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UNIVERSITÉ DE POITIERSParcours Renforcé - Première Année2009/2010Paul Broussous

Fonctions de plusieurs variables

Seconde version corrigée

Table des matières

1.Un peu de topologie.

1.1.Distance euclidienne, disques et boules.

1.2.Domaines définis par des inéquations.

1.3.Points intérieurs, propriétés.

2.Fonctions de plusieurs variables.

2.1.Champs de scalaires, champs de vecteurs, courbes paramétrées.

2.2.Représentations graphiques, courbes de niveau.

2.3.Continuité et limites.

2.4.Domaines fermés, ouverts. Domaines bornés, compacts.

3.Dérivation.

3.1.Dérivées partielles en un point intérieur au domaine.

3.2.Gradient, différentielle. Dérivée dans une direction.

3.3.Dérivation en chaîne.

3.4.Dérivées partielles d"ordres supérieurs. Lemme de Schwarz.

3.5.Equations aux dérivées partielles.

4.Théorème des fonctions implicites. Gradient et courbes de niveau.

5.Extrema.

5.1.Signe d"une forme quadratique en deux variables.

5.2.Développement limité à l"ordre2et extrema locaux.

5.3.Extrema sous contraintes.

6.Introduction à l"intégration des fonctions de plusieurs variables.

6.1.Circulation d"un champ de vecteurs.

6.2.Intégration sur un domaine deR2.

Introduction

D"un point de vue physique, une fonction de plusieurs variables est une quantité numérique ou vectorielle qui dépend de plusieurs paramètres réels. Par exemple : - L"altitude (par rapport au niveau de la mer) d"un point à la surface du globe terrestre est une fonction de deux variables (la lattitude et la longitude qui repèrent ce point). - La température en un point d"une pièce d"habitation est unefonction numérique de trois coordonnées spatiales. - L"accélération de la pesanteur au voisinage du globe terrestre est une fonction vectorielle de trois coordonnées d"espace. - Par l"équation des gaz parfaits,PV=nRT, on peut considérer la pressionP= nRT/Vcomme étant un fonction numérique des deux variablesT(température) etV (volume). Nous nous intéressons aussi à des quantités vectorielles dépendant d"un seul para- mètre réel comme dans l"exemple suivant. - Une fois fixé un point origineOde l"espace, la trajectoire d"un mobile ponctuel peut être vue comme une fonction vectorielle----→OM(t)qui dépend de la variable de temps t, oùM(t)est la position du mobile à l"instantt. L"objet de ce cours est de généraliser les techniques de calcul différentiel et intégral (analyse), introduites en classe de terminale, au cas des fonctions de plusieurs variables. Elles seront d"usage constant en physique, chimie et leurs applications. Ces notes de cours sont en partie inspirées du livre de François LiretMaths en Pra- tique, à l"usage des étudiants, édition Dunod, 1996. En particulier, nous vous conseillons la lecture des chapitres 12 et 13 de ce livre. 1

