[PDF] Probabilités continues Loi d'une variable alé





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MODULE 6 VARIABLE ALÉATOIRE ALÉATOIRE

relation entre la fonction de probabilité et la variable aléatoire est examinée puis déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète.



Chapitre 2 : Variables aléatoires et distributions 2.1 Variable

Note : Si X est discrète et Y continue ou si une des deux variables est mixte on a alors une fonction de répartition conjointe mixte. Note : Ces définitions se 



5. Quelques lois discrètes

La fonction de répartition d'une variable X ? Bernoulli(p) est La fonction de masse d'une variable aléatoire X ? B(n p) est.



Variables Aléatoires

Variables Aléatoires Discrètes. 2.1 Définition. 2.2 Loi de Probablité. 2.3 Fonction de Répartition 3.2 Fonction de Densité de Probabilité.



Probabilités continues

Loi d'une variable aléatoire : du discret au continu La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ? R par.



MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

fonction de répartition. ? variable aléatoire discrète. ? variable aléatoire continue. ? moyenne - variance - écart type. ? espérance mathématique.



Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes

c) Calculer P(X ? 3). Exercice 5.2 : Définition : La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est la fonction réelle définie par :.



Variables aléatoires Discrètes

des valeurs prises par X que l'on appellera support de X. 1.2 Fonction de répartition d'une variable aléatoire. Définition 2. (Fonction de répartition). Soit X 



UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PRÉSENTÉ À LUNIVERSITÉ

La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X est définie pour tout x E lR par Fx(x) = P (X :S x). Plus formellement.



Variables aléatoires discrètes

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble E et f une La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète X est une ...



[PDF] Variables aléatoires discrètes - Unisciel

Théorème : Si X est une variable aléatoire discrète sa fonction de répartition est une fonction en escalier croissante sur R qui vérifie :



[PDF] Variables aléatoires Discrètes

1 2 Fonction de répartition d'une variable aléatoire Définition 2 (Fonction de répartition) Soit X une variable aléatoire réelle sur (?AP) On 



[PDF] Fonction de répartition et densité

Définition 1 La fonction de répartition (f d r ) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?x]) = P(X ? x) Propriétés 



[PDF] Variables aléatoires discrètes - CPGE Brizeux

La fonction de répartition de X est la fonction FX de R dans [01] définie par : ?x ? RFX(x) = P(X ? x) La fonction de répartition donne donc les 



[PDF] Variables Aléatoires

La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de connaitre les La fonction de répartition d'une variable discrète est constante par morceaux



[PDF] Variables aléatoires discrètes Autour de la fonction de répartition

Figure 1 – Fonction de répartition F de la v a X 3) Calculer la somme des sauts de F La variable aléatoire X est-elle discrète ?



[PDF] Chapitre 5 : Variables aléatoires discrètes

a) Déterminer les valeurs de cette variable aléatoire et leur probabi- lité Calculer la fonction de répartition b) Calculer P(X ? 3) et P(X < 2) Exercice 



[PDF] Chapitre 2 Variables aléatoires

Définition Une variable aléatoire notée (v a) est dite discrète si l'ensemble des réalisations possibles x1 x2 xn pour cette variable est fini ou 



[PDF] 1 Introduction 2 Variables Aléatoires Discrètes

Variables Aléatoires Continues 3 1 Définition 3 2 Fonction de Densité de Probabilité 3 3 Fonction de Répartition 4 Espérance Mathématique



[PDF] Variables aléatoires discrètes - Mathieu Mansuy

Soit X une variable aléatoire réelle On appelle fonction de répartition de X la fonction FX : R ? R définie par : ?x ? R FX(x) 

  • Comment calculer la fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète ?

    Définition 1 La fonction de répartition (f.d.r.) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante : FX (x) = P(X ?] ? ?,x]) = P(X ? x). FX (x)=1. 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite `a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x?).

  • Comment définir la fonction de répartition ?

    b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X : F(x) = 1 - 1/x2 sur [1,+?[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.

  • Comment déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue ?

