[PDF] TD2 – Dérivabilité des fonctions de plusieurs variables réelles

View - Download TD2 – Dérivabilité des fonctions de plusieurs variables réelles

Previous PDF

Next PDF

Polytech" Paris - UPMC Agral 3, 2016 - 2017

TD2 - Dérivabilité des fonctions de plusieurs variables réelles Exercice 1.Calculer la dérivée directionnelle de la fonction : f(x,y) = (x-1)3⎷x-y, au point(x,y) = (1,1), le long la directionv= (12 ,⎷3 2

Solution. D"après la définition on a :

D vf(1,1) = limt→0f(1 +t2 ,1 +t⎷3 2 )-f(1,1)t

Dès que :

f(1 +t2 ,1 +t⎷3 2 ) =t2

3Êt

€12

-⎷3 2 la limite est simplement : lim t→0f(1 +t2 ,1 +t⎷3 2 )-0t = limt→012

3Êt

€12

-⎷3 2

Š= 0.

DoncDvf(1,1) = 0.

Exercice 2.Calculer toutes les dérivées partielles de la fonctionf:R3?→R: f(x,y,z) =xcos(xz) +ln(2-sin2(y+z))

Solution.∂f∂x

(x,y,z) = cos(xz)-xzsin(xz) ∂f∂y (x,y,z) =-2sin(y+z)cos(y+z)2-sin2(y+z) ∂f∂z (x,y,z) =-x2sin(xz)-2sin(y+z)cos(y+z)2-sin2(y+z) Exercice 3.Calculer le gradient de la fonctionf:R3?→R: f(x,y,z) =Èx

2+y2+z2

au point(2,2,2).

Solution.∂f∂x

(x,y,z) =x⎷x

2+y2+z2

∂f∂y (x,y,z) =y⎷x

2+y2+z2

∂f∂z (x,y,z) =z⎷x

2+y2+z2

Le vecteur gradient au point (2,2,2) est donné par : ?f(2,2,2) =€2⎷12 ,2⎷12 ,2⎷12 1 Exercice 4.Calculer la dérivée directionnelle de la fonction : f(x,y) = 3x2y-4xy, au point(x,y) = (1,2)le long la directionv= (⎷3 2 ,-12

Vérifier l"égalité :

D vf(1,2) =?f(1,2)·v=∂f∂x (1,2)v1+∂f∂y (1,2)v2

Solution. D"après la définition on a :

D vf(1,2) = limt→0f(1 +t⎷3 2 ,2-t2 )-f(1,2)t

Dès que :

f(1 +t⎷3 2 ,2-t2 ) =-98 t3+9-⎷3 2 t2+1 + 4⎷3 2 t-2 la limite est simplement : lim t→0f(1 +t2 ,1 +t⎷3 2 ) + 2t = limt→0-98 t2+9-⎷3 2 t+1 + 4⎷3 2 =1 + 4⎷3 2

Le gradient defest le vecteur :

?f(x,y) =€6yx-4y,3x2-4x).

Le gradient defau point(1,2)est :

?f(x,y) =€4,-1).

Finalement :

4(⎷3

2 )-1(-12 ) =1 + 4⎷3 2 Exercice 5.Calculer d"après la définition les dérivées partielles de la fonction : f(x,y) =( x3yx

6+y2si(x,y)?= (0,0)

0sinon

au point(0,0). La fonction est-elle continue au point(0,0)?

Solution.

xf(0,0) = limh→0f(0 +h,0)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0, yf(0,0) = limh→0f(0,0 +h)-f(0,0)h = limh→00-0h = 0.