1. Un peu de topologie

1.1. Distance euclidienne, disques et boules.

Notre espace de travail sera soit

- un espace euclidienE(de dimension3) muni d"un repère orthonormé(O,?i,?j,?k), - un plan euclidienPmuni d"un repère orthonormé(O,?i,?j), - une droite euclidienneDmuni d"un repère orthonormé(O,?i). Ici le qualificatifeuclidiensignifie que l"on peut effectuer un produit scalaire : (x1?i+y1?j+z1?k).(x2?i+y2?j+z2?k) =x1x2+y1y2+z1z2(dansE) (x1?i+y1?j).(x2?i+y2?j) =x1x2+y1y2(dansP)(x1?i).(x2?i) =x1x2(dansD). Rappelons que la norme d"un vecteur est donnée par ?x?i+y?j+z?k?=? x2+y2+z2dansE,?x?i+y?j?=?x2+y2dansP,?x?i?=|x|dansD, et que la distance entre deux pointsMetNest donnée par d(M,N)=?--→MN?. On fera fréquemment l"abus de notation suivant. Une origine0étant fixée, un point deE(resp.P,D) sera identifié à ses coordonnées(x,y,z)(resp.(x,y),x) dans le repère (0,?i,?j,?k). Un repère étant fixé on identifiera donc les objets suivants : - l"espaceEavec l"ensemble notéR3des triplets de réels(x,y,z), - le planPavec l"ensemble notéR2des couples de réels(x,y), - la droiteDavec l"ensemble des nombres réelsR. Nous ferons de même avec les vecteurs. La notationM(x,y,z)signifie que le pointM?E a pour coordonnées(x,y,z)dans le repère(0,?i,?j,?k), et la notation-→v(x,y,z)signifie que le vecteur?va pour coordonnées(x,y,z)dans le repère(?i,?j,?k). Dans la suiteXdésigne un espace, un plan ou une droite euclidienne.

1.1.1. Théorème.SoientA,B,Ctrois points deXet?u,?vdeux vecteurs. On a les

propriétés suivantes. (i)d(A,C)?d(A,B) +d(B,C)avec égalité si et seulement siBest sur le segment [AC](première inégalité triangulaire). (ii)|d(A,B)-d(B,C)|?d(A,C)(deuxième inégalité triangulaire). (iii)|?u.?v|???u?.??v?. (iv)| ??u? - ??v? |???u+?v????u?+??v?. Démonstration.L"assertion (iv) entraîne (i) et (ii) en posant--→AB=?uet--→BC=?v. On a?u.?v=??u?.??v?cos(?u,?v)et l"assertion (iii) découle du fait que le cosinus d"un nombre réel est compris entre-1et1. Prouvons la seconde inégalité dans (iv). On a(?u+?v)2=??u?2+??v?2+2?u.?v. L"inégalité (iii) entraîne que?u.?v???u?.??v?. On obtient donc(?u+?v)2???u?2+??v?2+ 2??u?.??v?, c"est-à-dire(?u+?v)2?(??u?+??v?)2. On conclut en prenant la racine carrée. 2 Prouvons la première inégalité dans (iv). Ecrivons??u?=? -?v+ (?u+?v????v?+ ??u+?v?. On obtient??u? - ??v????u+?v?. En échangeant les rôles de?uet?v, on a aussi -(??u? - ??v?)???u+?v?. D"où| ??u? - ??v? |???u+?v?. CQFD.

1.1.2. Définition.SoientMoun point deXetr >0un nombre réel. On appelleboule

fermée de centreMoet de rayonr, et on noteBf(Mo,r),l"ensemble des pointsMdeX tels qued(Mo,M)?r. On appelleboule ouverte de centreMoet de rayonr, et on note B o(Mo,r),l"ensemble des pointsMdeXtels qued(Mo,M)< r. Ainsi dans le plan euclidien un boule ouverte (resp. fermée)est un disque ouvert (resp. fermé) et dans la droite euclidienne une boule ouverte (resp. fermée) est un inter- valle ouvert (resp. fermé). Par exemple, pour un pointMo(xo,yo,zo)deE, l"inéquation définissantBf(Mo,r)est (x-xo)2+ (y-yo)2+ (z-zo)2?r2. Pour un pointMo(xo)deD, l"inéquation défissantBo(Mo,r)est |x-xo|< r??xo-r < x < xo+r . En d"autres termes,Bo(Mo,r)est l"intervalle ouvert]xo-r,xo+r[.

