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PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes

I Loi d"une variable aléatoire

1 Définition d"une variable aléatoire

Définition

Soit( ;A;P)un espace probabilisé quelconque. Unevariable aléatoire discrètesur( ;A) est une applicationXdéfinie sur , telle queX( )est au plus dénombrable et pour toute partieUdeX( ),X1(U)est un événement :

8U2 P(X(

));X1(U)2 A:

Rq :Les seules variables aléatoires considérées dans le cours sont des variables aléatoires dis-

crètes (même si ce n"est pas rappelé dans chaque énoncé). SiUX( ), on note :X1(U) =f!2 =X(!)2Ug=fX2Ug= (X2U).

En particulier, six2X(

), alors : X

1(fxg) =f!2

=X(!) =xg=X1(x) =fX=xg= (X=x). SiXest une variable aléatoire réelle, on note :fX6xg=f!2 =X(!)6xg(idem pour fX>xg) . Propriété 1: Caractérisation d"une variable aléatoire discrète

SoitXune application définie sur

, telle queX( )soit au plus dénombrable.

Xest une variable aléatoire sur(

;A)si et seulement si, pour toutx2X( ),fX=xg

est un événement.Exemple :SiA2 A, la fonction indicatrice1AdeAest une variable aléatoire réelle discrète.

On admet la propriété suivante :

Propriété 2: Image d"une variable aléatoire SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensembleEetfune application définie surX( )à valeurs dans un ensembleF. AlorsY=fX=f(X)est une variable aléatoire discrète .2 Loi de probabilité d"une variable aléatoire Propriété 3: Définition d"une loi de probabilité

SoitXune variable aléatoire discrète sur(

;A;P).

L"applicationPX:P(X(

))7![0;1]qui à toute partieUdeX( )associeP(X2U) est une probabilité sur(X( );P(X( )), appeléeloi de probabilitédeX.X(

)étant au plus dénombrable,PXest entièrement caractérisée par les probabilités élémen-

taires : 1 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes SiX( ) =fx1;;xng, on peut poser :8i2J1;nK;pi=P(X=xi). Les événementsfX=xig;16i6nforment un système complet d"événements. p

1;;pnsontnréels positifs tels que :nX

i=1p i= 1. Toute partie deX( )étant finie, la probabilité d"un événementfX2Ugse calcule en additionnant les probabilitéspiassociées aux éléments deU. SiX( ) =fxn=n2Ng, on peut poser :8n2N;pn=P(X=xn). Les événementsfX=xig;i2Nforment un système complet d"événements. (pn)nest une suite de réels positifs tels que la sérieXp nconverge et1X n=0p n= 1.

Toute partie deX(

)étant au plus dénombrable, la probabilité d"un événementfX2Ug se calcule en additionnant les probabilitéspiassociées aux éléments deU: il peut s"agir de la somme d"un nombre fini de termes ou de la somme d"une série à termes positifs convergente.

On peut noter plus généralement :X(

) =fxi=i2Ig, oùIest une partie deN. Réciproquement, on admet que la donnée despncaractérise une loi de probabilité :

Propriété 4:

1.

Soit Xune variable aléatoire telle queX(

) =fx1;;xnget soientp1;;pn nréels positifs tels que :nX i=1p i= 1. Il existe alors une unique probabilitéPsur ;A)telle que :8i2N;pi=P(X=xi). 2.

Soit Xune variable aléatoire telle queX(

) =fxn=n2Nget(pn)nune suite de réels positifs tels que la série Xp nconverge et1X n=0p n= 1. Il existe alors une unique probabilitéPsur( ;A)telle que :8n2N;pn=P(X=xn).Rq :Le choix de l"indexation des éléments deX( )est arbitraire. Mais puisqu"il s"agit d"une

série à termes positifs, ce choix n"influe pas sur la convergence de la série ni sur la valeur de sa

somme.

3 Fonction de répartition d"une variable aléatoire réelle

Définition

SoitXune variable aléatoire discrète réelle sur( ;A;P). Lafonction de répartitiondeX est la fonctionFXdeRdans[0;1]définie par :8x2R;FX(x) =P(X6x). La fonction de répartition donne donc les probabilités cumulées :FX(x)se calcule en sommant

(somme finie ou somme de série positive) les probabilités des événementsfX=xngpour toutes

les valeursxn6x. Propriété 5: Propriétés de la fonction de répartition La fonction de répartition d"une variable aléatoire discrèteXest une fonction croissante, telle que :limx!1FX(x) = 0etlimx!+1FX(x) = 12 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Propriété 6: Fonction de répartition et loi Pouraetbréels tels quea < b, on a :P(a < X6b) =FX(b)FX(a). SiX( ) =fxn=n2Igavec :8n;xn< xn+1. Alors :P(X=x0) =FX(x0)et

