MODULE 6 VARIABLE ALÉATOIRE ALÉATOIRE
relation entre la fonction de probabilité et la variable aléatoire est examinée puis déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète.
Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions 2.1 Variable
Note : Si X est discrète et Y continue ou si une des deux variables est mixte on a alors une fonction de répartition conjointe mixte. Note : Ces définitions se
5. Quelques lois discrètes
La fonction de répartition d'une variable X ? Bernoulli(p) est La fonction de masse d'une variable aléatoire X ? B(n p) est.
Variables Aléatoires
Variables Aléatoires Discrètes. 2.1 Définition. 2.2 Loi de Probablité. 2.3 Fonction de Répartition 3.2 Fonction de Densité de Probabilité.
Probabilités continues
Loi d'une variable aléatoire : du discret au continu La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ? R par.
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
fonction de répartition. ? variable aléatoire discrète. ? variable aléatoire continue. ? moyenne - variance - écart type. ? espérance mathématique.
Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes
c) Calculer P(X ? 3). Exercice 5.2 : Définition : La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est la fonction réelle définie par :.
Variables aléatoires Discrètes
des valeurs prises par X que l'on appellera support de X. 1.2 Fonction de répartition d'une variable aléatoire. Définition 2. (Fonction de répartition). Soit X
UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PRÉSENTÉ À LUNIVERSITÉ
La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X est définie pour tout x E lR par Fx(x) = P (X :S x). Plus formellement.
Variables aléatoires discrètes
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble E et f une La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X est une ...
[PDF] Variables aléatoires discrètes - Unisciel
Théorème : Si X est une variable aléatoire discrète sa fonction de répartition est une fonction en escalier croissante sur R qui vérifie :
[PDF] Variables aléatoires Discrètes
1 2 Fonction de répartition d'une variable aléatoire Définition 2 (Fonction de répartition) Soit X une variable aléatoire réelle sur (?AP) On
[PDF] Fonction de répartition et densité
Définition 1 La fonction de répartition (f d r ) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?x]) = P(X ? x) Propriétés
[PDF] Variables aléatoires discrètes - CPGE Brizeux
La fonction de répartition de X est la fonction FX de R dans [01] définie par : ?x ? RFX(x) = P(X ? x) La fonction de répartition donne donc les
[PDF] Variables Aléatoires
La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de connaitre les La fonction de répartition d'une variable discrète est constante par morceaux
[PDF] Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition
Figure 1 – Fonction de répartition F de la v a X 3) Calculer la somme des sauts de F La variable aléatoire X est-elle discrète ?
[PDF] Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes
a) Déterminer les valeurs de cette variable aléatoire et leur probabi- lité Calculer la fonction de répartition b) Calculer P(X ? 3) et P(X < 2) Exercice
[PDF] Chapitre 2 Variables aléatoires
Définition Une variable aléatoire notée (v a) est dite discrète si l'ensemble des réalisations possibles x1 x2 xn pour cette variable est fini ou
[PDF] 1 Introduction 2 Variables Aléatoires Discrètes
Variables Aléatoires Continues 3 1 Définition 3 2 Fonction de Densité de Probabilité 3 3 Fonction de Répartition 4 Espérance Mathématique
[PDF] Variables aléatoires discrètes - Mathieu Mansuy
Soit X une variable aléatoire réelle On appelle fonction de répartition de X la fonction FX : R ? R définie par : ?x ? R FX(x)
Comment calculer la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète ?
Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).Comment définir la fonction de répartition ?
b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X : F(x) = 1 - 1/x2 sur [1,+?[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.Comment déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue ?
La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ? R par FX (t) = P(X ? t). Autrement dit, FX (t) est la probabilité de l'événement ”la valeur de X est inférieure ou égale `a t”.- Définition : Variance d'une variable aléatoire discrète
Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante : V a r ( �� ) = �� ? ( �� ? �� ) ? , ? où �� = �� ( �� ) = ? ( �� × �� ( �� = �� ) ) est l'espérance de �� et �� représente toutes les valeurs que �� peut prendre.