    La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ? R par FX (t) = P(X ? t). Autrement dit, FX (t) est la probabilité de l'événement ”la valeur de X est inférieure ou égale `a t”.
  • Définition : Variance d'une variable aléatoire discrète
    Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante : V a r ( �� ) = �� ? ( �� ? �� ) ? , ? où �� = �� ( �� ) = ? ( �� × �� ( �� = �� ) ) est l'espérance de �� et �� représente toutes les valeurs que �� peut prendre.

Probabilites continues

Julie Delon

1/99

Plan du cours

PART 1: Introduction

PART 2: Esperance, variance, quantiles

PART 3: Lois usuelles

PART 4: Loi normale et cie

PART 5: Lois jointes, independance

PART 6: Theoremes limites

2/99

Premiere partie I

Introduction

3/99

Du discret au continu

Denition

Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire discreteprend ses valeurs dans un ensemble ni ou denombrablelance de de,X( ) =f1;2;3;4;5;6gnombre de photons emis par une source lumineuse pendant 1s,X( ) =N4/99

Du discret au continu

Denition

Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire continuepeut prendre une innite non denombrable de valeurs, par exemple dans un intervalle ou sur toutR.taille des individus d'une population,X( ) = [0;M]temps d'attente a la poste,X( ) =R+taux de cholesterol,X( ) =R+poids a la naissance,X( ) = [0;m]... 4/99 Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu

0246810121416051020:15/99

Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu

051015051020:15/99

Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu

051015051020:15/99

Loi d'une variable aleatoire continue

SiXa une loi continue, la probabilite queXprenne une valeur bien preciseaest en general nulle.On ne peut donc pas denir la loi deXen se contentant de donner ses probabilites elementairesP[X=a] pour touta.SiXdesigne le taux de cholesterol d'un individu, alors

P[X= 0:53969252982mgjl] = 0.On s'interesse plut^ot a la probabilite queXsoit dans un intervalle donne [a;b], ou

qu'il soit inferieur a une valeur donneea. 6/99

Du discret au continu

Exercice

On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la loi deX? Comment peut-on la representer graphiquement? Quelle est la probabilite de l'evenementf3 X2 g?7/99

Densite de probabilite

Denition

Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive f

X:R!R+telle que

P(aXb) =Z

b a f

X(x)dxpour tousa;b2R;ab:

Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-

pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +1

1fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99

Densite de probabilite

Denition

Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive f

X:R!R+telle que

P(aXb) =Z

b a f

X(x)dxpour tousa;b2R;ab:

Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-

pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +1

1fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99

Calculer la loi d'une variable a densite, c'est calculer sa densite! 9/99

P[X=x]

Si la variable aleatoireXa une densitefX, alors pour toute valeura, la probabilite queXprenne la valeuraest0!!!

P(X=a) =P(aXa) =Z

a a f

X(x)dx= 0

On s'interesse plut^ot a la probabilite queXprenne ses valeurs dans un intervalle donne [a;b] 10/99

Decrire une loi

M^eme terminologie que pour des distributions discretes : dyssymetrie (skewness), moyenne, variance, median, mode, quantiles, etc. 11/99

Exercice

Exercice

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des densites de probabilite?1f(x) =8 :x+ 1 si1x0

1xsi 0x11

0 sinon.2f(x) =(

x2si 0x1

0 sinon.3f(x) =(

2cos(x) si 0x2

0 sinon.4f(x) =(

34
(1x2) si1x1

0 sinon.

12/99

Fonction de repartition

Denition

Lafonction de repartitiond'une variable aleatoireXest la fonction denie pour tout t2Rpar F

X(t) =P(Xt):

Autrement dit,FX(t) est la probabilite de l'evenement "la valeur deXest inferieure ou egale at".F XF XFigure:Exemples de fonctions de r epartitiond'une va riablediscr eteet d'une va riablecontinue. 13/99

Proprietes de la Fonction de repartition

F

X(t)2[0;1] pour toutt2R;F

Xest une fonctioncroissantelim

x!1FX(x) = 0 et limx!+1FX(x) = 1pour toutaDensite de probabilite de fonction de repartition

Proposition

Si la fonction de repartitionFXest derivable, alorsXest une variable a densite et sa densite est la derivee deFX: f

X=F0XExercice

On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la fonction de repartition de la loi deX?15/99

Deuxieme partie II

Esperance, variance, quantiles

16/99

Esperance

Denition

SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, son esperance est

E[X] =Z

R tf

X(t)dt;

lorsque cette integrale est bien denie.Si l'integrale precedente n'est pas convergente, alors l'esperance deXn'est pas denie.