8n>1;P(X=xn) =FX(xn)FX(xn1).4 Rappel des lois finies usuelles

Loi uniforme :On note :X(

) =fx1;;xng.Xsuit la loi uniforme sur cet ensemble lorsque toutes les éventualités ont la même probabilité :8k2J1;nK;P(X=xk) =1n

Exemples :Xest le numéro apparu lorsqu"on lance un dé équilibré ouXest le numéro de la

boule tirée lorsqu"on fait un tirage au hasard dans une urne contenantnboules numérotées. Loi de Bernoulli :C"est la loi d"une variable aléatoire telle que :X( ) =f0;1g. Cette loi est caractérisée par le paramètrep=P(X= 1)2]0;1[, qui correspond à la probabilité de "succès". Exemple : On lance une pièce et on poseX= 1si on obtient Pile (le "succès") etX= 0 sinon. Si la pièce est équilibrée, on a :p=12 Loi binomiale :Cette loi est caractérisée par deux paramètres :n2Netp2]0;1[.

On a alors :X(

) =J0;nKet8k2J0;nK;P(X=k) =n k p k(1p)nk. Exemple : C"est la loi d"une variable aléatoire qui compte le nombre de succès (probabilité

p) lors denépreuves répétées indépendantes. Par exemple, on lancenfois une pièce de

monnaie et on compte le nombre de Piles obtenus.

5 Loi géométrique

Définition

Xsuit uneloi géométriquede paramètrep2]0;1[lorsque : X( ) =Net8k2N;P(X=k) =p(1p)k1.

Rq :La définition est cohérente car on reconnaît une série géométrique positive de raison dans

]0;1[donc convergente et dont la somme est égale à 1.

Interprétation :On considère une suite d"épreuves répétées indépendantes au cours desquelles

un certain "succès" se réalise avec une probabilitépet on observe l"apparition du premier succès.

La probabilité d"observer un succès dès la 1ère épreuve est égale àp. Celle d"observer le 1er

succès à l"épreuvekest égale à(1p)k1p. On constate en sommant la série que la probabilité

d"obtenir au moins un succès est égale à 1. La probabilité de n"obtenir aucun succès lors de cette

répétition infinie est donc nulle (événement quasi-impossible). On peut alors définir la variable

aléatoireXégale au rang du premier succès.Xsuit la loi géométrique de paramètrep. Propriété 7: Caractérisation d"une loi géométrique SoitXune v.a. à valeurs dansN.Xsuit une loi géométrique si et seulement si :

8n2N;P(X > n)6= 0et8(n;k)2N2;P(X > n+kjX > n) =P(X > k).

On dit que la loi géométrique est la seuleloi sans mémoire.3 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

6 Loi de Poisson

Définition

Xsuit uneloi de Poissonde paramètre2R+lorsque : X( ) =Net8k2N;P(X=k) =ekk!.

Rq :La définition est cohérente car on reconnaît une série exponentielle donc convergente,

positive et1X k=0P(X=k) = 1. Propriété 8: Approximation d"une loi binomiale par une loi de Poisson Soit(Xn)nune suite de v.a. telle que :8n2N;Xn,! B(n;pn)aveclimn!+1npn= >0.

On a alors :8k2N;limn!+1P(Xn=k) =ekk!.Considérons une épreuve répétée un très grand nombre de fois, avec une probabilité de succès

très faible. Soitle nombre moyen de succès etXla v.a. qui compte le nombre de succès. Alors Xsuit approximativement la loi de Poisson de paramètre. On interprète ainsi la loi de Poisson comme la loi des événements rares. Exemples typiques : nombre de personnes dans une file d"attente (guichet de poste, péage d"au-

toroute ...), nombre de défauts sur une pièce fabriquée industriellement, nombre de noyaux ato-

miques désintégrés pendant un intervalle de temps fixé, nombre de soldats morts par ruade de

cheval dans l"armée prussienne (exemple de Von Bortkiewicz, fin XIXième siècle) ...