2- Variables aléatoires et distributions -1
Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions2.1 Variable aléatoire.....................................................................................................................1
2.2 Fonction de répartition............................................................................................................2
2.3 Fonction de masse et de densité ..............................................................................................2
2.4 Distribution conjointe de variables aléatoires.......................................................................5
2.4.1 Distribution marginale.........................................................................................................5
2.4.2 Distribution conditionnelle..................................................................................................5
2.4.3 Indépendance de variables aléatoires..................................................................................6
2.5 Fonctions de variables aléatoires ............................................................................................7
2.6 Caractéristiques de distributions (une seule variable)..........................................................8
2.6.1 L'espérance mathématique (moyenne) ...............................................................................9
2.6.2 Autres caractéristiques courantes......................................................................................10
2.7 Caractéristiques de distributions (plusieurs variables)......................................................10
2.8 Propriétés de l'opérateur espérance mathématique...........................................................12
2.9 Formules d'approximation pour l'espérance et la variance de fonctions de v.a..............12
2.9.1 Formules d'approximation pour le cas multivariable .......................................................13
2.1 Variable aléatoire
Définition. Variable aléatoire : fonction qui associe un nombre réel à chaque élément de l'espace
échantillonnal.
Exemple 1 : On prélève 3 échantillons de sol et l'on note pour chacun la nature du sol (argile (A), silt
(F), sable (S), gravier (G)). L'espace échantillonnal est : {AAA, AAF, AAS...SGG GGG}. Si X représente le nombre d'échantillons de type sable, alors X(AAA)=0, X(AAF)=0,X(AAS)=1, ...X(ASS)=2, ... X(SSS)=3.
Exemple 2 : Prélever un échantillon de sol et mesurer sa masse volumique sèche. La masse volumique
est une variable aléatoire.Note : L'exemple 1 illustre une variable aléatoire discrète, l'exemple 2 une variable aléatoire continue. Il
existe aussi des v.a. mixtes, i.e. discrète pour certains éléments de l'espace échantillonnal et
continue pour d'autres.2- Variables aléatoires et distributions -2
2.2 Fonction de répartition
Définition :
)xX(P)x(FX≤=. En mots : la fonction de répartition donne la probabilité que la variablealéatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à toute valeur particulière " x ».
Propriétés :
i. 0= -∞→)x(FlimXx ii. 1= ∞→)x(FlimXx iii. )x(FXest non-décroissante iv. Si X est une v.a. discrète, alors )x(FX est une fonction en escalier; si X est continue alors )x(FXest une fonction continue.2.3 Fonction de masse et de densité
Définition :
a) cas discret : )xX(P)x(pX== est la fonction de masse de la v.a. discrète X. On peut aussi exprimer la fonction de masse comme : )()()(--=xFxFxpXXX b) cas continu : )x(Fdxd)x(fXX= est la fonction de densité de la v.a. continue X.Propriétés :
a) Cas discret : i.0≥)x(pX
ii.1≤)x(pX
iii. iiXxp1)( b) cas continu : i.0≥)x(fX
ii )a(F)b(Fdx)x(f)bXa(PXXb aX-==≤≤∫
iii.1=∫
∞-dx)x(fX En génie civil, on rencontre plus souvent les v.a. continues.Exemple 3 : Des tiges d'acier montrent une résistance en tension variable. La fonction de densité est
donnée par :2- Variables aléatoires et distributions -3
ailleurs x xx x xf X05541)4155411(355524135354135
35552(unités de " x » en MPa) a) Quelle est la probabilité qu'une tige donnée montre une résistance en tension comprise entre 47 et 49? ∫=49