E[X] est une moyenne ponderee des valeurs que peut prendreX. 17/99

Proprietes de l'esperance

Proposition

Soient X et Y deux variables aleatoires et2Run nombre reel, on a alorsE() =E(X) =E(X)E(X+) =E(X) +E(1X+2Y) =1E(X) +2E(Y)BAttention cependant, meme si l'esperance admet beaucoup de proprietes qui la

rendent agreable, elle ne respecte pas en general la multiplication (E(XY)6=E(X)E(Y)), sauf pour des variables independantes. 18/99

Proprietes de l'esperance

Proposition

SoientXune variable aleatoire continue de densitefX, etg:R!Rune fonction quelconque. L'esperance deg(X) se calcule ainsi :

E(g(X)) =Z

R g(x)fX(x)dx:BIl se peut tres bien queE(g(X)) n'existe pas alors queE(X) existe! 19/99

Esperance

Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?1050510051020:10:150:220/99

Esperance

Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?105051000:10:20:30:420/99

Variance

Denition

SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, sa variance est

Var[X] =E[(XE[X])2] =Z

R (tE[X])2fX(t)dt =E[X2]E[X]2=Z R t2fX(t)dt Z R tf

X(t)dt

2

lorsque ces integrales sont bien denies.La variance est un nombre positif, qui peut ^etre inni m^eme si l'esperance existe.

Denition

L'ecart-typed'une variable aleatoireXest la racine carree de sa variance : (X) =pVar(X):21/99

Proprietes de la variance

Proposition

Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() =Var(X+) =Var(X) =22/99

Proprietes de la variance

Proposition

Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() = 0Var(X+) =Var(X)Var(X) =2Var(X)22/99

Variance

Que pouvez-vous dire des variances de ces densites?105051000:10:20:30:423/99

Quantile

Denition

Lesquantilesd'une distributionfsont les valeurs permettant de diviser le support de

la distribution en intervalles de poids egaux.On parle de q-quantile lorsqu'on divise le poids de la distribution en q intervalles. Il y

en aq1

Par exemple2-quantile = median

3-quantile = tercile

4-quantile = quartile

10-quantile = decile

Lesq-quantiles de la distributionfXde fonction de repartitionFXsont les valeurs F 1 Xiq ;i2 f1;:::;q1g 24/99

Exercice

Exercice

SoitXune variable aleatoire de densite

f

X(x) =(

43
x1=3si 0x1

0 sinon.1Quelle est la fonction de repartition deX?2Quelle est l'esperance deX?3Quelle est la variance deX?4Quelle est la probabilite de l'evenementf13

X12 g?5Quelles sont les terciles de la loi deX?25/99 Decrire une loi : relation entre moyenne et median 26/99

Cas des lois symetriques

Si une loi est symetrique par rapport a la valeur, sa moyenne et sa mediane concident et valent. Dans ce cas, soniemeq-quantile et son (qi)emequantile sont symetriques l'un de l'autre par rapport aa: F1 Xiq =F1 Xqiq F 1

X(110)F

1

X(910)

27/99

Troisieme partie III

Lois usuelles

28/99

Loi uniforme

Denition

La loi uniforme sur un intervalle [;] est la loi de densite f(x) =

1six2[;];

0 sinon.

On noteX U([;]) ("Xsuit la loi uniforme sur [;]").Dans l'exemple du stylo qui tombe sur une table, il est raisonnable de supposer que

l'angleXsuit la loi uniforme sur [0;]. On aura donc par exemple : P X2 =Z 2 01 dx=12 ou encore : P4 X2 =Z 2 41
dx=14 :29/99

Fonction de repartition d'une loi uniforme

SiXsuit la loi uniforme sur [;], on a

f

X(x) =

1six2[;];

0 sinon,

et donc F

X(x) =8

:0 six xsix2[;];

1 six20246810051020:10:150:22024681000:20:40:60:81

Figure:Densit e( agauche) et fonction de r epartition( adroite) de la loi unifo rmesur l'intervalle [2;7].30/99

Loi uniforme

ExerciceSoitXune variable aleatoire de loi uniforme sur [;]. Calculez l'esperance et la variance deX.31/99

Loi exponentielle

Denition

Soita>0 un reel. On dit queXsuit la loi exponentielle de parametreasi elle admet la densite f

X(x) =aeax1R+(x) =aeaxsix0;

0 sinon.Sa fonction de repartition est :

F

X(x) =Z

x 1 f

X(t)dt=1eaxsix0;

0 sinon.