II Espérance et variance

1 Espérance

Définition

$%1.Si X( )est fini,Xadmet une espérance définie par :E(X) =nX i=1x iP(X=xi). 2. Si X( )est dénombrable, la variable aléatoireXadmet une espérance finie lorsque la série de terme généralxiP(X=xi)est absolument convergente, et alors :

E(X) =X

i2Nx iP(X=xi):

Rq :La condition de convergence absolue entraîne que cette définition est indépendante de la

numérotation des valeurs prises parX. Exemple :SiA2 A, l"espérance de la fonction caractéristique1Aest égale àP(A):

E(1A) =P(A):

Les propriétés vues en Sup dans le cas des variables aléatoires finies se généralisent au cas des

variables aléatoires discrètes quelconques. 4 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Théorème 9: Théorème du transfert dans le cas fini SoitXune variable aléatoire finie etfune fonction à valeurs réelles définie surX( Alors la variable aléatoiref(X)a une espérance finie et :

E(f(X)) =nX

i=1f(xi)P(X=xi):Exemple :E(X2) =nX i=1x

2iP(X=xi).

On admet la généralisation :

Théorème 10: Théorème du transfert dans le cas dénombrable

On supposeX(

)dénombrable :X( ) =fxi=i2Ng. Soitfune fonction à valeurs réelles définie surX( ). Alors la variable aléatoiref(X)a une espérance finie si et seulement si la sérieXf(xi)P(X=xi)est absolument convergente, et dans ce cas :

E(f(X)) =+1X

i=0f(xi)P(X=xi):Rq :L"intérêt du théorème du transfert est de permettre le calcul de l"espérance de la variable

aléatoireY=f(X)sans avoir besoin d"expliciter la loi de probabilité deY. Propriété 11: Propriétés de l"espérance 1. Linéarité : Soien tXetYdeux variables aléatoires discrètes d"espérances finies. Pour tous réelsaetb,aX+bYa une espérance finie et :

E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y):

2. P ositivité: Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs positives. SiXa une espérance finie, alors :E(X)>0. 3. Croissance : Soien tXetYdeux variables aléatoires discrètes d"espérances finies

telles que :X6Y. Alors :E(X)6E(Y).On dit qu"une variable aléatoire est centrée lorsqu"elle admet une espérance nulle. SiXadmet

une espérance finie,XE(X)est donc centrée.

Propriété 12: Cas d"une variable aléatoire à valeurs dansNSiXest à valeurs dansN, alorsXadmet une espérance finie si et seulement si la sérieXP(X>n)converge, et dans ce cas :

E(X) =+1X

n=1P(X>n) =+1X n=0P(X > n):5 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

2 Variance

SiX2est d"espérance finie, on dit queXadmet un moment d"ordre 2.

Propriété 13:

SiX2est d"espérance finie, alorsXest d"espérance finie,XE(X)admet un moment d"ordre 2.Définition SiXadmet un moment d"ordre 2, lavariancedeXest le réel positif défini par :

V(X) =E((XE(X))2) =E(X2)(E(X))2:

L"écart-typedeXest alors défini par :(X) =pV(X). Rq :V(X) = 0si et seulement si :P(X=m) = 1avecm=E(X). Propriété 14: Propriétés de la variance SiXadmet une variance, alors pour tous réelsaetb: V(aX+b) =a2V(x)et(aX+b) =jaj(X).Propriété 15: Espérance et variance des lois usuelles 1. Soit Xde loi binomiale de paramètresnetp(p2]0;1[).

E(X) =npetV(X) =np(1p)

2. Soit Xde loi géométrique de paramètrep(p2]0;1[). On pose :q= 1p.

E(X) =1p

etV(X) =qp 2 3. Soit Xsuivant une loi de Poisson de paramètre(2R+). E(X) =V(X) =3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème 16: Inégalité de Markov

SoitXune v.a. réelle discrète positive ayant une espérance finie. On a alors :

8a >0;P(X>a)6E(X)a

:6 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Théorème 17: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev SoitXune v.a. réelle discrète ayant une variance finie. On a alors :

8" >0;P(jXE(X)j>")6V(X)"

2:Interprétation :Si la variance est faible, la probabilité pour que l"écart entre la valeur prise

parXet la valeur moyennem=E(X)soit "grand" est faible. La variance est un indicateur de dispersion autour de l"espérance.

4 Fonction génératrice d"une v.a. à valeurs dansN

Définition

Lafonction génératriced"une v.a.Xà valeurs dansNest définie par : G

X(t) =E(tX) =+1X

n=0P(X=n)tn:

Rq :SiX(

)est une partie finie deN, la fonction génératrice deXest une fonction polynôme. Propriété 18: Propriétés de la fonction génératrice

1.GXest la somme d"une série entière de rayon de convergenceR>1etGX(1) = 1.

En particulier,GXest de classeC1sur]1;1[.

2. La fonction génératrice caractérise la loi de X: le développement en série entière

deGXdonne la loi deX.Conséquence :: Deux variables aléatoires dont les fonctions génératrices coincident sur un

intervalle]r;r[;r >0suivent la même loi. Propriété 19: Fonctions génératrices des lois usuelles SiXsuit la loi binomialeB(n;p), alors :8t2R;GX(t) = (pt+ 1p)n. SiXsuit la loi géométriqueG(p), alors :8t2]1q ;1q [;GX(t) =pt1qt.

