Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 Pour une fonction d'une variable f définie au voisinage de 0
Développements limités dune fonction `a deux variables
Ici on va traiter seulement le cas de l'ordre 1 et le cas de l'ordre 2 au voisinage du point (a
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles 1.5 DL d'ordre 2 pour une fonction de deux variables.
1 Fonctions de plusieurs variables
Le graphe d'une fonction de deux variables est une surface. Un développement limité. `a l'ordre 1 en donnera donc une approximation par un plan : le plan
Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité. 2.1.3.4 Formule de Taylor-
Chapitre 13 : - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL
C 1.15 Si f admet un développement limité du premier ordre en A alors elle admet en ce point une dérivée directionnelle selon toute direction V ? Rn {0}
Fonctions de plusieurs variables
Cette fonction affine n'est autre que la partie principale du développement limité `a l'ordre 1 de f. Graphiquement cela revient `a approcher le graphe de f
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2 – Fonctions de plusieurs variables : calcul di érentiel D 1.10 On dit que f admet un développement limité du premier ordre au point A s'il existe des.
Fonctions de plusieurs variables
10 avr. 2009 Gradient et courbes de niveau. 5. Extrema. 5.1. Signe d'une forme quadratique en deux variables. 5.2. Développement limité à l'ordre ...
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Fonctions de plusieurs variables : calcul di érentiel – 5 C 1 15 Si f admet un développement limité du premier ordre en A alors elle admet en ce point une
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Notre objectif est maintenant d'étudier la régularité des fonctions de plusieurs variables La notion de limite sur laquelle reposent en particulier les
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Développement limité Soit f une fonction de deux variables x et y et (x0y0) un point du domaine de définition de f
[PDF] Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l'Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite
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10 avr 2009 · Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux
[PDF] Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul
Comment calculer la limité d'une fonction à plusieurs variables ?
L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim(x,y)€A-->(0,0) f(x,y) est différent de lim(x,y)€B-->(0,0) f(x,y). Par exemple, sauf erreur: f(x,y) = xy2 / (x2 + y4), f(0,0) = 0.Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). f : R×R ? R (x,y) ? 1 x ? y . D(f ) = {(x,y) ? R×R: x = y}.- On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
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Service Commun de Formation ContinueAnnée Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variableset applications pour l"ingénieur Polycopié de cours
Rédigé par YannickPrivat
Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1
B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.
e-mail : Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr iiAvant-ProposCe cours présente les concepts fondamentaux de l"Analyse des fonctions de plusieurs variables.
Les premiers chapitres généralisent les notions de limite,dérivabilité et dévelopement limité, bien
connus dans le cas des fonctions d"une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs
nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : •l"optimisation (recherche d"extremums, minimisaton d"une énergie, etc.);•les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des
ondes, etc.); •l"intégration (calculs de moments d"inertie, de flux, etc.). Travail personnel de préparation :le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l"étudiersérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en discutions en cours.YannickPrivat
iii iv Table des matières1 Introduction à l"étude des fonctions de plusieurs variables 11.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . .. . . . . . . . 1
1.1.1 Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Représentation graphique d"une fonction à deux variables . . . . . . 3
1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4
1.2.1 Rappel : dérivation d"une fonction deRdansR. . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4
1.2.3 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. . . . . . 6
1.3 Fonction denvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . .. . . . . . . 6
1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7
1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
2 Calculs de limites et continuité11
2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11
2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . .. . . . . . 12
2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16
2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Cas des fonctions deR2dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
v viTABLE DES MATIÈRES2.2.3 Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3 Notion de différentiabilité23
3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23
3.2 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
3.2.1 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Fonctionsf:Rn-→Rp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 Application différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25
3.2.4 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.5 Expression explicite de la différentielle . . . . . . . . . .. . . . . . 27
3.2.6 Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
3.3 Conséquences de la différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29
3.3.1 Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 35
4.1 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
4.1.1 Différentiabilité des fonctions deRndansRp. . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Notion deC1-difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
5 Recherche d"extrema43
5.1 Problèmes liés à la recherche d"extrema . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43
5.1.1 Développement limité à l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
5.1.2 Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
5.2 Caractérisation des points critiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44
5.2.1 Hessienne d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
5.2.2 Quelques notions d"Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . .. . . . 45
5.3 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TABLE DES MATIÈRESvii
5.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
6 Introduction aux EDP51
6.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51
6.1.1 Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires . . . . . . 51
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