32/99

Loi exponentielle

La loi exponentielle est souvent utilisee pour modeliser la loi de temps d'attente ou de

durees de vie (aest l'inverse du temps d'attente moyen).duree de vie d'une ampoule, d'un appareil electrique

temps jusqu'au prochain tremblement de terre temps d'attente a la poste...

2024681000:511:52

2024681000:20:40:60:81

Figure:Densit e( agauche) et fonction de r epartition( adroite) de la loi exp onentielle.Courb e cyan poura= 1 et rouge poura= 3 33/99
Esperance et variance d'une variable de loi exponentielle ExerciceSoitXune variable aleatoire de loi exponentielle de parametrea>0.X admet la densite f

X(x) =aeax1R+=aeaxsix0;

0 sinon.:

Calculez l'esperance et la variance deX.34/99

Esperance deX

CalculonsE(X) :

E(X) =Z

R xf

X(x)dx=Z

+1 0 xaeaxdx: On fait une integration par parties avecu=x,u0= 1 etv0=aeax,v=eax:

E(X) =x(eax)+1

0Z +1 0 (eax)dx = 0 + Z +1 0 eaxdx= 1a eax +1 0 =1a Ainsi

E(X) =1a

35/99

Variance deX

CalculonsVar(X) :

Var(X) =E(X2)E(X)2=Z

R x2fX(x)dx1a 2=Z +1 0 x2aeaxdx1a 2:

On poseu=x2,u0= 2xetv0=aeax,v=eax:

Var(X) =x2(eax)+1

0Z +1 0

2x(eax)dx1a

2 = 0 + 2 Z +1 0 xeaxdx1a 2 = 2 x(1a eax) +1 0 2Z +1 0 (1a eax)dx1a 2 = 0 + 2a Z +1 0 eaxdx1a 2 2a 1a eax +1 0 1a 2=2a 1a 1a 2=1a 2:

Var(X) =1a236/99

Loi quelconque

BUne variable aleatoire non discrete n'est pas necessairement a densite!ExerciceUne machine a remplir les bouteilles est defectueuse : elle verse dans

chaque bouteille (de 75cL) une quantite aleatoire de boisson comprise entre 0 et 1

litre. SoitYla quantite de boisson contenue dans la bouteille. Decrire sa loi.SoitXla quantite de boisson versee par la machine. En l'absence d'autre precision, on

peut considerer queXsuit une loi uniforme sur [0;1]. On aY=XsiX0:75

Y= 0:75 siX>0:75

Yn'est clairement pas une variable discrete (ses valeurs possibles correspondent a l'intervalle [0;0:75]), et n'est pas non plus une variable a densite car P(Y= 0:75) =P(X>0:75) = 0:256= 0. On dit que la loi deYpossede unatomeen x= 0:75. On peut calculer facilement la fonction de repartition deY: F

Y(t) =8

:0 sit0; tsi 01 sit0:75:37/99

Loi quelconque

BUne variable aleatoire non discrete n'est pas necessairement a densite!ExerciceUne machine a remplir les bouteilles est defectueuse : elle verse dans

chaque bouteille (de 75cL) une quantite aleatoire de boisson comprise entre 0 et 1

litre. SoitYla quantite de boisson contenue dans la bouteille. Decrire sa loi.SoitXla quantite de boisson versee par la machine. En l'absence d'autre precision, on

peut considerer queXsuit une loi uniforme sur [0;1]. On aY=XsiX0:75

Y= 0:75 siX>0:75

Yn'est clairement pas une variable discrete (ses valeurs possibles correspondent a l'intervalle [0;0:75]), et n'est pas non plus une variable a densite car P(Y= 0:75) =P(X>0:75) = 0:256= 0. On dit que la loi deYpossede unatomeen x= 0:75. On peut calculer facilement la fonction de repartition deY: F

Y(t) =8

:0 sit0; tsi 0