Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 Pour une fonction d'une variable f définie au voisinage de 0
Développements limités dune fonction `a deux variables
Ici on va traiter seulement le cas de l'ordre 1 et le cas de l'ordre 2 au voisinage du point (a
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles 1.5 DL d'ordre 2 pour une fonction de deux variables.
1 Fonctions de plusieurs variables
Le graphe d'une fonction de deux variables est une surface. Un développement limité. `a l'ordre 1 en donnera donc une approximation par un plan : le plan
Fonctions de plusieurs variables et applications pour lingénieur
Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité. 2.1.3.4 Formule de Taylor-
Chapitre 13 : - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL
C 1.15 Si f admet un développement limité du premier ordre en A alors elle admet en ce point une dérivée directionnelle selon toute direction V ? Rn {0}
Fonctions de plusieurs variables
Cette fonction affine n'est autre que la partie principale du développement limité `a l'ordre 1 de f. Graphiquement cela revient `a approcher le graphe de f
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2 – Fonctions de plusieurs variables : calcul di érentiel D 1.10 On dit que f admet un développement limité du premier ordre au point A s'il existe des.
Fonctions de plusieurs variables
10 avr. 2009 Gradient et courbes de niveau. 5. Extrema. 5.1. Signe d'une forme quadratique en deux variables. 5.2. Développement limité à l'ordre ...
Fonctions de plusieurs variables sur R
2 Continuité d'une fonction de R 3.3 Développement limité d'ordre 1 . ... On appelle fonction numérique à n variables toute fonction f définie sur un ...
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1 nov 2004 · Pour une fonction d'une variable f définie au voisinage de 0 être dérivable en 0 c'est admettre un développement limité `a l'ordre 1
[PDF] 1 Fonctions de plusieurs variables
Ce chapitre est conscré aux fonctions de plusieurs variables c'est-`a-dire définies sur une partie de Rn qu'on appellera son domaine de définition
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Soient m et n deux entiers naturels tels que n
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Le petit O peut s'écrire aussi comme O(?(x ? a)2 + (y ? b)2) 2 Développement limité d'ordre 2 d'une fonction `a deux variables Définition 2 1 Le
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Fonctions de plusieurs variables : calcul di érentiel – 5 C 1 15 Si f admet un développement limité du premier ordre en A alors elle admet en ce point une
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
Notre objectif est maintenant d'étudier la régularité des fonctions de plusieurs variables La notion de limite sur laquelle reposent en particulier les
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Développement limité Soit f une fonction de deux variables x et y et (x0y0) un point du domaine de définition de f
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Ce cours présente les concepts fondamentaux de l'Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite
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10 avr 2009 · Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 2 et extrema locaux
[PDF] Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul
Comment calculer la limité d'une fonction à plusieurs variables ?
L'astuce consiste souvent à trouver deux ensembles A = {(x,h(x))} et B = {(x,k(x))} (h et k fonctions à trouver) tels que lim(x,y)€A-->(0,0) f(x,y) est différent de lim(x,y)€B-->(0,0) f(x,y). Par exemple, sauf erreur: f(x,y) = xy2 / (x2 + y4), f(0,0) = 0.Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). f : R×R ? R (x,y) ? 1 x ? y . D(f ) = {(x,y) ? R×R: x = y}.- On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et, si elle existe, la calculer ; — vérifier si la valeur de la limite est égal à f(x0).
ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Année 2014/2015
Chapitre 13 :
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES :
CALCUL DIFFÉRENTIEL
1 Objets du calcul di?érentiel du premier ordre 2
1.1 Dérivées partielles et gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Dérivées directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 Fonctions de classeC15
2.1 Dé?nition et théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.2 Théorèmes opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63 Calcul di?érentiel du second ordre 7
3.1 Dérivées partielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73.2 Fonctions de classeC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3.3 Étude locale d"une fonction de classeC2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2 - Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
Dans tout le chapitre et sauf mention explicite du contraire, les fonctions considérées sont dé?nies sur un
ouvert deRnet à valeurs dansR. On reprend les notations du chapitre précédent.1. Objets du calcul di?érentiel du premier ordreOn considère dans ce paragraphe un ouvertUnon vide deRn, un point A= (a1;:::;an)2 Uainsi qu"une
fonctionf:U !R;(x1;:::;xn)7!f(x1;:::;xn).1.1 Dérivées partielles et gradient
Pourj2J1;nK, on dé?nit l"ensemble
UA;j=fx2R: (a1;:::;aj1;x;aj+1;:::;an)2 Ug;
qui est un ouvert deRcontenantajpuisqueUest ouvert. On dé?nit alors laj-ième fonction partielle de
fau point A : fA;j:UA;j!R;xj7!f(a1;:::;aj1;xj;aj+1;:::;an):
Il s"agit de la fonction obtenue en ?xant toutes les composantes de X= (x1;:::;xn)égales à celles de A
sauf laj-ième qu"on laisse varier. On obtient ainsi une fonction d"une variable, ce qui permet de donner la
dé?nition suivante.Définition 1.1Soit j2J1;nK. On dit que f admet une dérivée partielle par rapport à la variable xjau point
Alorsque la fonction partielle fA;jest dérivable en aj. Dans ces conditions, on appelledérivée partiellede f
par rapport à la j-ième variable x jau pointA, et l"on note@jf(A)ou@f@xj(A), le réel dé?ni par : jf(A) =@f@xj(A) =f0A;j(aj) =limt!0t6=0f(a1;:::;aj1;aj+t;aj+1;:::;an)f(a1;:::;aj1;aj;aj+1;:::;an)tRemarque 1.2Seule la notation@jfest au programme. Elle présente, comme la notation@f@xj, des avantages
et des inconvénients :l"utilisation de la notation@jfsuppose que les variables defsont ordonnées, ce qui est le cas si on les
notex1;:::;xn, mais est moins évident si on les appellea,xet...la notation@f@xjsous-entend que le point générique deUest noté(x1;:::;xn); si l"on dé?nit plutôtfpar
une formule du typef(y1;:::;yn) =, alors ses dérivées partielles seront notées@f@yj, 16j6n.Il est donc intéressant de savoir manipuler les deux. Pour des fonctions dé?nies sur un ouvert deR2ou de
R3, il est d"usage de noter (par défaut) les variablesx,yet éventuellementz, et donc les dérivées partielles
1f=@f@x,@2f=@f@y, et éventuellement@3f=@f@z.
Exemple1.3Étudierl"existencededérivéespartielles@1fet@2fentoutpoint(x0;y0)2R2pourlafonction f: (x;y)2R27!8 :sinx3ln(1+y2)x2+y2si(x;y)6= (0;0)
0 si(x;y) = (0;0):
Définition1.4Sif admetenAdesdérivéespartiellesparrapportàtouteslesvariablesx1;:::;xn,onappelle
gradientde f enA, et l"on noterf(A), le vecteur deRndé?ni par la formule : rf(A) =@1f(A);@2f(A);:::;@nf(A): Exemple 1.5Déterminer le gradient de la fonctionf:X2Rn7! kXk2en tout point A2Rn.1.2 Dérivées directionnelles
Soit V un vecteur non nul deRn. On a vu dans le chapitre précédent que la droiteDA;Vpassant par le point
Année 2014/2015 Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel - 3 A et dirigée par le vecteur V est paramétrée par l"applicationt2R7!A+tV. Étudierlecomportementdef(X)lorsqueXvarieauvoisinagedeAsurladroiteDA;Vrevientdoncàétudier la fonctionfonction partiellet7!f(A+tV)au voisinage de 0. CommeUest ouvert, l"ensemble de dé?nition de la fonction partielle précédente contient un intervalle de la forme[";"]," >0.Définition 1.6On dit que la fonction f admet unedérivée directionnelleenAselon le vecteurVsi la
fonction partielle t7!f(A+tV)est dérivable en0, i.e. si la limite ci-dessous existe et est ?nie : lim t!0t6=0f(A+tV)f(A)t on la note alors@Vf(A):Vf(A) =limt!0t6=0f(A+tV)f(A)t
=ddtf(A+tV)t=0:Remarque 1.7La notion de dérivée directionnelle est plus générale que celle de dérivée partielle. En e?et,
la notion de dérivée partielle par rapport à la variablexjcoïncide avec celle de dérivée directionnelle dans
