[PDF] Corrigé de lexamen de mi-session

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Université du Québec à Montréal MAT1112 - Calcul I (automne 2011) F.Beaudet, S.Labbé, V.RipollGroupes-cours : 10, 50, 51

Corrigé de l"examen de mi-sessionExercice 1.

(a) [8 points]Soit la fonction de deux variables :f(x;y) =e2x+3sin(xy2)x3y+ cos(y3x2).

Calculer les dérivées partielles

@f@x et@2f@y@x On calcule avec les règles habituelles de dérivation : @f@x = 2e2x+3sin(xy2) +e2x+3cos(xy2)y23x2y+ (sin(y3x2))(2x) =e2x+3(2sin(xy2) +y2cos(xy2))3x2y+ 2xsin(y3x2); et :

2f@y@x

=@@y e2x+3(2sin(xy2) +y2cos(xy2))3x2y+ 2xsin(y3x2) =e2x+3[2cos(xy2)(2yx) + 2ycos(xy2) +y2(sin(xy2))(2yx)]

3x2+ 2xcos(y3x2)(3y2)

=e2x+3[2y(2x+ 1)cos(xy2)2xy3sin(xy2)]3x2+ 6xy2cos(y3x2): (b) [10 points]Soit la fonction g(x;y) =8 :3y4x2(yx2)2x3x

2y2six2y26= 0 ;

0six2y2= 0:

Calculer, si elles existent, les deux dérivées partielles d"ordre1degau point(0;0): @g@x (0;0)et@g@y (0;0): La fonctiongest définie par une formule différente selon si l"on est en(0;0)ou au voisinage

de ce point. Donc on est obligé d"utiliser la définition théorique de la dérivée partielle en un

point. On a : @g@x (0;0)= limh!0g(0 +h;0)g(0;0)h Il faut calculerg(h;0). Pourh6= 0, on ah2026= 0, donc il faut utiliser la première ligne de la définition deg: g(h;0) =3(0)4h2(0h2)2h3h

202=h42h3h

2=h22h :

D"où :

g(h;0)g(0;0)h =h22h0h =h2; et @g@x (0;0)= limh!0(h2) =2: 1

De même, on calcule :

@g@y (0;0)= limk!0g(0;0 +k)g(0;0)k

Pourk6= 0, on a02k26= 0, donc

g(0;k) =3k402(k02)2(0)30

2k2=3k2:

Donc @g@y (0;0)= limk!03k20k = lim k!0(3k) =0:

Exercice 2.

(a) [10 points]Soit la fonctionf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =8 :x

5y3+ 5xy7(2x2+y2)4;si(x;y)6= (0;0) ;

0;si(x;y) = (0;0):

Est-ce quefest continue à l"origine(0;0)? au point(2;3)? (Justifier votre réponse.)

Solution

Calculons la limite def(x;y)lorsque(x;y)tend vers(0;0)le long du cheminy=x. On peut supposer quey=x6= 0et on obtient f(x;y) =f(x;x) =x5x3+ 5xx7(2x2+x2)4=6x8(3x2)4=6x881x8=227 Si la limite def(x;y)lorsque(x;y)tend vers(0;0)existe, elle doit donc être égale à2=27. Or,f(0;0) = 06= 2=27, donc la fonctionfn"est pas continue au point(0;0). Le numérateur et le dénominateur def(x;y)sont des fonctions polynomiales continues sur R

2et en particulier au point(2;3). Ainsi, la fonctionf, étant le quotient de deux fonctions

continues, est continue au point(2;3), car le dénominateur ne s"annule pas en ce point.

Solution alternative

On aurait aussi pu évaluer la limitef(x;y)lorsque(x;y)tend vers(0;0)le long du chemin y=mx. On peut supposer que(x;mx)6= (0;0)et on obtient f(x;y) =f(x;mx) =x5(mx)3+ 5x(mx)7(2x2+ (mx)2)4=x8m3+ 5m7x8(x2(2 +m2))4=x8(m3+ 5m7)x

8(2 +m2)4=(m3+ 5m7)(2 +m2)4:

Sim= 1, on trouvef(x;y) =f(x;x) = 6=81 = 2=27.

Sim= 2, on trouvef(x;y) =f(x;2x) = 648=1296 = 1=2. Ainsi, on trouve deux valeurs différentes pour la limite def(x;y)lorsque(x;y)tend vers (0;0)le long de deux chemins différents. Ainsi, la limite deflorsque(x;y)tend vers(0;0) n"existe pas. Par conséquent, la fonctionfn"est pas continue au point(0;0). 2 (b) [12 points]Soit la fonctiong:R2!Rdéfinie par g(x;y) =8 :x

5y3+ 5xy7(2x2+y2)2;si(x;y)6= (0;0) ;

0;si(x;y) = (0;0):

Montrer quegest continue à l"origine(0;0).

Solution

On procède avec les coordonnées polaires. On posex=rcosety=rsin. En remplaçant et en simplifiant, on obtient un expression alternative pour la fonctiong: g(x;y) =g(rcos;rsin) (rcos)5(rsin)3+ 5(rcos)(rsin)7(2(rcos)2+ (rsin)2)2 r8(cos5sin3+ 5cossin7)r

4(2cos2+ sin2)2

r4(cos5sin3+ 5cossin7)(1 + cos 2)2: Pour montrer quelim(x;y)!(0;0)g(x;y) =L= 0, on cherche à borner supérieurement la valeur dejg(x;y)Lj=jg(x;y)0j=jg(x;y)j. On obtient jg(x;y)j=jg(rcos;rsin)j =r4(cos5sin3+ 5cossin7)(1 + cos 2)2 r4(cos5sin3+ 5cossin7)(1 + 0 2)2 r4(cos5sin3+ 5cossin7) =r4cos5sin3+ 5cossin7 r4cos5sin3+ 5cossin7 r4[(1) + 5(1)] = 6r4: Ainsi

0lim(x;y)!(0;0)g(x;y)= lim(x;y)!(0;0)jg(x;y)j= limr!0jg(rcos;rsin)j limr!06r4= 0;

d"où on conclut que lim(x;y)!(0;0)g(x;y) = 0 Or, g(0;0) = 0 = lim(x;y)!(0;0)g(x;y); doncgest continue au point(0;0).

