dérivée directionnelleDvf(0;0)suivant le vecteurv= (1;1)est non nulle.
Par conséquent, la fonctionfn"est pas différentiable en(0;0). 4.2y+3y3x
2y+3y3x
45.D"après ( 2), cette équation s"écrit
d"oùz=3yx. 6.La fonction F:R2!R2s"écritF(x;y) =x2y+3y3x
2+y2;y2x+3x3x
2+y2 et sa matrice jacobienne JF(1;1) ="
=1 3 31au point(1;1)est inversible. Par conséquent, la fonctionFadmet une réciproque locale au voisinage du
point(1;1). Au point(2;2), JF(2;2) ="
=1 3 31d"où ( 1 ).Correction del"exer cice4 N1.g(f(x;y)) =xy2sin2(xy)cosxexp(y2) 2. 3.
Calculons d"abord
=yexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)) =xexp(y2)(sin(xy)+xycos(xy)+2y2sin(xy)) =xexp(y2)((1+2y2)sin(xy)+xycos(xy)): 5Ainsi la matrice jacobienne J
fdefs"écrit J f=2 6 7 5 24ycos(xy)xcos(xy)
ysinxcosx 5De même, la matrice jacobienne J
gdegest : J = [vw;uw;uv] 4.La matrice jacobienne J
gfde la fonction composéegfs"écrit comme produit matricielle J 2 6 7 5 d"où (xysin2(xy)exp(y2))ysinx +(xysin2(xy)exp(y2))cosxquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] detection de contours traitement d'image
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