Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 Pour une fonction d'une variable f définie au voisinage de 0
Développements limités dune fonction `a deux variables
Ici on va traiter seulement le cas de l'ordre 1 et le cas de l'ordre 2 au voisinage du point (a
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles 1.5 DL d'ordre 2 pour une fonction de deux variables.
1 Fonctions de plusieurs variables
Le graphe d'une fonction de deux variables est une surface. Un développement limité. `a l'ordre 1 en donnera donc une approximation par un plan : le plan
Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité. 2.1.3.4 Formule de Taylor-
Chapitre 13 : - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL
C 1.15 Si f admet un développement limité du premier ordre en A alors elle admet en ce point une dérivée directionnelle selon toute direction V ? Rn {0}
Fonctions de plusieurs variables
Cette fonction affine n'est autre que la partie principale du développement limité `a l'ordre 1 de f. Graphiquement cela revient `a approcher le graphe de f
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2 – Fonctions de plusieurs variables : calcul di érentiel D 1.10 On dit que f admet un développement limité du premier ordre au point A s'il existe des.
Fonctions de plusieurs variables
10 avr. 2009 Gradient et courbes de niveau. 5. Extrema. 5.1. Signe d'une forme quadratique en deux variables. 5.2. Développement limité à l'ordre ...
Fonctions de plusieurs variables sur R
2 Continuité d'une fonction de R 3.3 Développement limité d'ordre 1 . ... On appelle fonction numérique à n variables toute fonction f définie sur un ...
[PDF] Fonctions de plusieurs variables
1 nov 2004 · Pour une fonction d'une variable f définie au voisinage de 0 être dérivable en 0 c'est admettre un développement limité `a l'ordre 1
[PDF] 1 Fonctions de plusieurs variables
Ce chapitre est conscré aux fonctions de plusieurs variables c'est-`a-dire définies sur une partie de Rn qu'on appellera son domaine de définition
[PDF] 13 Quelques techniques de calcul des DL
Soient m et n deux entiers naturels tels que n
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Le petit O peut s'écrire aussi comme O(?(x ? a)2 + (y ? b)2) 2 Développement limité d'ordre 2 d'une fonction `a deux variables Définition 2 1 Le
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Fonctions de plusieurs variables : calcul di érentiel – 5 C 1 15 Si f admet un développement limité du premier ordre en A alors elle admet en ce point une
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
Notre objectif est maintenant d'étudier la régularité des fonctions de plusieurs variables La notion de limite sur laquelle reposent en particulier les
[PDF] Fonctions de plusieurs variables - Mathématiques
Développement limité Soit f une fonction de deux variables x et y et (x0y0) un point du domaine de définition de f
[PDF] Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
Ce cours présente les concepts fondamentaux de l'Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite
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10 avr 2009 · Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux
[PDF] Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul
Comment calculer la limité d'une fonction à plusieurs variables ?
L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim(x,y)€A-->(0,0) f(x,y) est différent de lim(x,y)€B-->(0,0) f(x,y). Par exemple, sauf erreur: f(x,y) = xy2 / (x2 + y4), f(0,0) = 0.Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). f : R×R ? R (x,y) ? 1 x ? y . D(f ) = {(x,y) ? R×R: x = y}.- On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
![[PDF] Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables](https://pdfprof.com/Listes/18/14593-18analyse3.pdf.pdf.jpg "[PDF] Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables")
Université Claude Bernard, Lyon ILicence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918Spécialité Mathématiques
69622 Villeurbanne cedex, FranceL. Pujo-Menjouet
pujo@math.univ-lyon1.frCours d"Analyse 3
Fonctions de plusieurs variablesFIGURE1 - Représentation de la fonctionf:R27!Rdéfinie par(x;y)7!z=sin(x2+3y2)0:1+r2+
(x2+ 5y2)exp(1r2)2 ;avecr=px2+y2, et projection des courbes de niveau sur les plans
z= 0etz= 9. 1Préambule
Le but de ce cours est degénéraliser la notion de dérivéed"une fonction d"une variable réelle
à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs
variables. L"idée fondamentale de cette théorie est d"approcherune application "quelconque" (de
plusieurs variables réelles ici) par une applicationlinéaireauvoisinaged"un point. Le cadre général pour la mettre en oeuvre est celuides espaces vectoriels(ce qui donne un sens au mot"linéaire"comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent), munis d"unenormesur l"espace de départ (pour avoir une notion devoisinage) et unenormesur l"espace d"arrivée (pour savoir"approcher").Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants
ainsi que plusieurs applications notamment pour l"optimisation (voir le dernier chapitre du cours).Toutefois, avant de s"attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien
définir les notions de bases en topologie associées à cette théorie, à savoir : - les distances, boules ouvertes, fermées, - les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc. Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- gramme), mais dans le cas particulier des espacesRn(et le plus souvent les espaces oùR2etR3) qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimensionn(dimension finie). Rappelons qu"en dimension 2 (n= 2), on identifie un vecteurxde coordonnées(x1;x2)avec un point du plan de coordonnées(x1;x2)une fois fixée une origine.Ici,ongénéraliseracetteidentificationendésignantlepointoulevecteurdecoordonnées(x1;:::;xn)
parx= (x1;:::;xn)2Rn. Rappelons enfin que l"ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR! Or, dansR, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport(f(x)f(x0))=(xx0). Elle implique donc de pouvoir diviser par(xx0). Mais dansRnça n"a pas de sens car la divisionpar un vecteur n"est pas définie. Que faire alors si on ne peut pas définir la dérivée d"une fonction
DRn!Rn? C"est tout le but de ce cours : introduire une notion généralisée de la dérivée : la
DIFFERENTIABILITE.
2Table des matières
1 Notion de topologie dansRn5
1.1 Espaces métriques, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.2 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.4 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.5 Position d"un point par rapport à une partie deE. . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181.7 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211.8 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221.9HORS PROGRAMME :Applications d"unee.v.n.vers une.v.n.. . . . . . . . .23
1.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231.9.2 Opérations sur les fontions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241.9.3 Extension de la définition de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251.9.4 Cas des espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251.9.5 Notion de continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261.9.6 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité. 29
2.1 Fonctions réelles de variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352.4 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372.5 Continuité sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382.6 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393 Calcul différentiel 41
3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
463.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
503.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . .
513
TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
3.6.1 Gradient et ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
513.6.2 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . .
523.6.3 Plan tangent à un graphe d"une fonction de 2 variables . . . . . . . . . . .
534 Théorème des accroissements finis 55
4.1 Fonction d"une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
564.2 Fonction d"une valeur sur un espaceRpet à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . .56
4.3 Fonction d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
574.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
584.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
595 Difféomorphismes 61
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615.2 Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
625.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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