SiXsuit la loi de PoissonP(), alors :8t2R;GX(t) =e(t1).Théorème 20: Fonction génératrice, espérance et variance

1.Xadmet une espérance finie si et seulement siGXest dérivable en 1, et alors :

G

0X(1) =E(X).

2.Xadmet une variance finie si et seulement siGXest deux fois dérivable en 1, et

alors :G00X(1) =EX(X1).Rq :SiGXest deux fois dérivable en 1, on a alors :V(X) =G00X(1) +G0X(1)(G0X(1))2.

7 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

III Couples de variables aléatoires

1 Loi conjointe, lois marginales

Propriété 21: Couple de variables aléatoires SoientXetYdeux variables aléatoires discrètes sur le même espace probabilisé ;A;P).Z= (X;Y)est une variable aléatoire discrète sur( ;A;P).Rq :Z( )X( )Y( ). Pour simplifier l"écriture, on peut considérer qu"il y a égalité, quitte à ce que certains couples aient une probabilité nulle.

Définition

Laloi conjointedeXetYest la loi deZ= (X;Y), définie par :

8(x;y)2Z(

);P(Z= (x;y)) =P(fX=xg \ fY=yg). La connaissance de la loi conjointe permet de déterminer les lois deXet deY: on parle alors delois marginales.

En effet, pourx2X(!), on a :

P(X=x) =X

y2Y(!)P((X;Y) = (x;y))

Là encore, il s"agit soit d"une somme finie, soit de la somme d"une série positive convergente.

Dans le cas où les ensembles sont finis, on peut représenter la loi conjointe deXetYdans un

tableau à double entrée. Les lois marginales s"obtiennent alors en sommant les probabilités d"une

ligne ou d"une colonne. En revanche, la donnée des lois deXetYne suffit pas pour déterminer la loi conjointe.

2 Lois conditionnelles

Propriété 22: Définition des lois conditionnelles

SoitydansY(

)tel que :P(Y=y)6= 0. L"application deP(X( ))dans[0;1]qui

à toute partieUdeX(

)associe la probabilité conditionnelleP(X2UjY=y)est une probabilité sur(X( );P(X( )), appeléeloi conditionnelle deXsachant que

Y=y, notéePY=y.On peut définir de même la loi conditionnelle deYsachant queX=x, dès lors que :

P(X=x)6= 0.

La donnée de la loi deXet des lois conditionnelles deYsachant queX=xpour toutxtel que P(X=x)6= 0permet de déterminer la loi conjointe deXetY:

8(x;y)2X(

)Y( );P(Z= (x;y)) =P(Y=yjX=x)P(X=x): 8 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

3 Couple de variables aléatoires indépendantes

Définition

Deux variables aléatoiresXetYsontindépendanteslorsque :(X;Y)( ) =X( )Y( )et

8(x;y)2X(

)Y( );P((X;Y) = (x;y)) =P(X=x)P(Y=y): Exemple :Deux v.a. associées à des expériences indépendantes sont indépendantes. Rq :SiXetYsont indépendantes, la donnée des lois deXet deYsuffit à déterminer la loi conjointe. Propriété 23: Indépendance et lois conditionnelles XetYsont indépendantes si et seulement si, pour toutxtel queP(X=x)6= 0, la

loi conditionnelle deYsachant queX=xcoïncide avec la loi deY.On admet les trois propriétés suivantes :

Propriété 24:

SiXetYsont indépendantes alors, pour toute partieAX( )et toute partie BY(

), on a :P(X2A;Y2B) =P(X2A)P(Y2B).Propriété 25: Images de variables aléatoires indépendantes

SiXetYsont indépendantes, alors pour toutes fonctionsfetg,f(X)etg(Y)sont indépendantes.Propriété 26: Propriétés de 2 v.a. indépendantes SoientXetYdeux variables aléatoires discrètes indépendantes.

E(XY) =E(X)E(Y)

V(X+Y) =V(X) +V(Y)Rq :La réciproque est fausse. Prenons par exempleXde loi uniforme surf1;0;1getY=X2.

Ces v.a. ne sont pas indépendantes, mais on a quand même :E(XY) =E(X)E(Y).

Un exemple classique

Propriété 27: Somme de deux variables de Poisson indépendantes SoientXetY2 v.a indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètreet.