La fonctionfadmet dérivées partielles∂xf(0,0) =∂yf(0,0) = 0. Cependant elle est pas continue

au point(0,0). Pour le montrer, on considère les restrictions defle long les courbesy=xet y=x3. f(x,x) =x4x

6+x2=x2x

4+ 1et f(x,x3) =x6x

6+x6=12

lim x→0f(x,x) = 0etlimx→0f(x,x3) =12

Dès que0?=12

la fonction n"est pas continue en(0,0). Exercice 6.Calculer la dérivée de la fonctionz:R?→R, où : -z(t) =f(x(t),y(t)) 2 -f(x,y) = cos(x+ 4y) -x(t) = 5t4 -y(t) =1t

Solution. z(t) est dérivable car elle est composition de fonctions dérivables. D"après la chain

rule on a :z?(t) =∂xf(x(t),y(t))x?(t) +∂yf(x(t),y(t))y?(t) = -sin(x(t) + 4y(t))20t3+-4sin(x(t) + 4y(t))(-1t 2) = -20t3sin(5t4+4t ) +4t

2sin(5t4+4t

Exercice 7.Calculer la dérivée de la fonctionw:R?→R, où : -w(t) =f(x(t),y(t),z(t)) -f(x,y,z) =xeyz -x(t) =t2 -y(t) = 1 -z(t) = 1 + 2t

Solution. w(t) est dérivable car elle est composition de fonctions dérivables. D"après la chain

rule on a : w?(t) =∂xf(x(t),y(t),z(t))x?(t) +∂yf(x(t),y(t),z(t))y?(t) +∂zf(x(t),y(t),z(t))z?(t) = e y(t)z(t)2t+ 0 +xeyz (-yz 2)2 =

2te11+2t+-2t2(1+2t)2e11+2t.

Exercice 8.Calculer la jacobienne de la fonctionf:R2?→R2: f(x,y) = (f1(x,y),f2(x,y)) = (xcosy,ysinx) au point(π,π2 Solution. Commen= 2etp= 2la jacobienne est une matrice2×2, assemblée à partir de toutes les dérivées partielles de toutes les composantes def: J f(x,y) = ∂f1∂x (x,y)∂f1∂y (x,y) ∂f

2∂x

(x,y)∂f2∂y (x,y)! J f(x,y) =‚cosy-xsiny ycosxsinxŒ J f(π,π2 ) =‚0-π π2 0Œ Exercice 9.Calculer la jacobienne de la fonctionf:R3?→R2: f(x,y,z) = (zsin(xy),xeyz) au point(π,1,2).

Solution. La jacobienne est une matrice2×3

J f(x,y,z) = ∂f1∂x (x,y,z)∂f1∂y (x,y,z)∂f1∂z (x,y,z) ∂f

2∂x

(x,y,z)∂f2∂y (x,y,z)∂f2∂z (x,y,z)! J f(x,y,z) =‚zycos(xy)zxcos(xy) sin(xy) e yzxzeyzxyeyzŒ J f(π,1,2) =‚-2-2π0 e

22πe2πe2Œ

3 Exercice 10.Calculer la jacobienne de la fonctionf:R3?→R3: f(x,y,z) = (xy+z,xz+y,yz+x).

Solution. La jacobienne est une matrice3×3:

J f(x,y,z) =† ∂f1∂x (x,y,z)∂f1∂y (x,y,z)∂f1∂z (x,y,z) ∂f

2∂x

(x,y,z)∂f2∂y (x,y,z)∂f2∂z (x,y,z) ∂f

3∂x

(x,y,z)∂f3∂y (x,y,z)∂f3∂z (x,y,z) J f(x,y,z) =... y x1 z1x 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] multiple et diviseur 4eme controle

[PDF] detection de contours traitement d'image

[PDF] filtre moyenneur traitement dimage

[PDF] filtre gaussien matlab traitement d'image

[PDF] moteur de recherche internet

[PDF] moteur de recherche francais

[PDF] francis ponge le parti pris des choses pdf

[PDF] les moteurs de recherche les plus utilisés

[PDF] francis ponge mouvement

[PDF] moteur de recherche définition

[PDF] francis ponge biographie

[PDF] moteurs de recherche gratuits

[PDF] meilleur moteur de recherche

[PDF] moteur de recherche mozilla

[PDF] bourse aux livres scolaires