la direction duj-ième vecteur Ejde la base canonique :@jf(A) =@Ejf(A).Remarque 1.8 (Interprétation géométrique d"une dérivée directionnelle)Pour les besoins du dessin, on consi-
dère l"exemple d"une fonctionf:U !Rdé?nie sur un ouvertUdeR2et à valeurs réelles. Lorsqu"elle
existe, la dérivée directionnelle@Vf(A)admet l"interprétation géométrique suivante.On considère le graphede la fonctionf, qui est une surface dans l"espace. Le plan verticalPpassant
par le point A et contenant le vecteur V rencontreUselon une portion ouverte de droite et le graphede la fonctionfselon une courbe. Dans ces conditions, le réel@Vf(A)est égal à la pente de la tangente
àau point A dans le planP.xAzyUf(A)VATrace deUz=0z=f(A)@Vf(A)Trace dePP
Exemple 1.9Soient A un point deRndistinct de l"origine, extrémité d"un vecteur V, et W un vecteur non
nul orthogonal à V. Déterminer les dérivées de la fonctionf:X2Rn7! kXk2au point A dans les
directions V et W.4 - Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles
1.3 Développement limité
Définition 1.10On dit que f admet undéveloppement limitédu premier ordre au pointAs"il existe des
réelset1;:::;nainsi qu"une fonction"dé?nie sur une partie deRnet à valeurs dansRtels que, pour
toutX2 Uvoisin deA: f(X) =+1(x1a1) ++n(xnan) +kXAk"(XA) et : limH!0"(H) =0: Remarque 1.11Dans les conditions précédentes, on note : f(X) =+1(x1a1) ++n(xnan) +o(kXAk);X!A:Proposition 1.12Si f admet un développement limité du premier ordre enA, alors elle est continue enA,
admet en ce point des dérivées partielles par rapport à chaque variable et l"on a : f(X) =f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj) +o(kXAk);X!A; c"est-à-dire : f(X) =f(A) +hrf(A);XAi+o(kXAk);X!A: Exemple 1.13Montrer que la fonctionf:X7! kXk2admet en tout point A2Rnun développement limité du premier ordre que l"on déterminera. Remarque 1.14Dans ces conditions, l"application a?ne ':X= (x1;:::;xn)7!f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj) =f(A) +hrf(A);XAi est appeléeapplication a?ne tangenteoumeilleure approximation a?nedefau voisinage de A.Son graphe, l"hyperplan deRn+1d"équation
y=f(A) +nP j=1@ jf(A)(xjaj); est appeléhyperplan tangentau graphe defau point A.z=f(x;y)z='(x;y)Azxyf(A) Année 2014/2015 Fonctions de plusieurs variables : calcul di?érentiel - 5Corollaire 1.15Si f admet un développement limité du premier ordre enA, alors elle admet en ce point une
dérivée directionnelle selon toute directionV2Rnn f0gdonnée par :Vf(A) =hrf(A);Vi:
Si de plusVest unitaire, alorsj@Vf(A)j6krf(A)k. De plus, l"égalité@Vf(A) =krf(A)kest réalisée si, et
seulement si,Vest colinéaire et de même sens àrf(A).Remarque 1.16Ainsi le gradientrf(A)indique la direction de plus forte croissance. Pour la culture, on
pourra également retenir que la dérivée directionnelle defsuivant une direction tangente à une courbe
de niveau est nulle; autrement dit d"après le corollaire précédent, le gradient est orthogonal aux lignes de
niveau.2. Fonctions de classeC1Dans ce paragraphe, on considère un ouvertUnon vide deRn.
2.1 Dé?nition et théorème fondamental
Définition 2.1SoitVun vecteur non nul deRn.
On dit qu"une fonction f:U !Radmet unedérivée directionnellesurUsuivant le vecteurVsi fadmet une dérivée directionnelle@Vf(A)en tout pointA2 Usuivant le vecteurV. On appelle alors dérivée
directionnelle de f surUsuivant le vecteurVla fonctionVf:U !R;A7!@Vf(A):
Cette dé?nition s"applique en particulier lorsqueVest un des vecteurs de la base canonique; elle donne alors
un sens à la notion de dérivée partielle de f surU.Remarque 2.2Attention! Les dérivées directionnelles (donc en particulier les dérivées partielles) sont ob-
tenues par dérivation de fonctions d"une seule variable, mais ce sont des fonctions de plusieurs variables,
et leur continuité sur un ouvertUdeRns"entend bien sûr en ce sens. Définition 2.3On dit qu"une fonction f:U !Restde classeC1surUsi elle admet des dérivées partielles@1f;:::;@nf surUet si ces dérivées partielles sont continues surU.Exemple 2.4Soit
f:R2!R;(x;y)7!x2y2ln(x2+y2)si(x;y)6= (0;0)0 sinon:
Montrer quefest de classeC1surR2.
On admet le théorème suivant.
Théorème 2.5Soit f:U !Rune fonction de classeC1.La fonction f est continue surUet admet en tout pointA2 Uun développement limité du premier ordre :
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