4710.dx)x(fX
b) Quelle est la probabilité que la résistance soit inférieure à 41? ∫=413530.dx)x(fX
c) Quelle est la probabilité que la résistance soit supérieure à 41? ∫=554170.dx)x(fX
303540455055600
0.05 0.1 x, KPa fX(x)2- Variables aléatoires et distributions -4
303540455055600
0.2 0.4 0.6 0.8 1 x, KPa FX(x)Exemple 4 : Une portion de plancher de superficie 2a x 2a est supportée par les côtés. On dispose une
charge aléatoirement sur le plancher. Quelle est la probabilité que cette charge soit à une distance supérieure à " x » du côté le plus près du point de charge? La probabilité est proportionnelle à la surface du carré interne : axa)xa( )a()xa()x(FX≤≤-=-=-0222122 22La fonction de densité est donc :
axa)xa()x(fX≤≤-=022Exemple 5 : Sur un site, l'on doit construire une tour. On étudie l'historique de la force des vents durant
plusieurs années. On note X la force du vent maximale durant une année. Supposons que X possède la fonction de densité suivante : xe)x(fxX≤λ=λ-0 (distribution exponentielle; x donné en km/h)La fonction de répartition est alors :
xe)x(FxX≤-=λ-01 Si020.=λ (nous verrons plus loin différentes façons d'estimer les paramètres que l'on
retrouve dans une distribution), alors quelle est la probabilité que le vent excède 100km/h ? =>)X(P1001-%.e)(F*.X613100100020==-Exemple 6 : Un lot de béton doit rencontrer une résistance minimale. Même si le lot dans son ensemble
rencontre la norme, il est possible qu'un échantillon pris au hasard ne rencontre pas lanorme avec une probabilité " p ». Quelle est la probabilité que parmi " n » échantillons pris
au hasard, il y en ait " x » qui ne rencontrent pas la norme? n)p()X(P-==10 nnp)p(n)X(P111--== x 2a2- Variables aléatoires et distributions -5
xxnp)p()!xn(!x!n)xX(P---==1 (loi binomiale)Ainsi, si p=0.05, la probabilité qu'un échantillon parmi 5 prélevés ne respecte pas la norme
est :5*0.95
4*0.051=0.20.
2.4 Distribution conjointe de variables aléatoires
Définitions :
- Soit deux v.a. X, Y. La fonction de répartition conjointe est : )yY,xX(P)y,x(FY,X≤≤= - Soit deux v.a. discrètes X et Y. La fonction de masse conjointe est : y)Yx,P(Xy)(x,pYX,=== - Soit deux v.a. continues X et Y. La fonction de densité conjointe est : )y,x(Fyx)y,x(fY,XY,X∂∂∂= 2 Note : Des propriétés très similaires au cas à une seule v.a. existent.Note : Si X est discrète et Y continue ou si une des deux variables est mixte, on a alors une fonction de
répartition conjointe mixte. Note : Ces définitions se généralisent facilement au cas de p>2 v.a.2.4.1 Distribution marginale
Soit deux v.a. X et Y discrètes ou continues et leur fonction de répartition conjointe. La fonction de
répartition obtenue en ne considérant qu'une des deux variables est appelée fonction de répartition
marginale. On peut l'obtenir directement de la fonction de répartition conjointe : ),x(F)x(FY,XX∞= - Si X et Y sont des v.a. discrètes, on obtient la fonction de masse marginale de X par : iiY,XX )y,x(p)x(p - Si X et Y sont des v.a. continues, on obtient la fonction de densité marginale de X par : ∫=dy)y,x(f)x(fY,XX2.4.2 Distribution conditionnelle
Soit deux v.a. X et Y discrètes. La fonction de masse conditionnelle de X sachant que Y=y est :0)()(),()|()|(,
|>====ypavecypyxpyYxXPyxpY YYX YX2- Variables aléatoires et distributions -6
Soit deux v.a. X et Y continues. La fonction de densité conditionnelle de X sachant que Y=y est :0)()(),()|(,
|>=yfavecyfyxfyxfY YYX YXquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] soliman et françois 1er
[PDF] fonction de distribution statistique
[PDF] produit scalaire deux vecteurs
[PDF] produit vectoriel de deux vecteurs dans le plan
[PDF] fonction de répartition d une variable aléatoire discrète
[PDF] multiplication coordonnées vecteurs
[PDF] variance
[PDF] multiplication d'un vecteur par un réel exercices
[PDF] produit vectoriel de deux vecteurs de dimension 2
[PDF] carré d'un vecteur
[PDF] multiplication de deux vecteurs colonnes
[PDF] produit scalaire vecteur 3d
[PDF] le resultat d'une multiplication s'appelle
[PDF] division vocabulaire