1.2. Domaines définis par des inéquations.

Dans la suiteDdésigne une partie (ou encoresous-ensemble) deX. Une partieDde Eest appelédomaine défini par des inéquations, ou plus brièvementdomaine, si le fait pour un pointM(x,y,z)deXd"appartenir àDest caractérisé par des conditions de la formef(x,y,z)< aouf(x,y,z)?a, ouf(x,y,z) =a. Iciaest un nombre réel etf: R

3-→Rest un application deR3dansR. On définit de même la notion de domaine

dansPetD. En réalité une condition du typeg(x,y,z)> aoug(x,y,z)?aest aussi permise car on peut toujours l"écrire sous la forme-g(x,y,z)<-a(resp.-g(x,y,z)?-a). De même un condition du typef(x,y,z)< g(x,y,z)peut toujours se récriref(x,y,z)- g(x,y,z)<0.

Quelques remarques s"imposent.

- Il n"y a pas une unique façon de caractériser un domaine par des inégalités. Par exemple l"intervalle]-1,1[deDest caractérisé par les conditionsx >-1etx <1, mais il est aussi caractérisé par la conditionx2<1, ou encore|x|<1, ou encore par les trois conditionsx >-1,x >-2,x <1(la deuxième étant inutile). - Le termedomainen"est pas une notion bien définie dans la littérature scientifique. La définition que l"on donne ici est propre à ces notes et n"esten aucun cas universelle. Dans la suite nous nous intéresserons beaucoup à des domaines du plan. Certains types d"inégalité ont une interprétation immédiate. - Sia,betcsont trois réels non simultanément nuls, l"inégalitéax+by+c >0 (resp.ax+by+c?0) correspond à un demi-plan ouvert (resp. fermé). Ce demi-plan est délimité par la droiteax+by+c= 0. Pour savoir de quel côté de la droite on est, on teste la valeur deax+by+cen un pointM(xo,yo,zo)où cette quantité ne s"annule 3 pas. On peut aussi remarquer que le vecteur?v(a,b)est un vecteur normal à la droite ax+by+c= 0et qu"ilpointedans la direction du demi-planax+by+c >0. - Sif:R-→Rest une application, un pointM(x,y)satisfait l"inégalitéy-f(x)>0 si, et seulement si, il se trouve au-dessus du graphe de la fonctionf. - Sia,bsont deux réels etrun réel strictement positif, l"inégalité(x-a)2+ (y- b)2-r2<0définit le disque ouvert de centreΩ(a,b)et de rayonr, tandis que(x-a)2+ (y-b)2-r2?0définit le complémentaire de ce disque ouvert.

1.3. Points Intérieurs, propriétés.

IciXdésigne une espace affineE, un plan affinePou une droite affineD. On désigne parAune partie deX. Dans les applicationsAsera un domaine au sens de la section précédente.

1.3.1. Définition.On dit qu"un pointMdeAestintérieur(où queMestintérieur à

A) s"il existe un nombre réelr >0tel que la boule ouverteBo(M,r), de centreMet de rayonr, est elle-même contenue dansA.

Voici quelques exemples.

- SiA=Bf(Ω,R)est une boule fermée de centreΩet de rayonR, un pointMdeA est intérieur si, et seulement si, il appartient à la boule ouverteBo(Ω,R). En particulier un point sur leborddeA, c"est-à-dire un point de la "sphère" de centreΩet de rayonR n"est pas intérieur. - SiX=PetAest le demi-plan ferméax+by+c?0, alors les points intérieurs àAsont ceux du demi-plan ouvertax+by+c >0. Les points qui sont sur lafrontière (ou bord) du demi-plan, c"est-à-dire sur la droiteax+by+c= 0ne sont pas intérieurs.

1.3.2. Proposition.SupposonsX=E. SoitMo(xo,yo,zo)un point intérieur àA. Alors

il existe un réela >0, tel que sit1,t2,t3sont des réels vérifiant|t1|< a,|t2|< aet |t3|< a, le pointMde coordonnées(xo+t1,yo+t2,zo+t3)appartient encore àA. On a des résultats similaires dans un plan ou une droite affine. Démonstration. Par hypothèse, il existe un réelr >0tel que la boule ouverteBo(Mo,r) est contenue dansA. Observons que l"ensemblequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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