AlorsX+Ysuit la loi de Poisson de paramètre+.9

PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Propriété 28: Fonction génératrice d"une somme de 2 v.a. indépendantes SoientXetY2 v.a. indépendantes à valeurs dansN. La série génératrice deX+Y est égale au produit de Cauchy des séries génératrices deXet deY. Sijtjest strictement inférieur au plus petit des deux rayons de convergence, on a donc : G

X+Y(t) =GX(t)GY(t):Rq :Si on connaîtGXetGY, le développement en série entière de leur produit peut alors

permettre de déterminer la loi de probabilité deX+Y.

4 Covariance

Propriété 29: Produit de 2 v.a.

SoientXetYdeux v.a. admettant des moments d"ordre 2. Alors le produitXYest d"espérance finie et :E (XE(X))(YE(Y)) =E(XY)E(X)E(Y).Conséquence :L"ensemble des variables aléatoires réelles discrètes sur( ;A;P)ayant un moment d"ordre 2 est un espace vectoriel surR.

Définition

$%SoientXetYdeux v.a. admettant des moments d"ordre 2. LacovariancedeXetYest définie par : cov(X;Y) =E (XE(X))(YE(Y)) =E(XY)E(X)E(Y): Si de plus,V(X)etV(Y)ne sont pas nulles, lecoefficient de corrélationdeXetYest défini par : (X;Y) =cov(X;Y)(X)(Y):

Exemples :1) SiX=Y,cov(X;X) =V(X)et(X;X) = 1.

2) SiXetYsont indépendantes, alors :cov(X;Y) = 0.

Mais réciproquement, la conditioncov(X;Y) = 0n"entraîne pas l"indépendance. Rq :L"application qui au couple(X;Y)associe sa covariance est une forme bilinéaire, symétrique

et positive sur l"espace vectoriel des variables aléatoires discrètes ayant un moment d"ordre 2.

Propriété 30: Inégalité de Cauchy-Schwarz SoientXetYdeux variables aléatoires ayant un moment d"ordre 2. Alors : (E(XY))26E(X2)E(Y2): jcov(X;Y)j6(X)(Y):

Si de plus les écarts-types ne sont pas nuls, alors :16(X;Y)61.Rq :On a donc :j(X;Y)j61. Les variables sont fortement corrélées lorsquej(X;Y)jse

rapproche de 1, faiblement corrélées lorsquej(X;Y)jse rapproche de 0. 10 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Propriété 31: Variance d"une somme finie de v.a SoientX1;;Xndes v.a. discrètes de variances finies. AlorsX1++Xna une variance finie et :

V(X1++Xn) =nX

i=1n X j=1cov(Xi;Xj) =nX i=1V(Xi) + 2X iDéfinition $%SoientX1;;Xnnvariables aléatoires ou(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires sur ;A;P). 1. Ces v ariablesaléatoires son t2 à 2 indépendanteslorsque, pour tout couple(i;j)avec i6=j,XietXjsont indépendantes.

2.X1;;Xnsontmutuellement indépendanteslorsque, pour toutak2Xk(

);k2 J1;nK, les événementsfXk=akgsont mutuellement indépendants. 3. Les v ariablesaléatoires (Xn)n2Nsontmutuellement indépendanteslorsque, pour tout n2N, les variables aléatoiresX0;;Xnsont mutuellement indépendantes.

Rq :L"indépendance mutuelle entraîne l"indépendance 2 à 2, la réciproque étant fausse.

Les familles de variables aléatoires indépendantes permettent de modéliser une succession d"épreuves

répétées indépendantes (lancers d"une pièce de monnaie ...). Exemple :La loi binomiale de paramètresnetpest la loi de la somme denv.a. de Bernoulli indépendantes de probabilité de succèsp. Propriété 32: Variance d"une somme de v.a indépendantes SiX1;;Xnsont des v.a. sont 2 à 2 indépendantes, alors :

V(X1++Xn) =nX

i=1V(Xi):Exemple :On retrouve ainsi la variance d"une v.a. de loi binomiale.

Théorème 33: Loi Faible des Grands Nombres

Soit(Xn)nune suite de v.a. 2 à 2 indépendantes et de même loi admettant un moment d"ordre 2. On noteml"espérance commune etSn=nX k=1X k.

Alors, pour tout" >0,P

Snn m>" tend vers 0 quandntend vers l"infini. Plus précisément, en notantl"écart-type commun, on a :P Snn m>" 62n"
2.11 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

Interprétation :

Snn est la moyenne desnpremières répétitions, d"espérancem. Lorsquenest

grand, la valeur observée lors d"une réalisation denépreuves constitue une bonne approximation

de la valeur de l"espérancem. Ce théorème est important dans les applications statistiques. 12quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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