Solution alternative 1

Nous voulons montrer quegest continue en(0;0), c"est-à-dire, par définition, que lim(x;y)!(0;0)g(x;y) =g(0;0). On ag(0;0) = 0, donc nous pouvons utiliser une majoration de 3

jg(x;y)jpour montrer quelim(x;y)!(0;0)g(x;y) = 0. Avec l"inégalité triangulaire, nous avons pour

(x;y)6= (0;0): jg(x;y)j=x5y3+ 5xy7(2x2+y2)2 x5y3(2x2+y2)2 +5xy7(2x2+y2)2

On a2x2+y22x2donc(2x2+y2)2(2x2)2= 4x4et :

jx5y3j(2x2+y2)2jx5y3j4x4=jxy3j4 De même, comme2x2+y2y2, on a(2x2+y2)2(y2)2=y4et : j5xy7j(2x2+y2)2j5xy7jy

4= 5jxy3j:

Finalement, on obtient :

jg(x;y)j jxy3j4 + 5jxy3j=214 jxy3j:

Posonsh(x;y) =214

jxy3j. On a montré que pour tout(x;y)6= (0;0),jg(x;y)j h(x;y). D"autre part, on a clairementlim(x;y)!(0;0)h(x;y) = 0. Par comparaison, on obtient donc : lim (x;y)!(0;0)g(x;y) = 0 c"est-à-direlim(x;y)!(0;0)g(x;y) =g(0;0), doncgest bien continue au point(0;0).

Solution alternative 2

Si(x;y)6= (0;0), alors on peut borner la valeur absolue de l"évaluation de la fonctiongau point(x;y). En effet, jg(x;y)j=x5y3+ 5xy7(2x2+y2)2 x5y3+ 5xy74x4+ 4x2y2+y4 x5y34x4+ 4x2y2+y4+5xy74x4+ 4x2y2+y4 x5y34x4+ 4x2y2+y4 +5xy74x4+ 4x2y2+y4 =jxy3jx44x4+ 4x2y2+y4 + 5jxy3jy44x4+ 4x2y2+y4 jxy3j (1) + 5jxy3j (1) = 6jxy3j: Soit >0. Posons= minf1;g. Montrons que sijxj< etjyj< et que(x;y)6= (0;0), alorsjg(x;y)Lj< avecL= 0. En effet, on a jg(x;y)j 6jxy3j= 6 jxj jyj3613=: 4

Cela achève de démontrer que

lim (x;y)!(0;0)g(x;y) =L= 0: Comme cette valeur est égale à l"évaluation de la fonctiongau point(0;0), alors la fonction gest continue au point(0;0).

Exercice 3.

(a) [10 points]Soit la fonction de deux variables : f(x;y) =8 :4y2x3y52x72y4+ 3x4si(x;y)6= (0;0) ;

0si(x;y) = (0;0):

Soit(v1;v2)un vecteur unitaire du plan. En utilisant la définition théorique de la dérivée

directionnelle, déterminer (en fonction dev1etv2) la dérivée directionnellef0((v1;v2);(0;0))

(si elle existe) dans la direction~v= (v1;v2)au point(0;0). D"après la définition de la dérivée directionnelle, on a : f

0((v1;v2);(0;0)) = limh!0f(0 +hv1;0 +hv2)f(0;0)h

Ici, on a(v1;v2)6= (0;0)car c"est un vecteur unitaire, donc pourh6= 0,(hv1;hv2)6= (0;0) et on peut utiliser la première ligne de la définition def: f(hv1;hv2) =4h2v22h3v31h5v522h7v712h4v42+ 3h4v41 h(4v22v31v522h2v71)2v42+ 3v41:

D"autre partf(0;0) = 0, donc :

f

0((v1;v2);(0;0)) = limh!0f(hv1;hv2)h

= lim h!04v22v31v522h2v712v42+ 3v41 =4v22v31v522v42+ 3v41: (b) [10 points]Soitg(x;y;z) = 5xy2z2x3yz2+x2y. Calculer la dérivée directionnelleg0((1=p14;2=p14;3=p14);(1;1;2))degdans la direction(1=p14;2=p14;3=p14)au point(1;1;2). La fonctiongest polynomiale, doncg, ainsi que ses dérivées partielles, sont continues sur R

3. On peut donc utiliser la formule du cours pour calculer une dérivée directionnelle :

g

0(~u;(a;b;c)) =@g@x

(a;b;c)u x+@g@y (a;b;c)u y+@g@z (a;b;c)u z: 5

On calcule :

@g@x = 5y2z6x2yz2+ 2xy @g@y = 10xyz2x3z2+x2 @g@z = 5xy24x3yz :

On obtient les valeurs suivantes :

@g@x (1;1;2)= 32 ;@g@y (1;1;2)=27 ;@g@z (1;1;2)= 13:

Donc finalement :

g 01p14 ;2p14 ;3p14 ;(1;1;2) =@g@x (1;1;2)1p14 +@g@y ((1;1;2))2p14 +@g@z (1;1;2)3p14 32p14
+54p14
+39p14
=47p14:quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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