[PDF] 5. Quelques lois discrètes La fonction de répartition

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5. Quelques lois discretes

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v2)

MTH2302D: Lois discretes1/46

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Plan

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes2/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes3/46

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Epreuve de BernoulliDenition

Uneepreuve de Bernoulliest une experience aleatoire dont le resultat peut ^etre soit unsucces, soit unechec, mais pas les deux simultanement.Exemple 1 On lance une piece une fois et on note le resultat. On appelle succes le fait d'obtenir PILE et echec le fait d'obtenir FACE.Exemple 2 On choisit au hasard une piece produite en serie et on la teste pour detecter les defectuosites. La piece peut ^etre defectueuse (succes) ou conforme (echec).

MTH2302D: Lois discretes4/46

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Loi de Bernoulli

Contexte

Lors d'une epreuve de Bernoulli, soitpla probabilite d'un succes et q= 1pla probabilite d'un echec.

SoitXle nombre de succes. AlorsRX=f0;1get

p

X(x) =1psix= 0,

psix= 1. SiXsuit une loi de Bernoulli de parametrepalors on note XBernoulli(p)(ou Bern(p)).MTH2302D: Lois discretes5/46

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Loi de Bernoulli (suite)

Theoreme

La fonction de repartition d'une variableXBernoulli(p)est F

X(x) =8

>:0six <0,

1psi0x <1,

1six1:MTH2302D: Lois discretes6/46

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Esperance et variance

SiXBernoulli(p), alors

1.E(X) =p.

2.V(X) =p(1p).MTH2302D: Lois discretes7/46

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1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes8/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale

Contexte

On eectuenrepetitions independantes d'une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp.

SoitXle nombre de succes parmi lesnresultats.

AlorsXsuit uneloi binomialede parametresnetp, denote

XB(n;p).

On aRX=f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes9/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXB(n;p)est p

X(x) =n

x p x(1p)nx pourx2 f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes10/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de repartition de la loi binomiale est F

X(x) =xX

k=0 n k! p k(1p)nksix2 f0;1;2;:::;ng.

Siax < a+ 1avecaentier, alorsFX(x) =FX(a).

Comme le calcul deFX(x)est fastidieux lorsque quenest grand, on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale (disponible sur le site w ebdu cours ).Exemple 3 Prouver queFX(n) = 1.MTH2302D: Lois discretes11/46

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Autres caracteristiques

SiXB(n;p), alors :

1.E(X) =np.

2.V(X) =np(1p).

3.Mediane :~x=bnpc.

4.Mode :x=b(n+ 1)pc.Exemple 4

Demontrer que E(X) =np.MTH2302D: Lois discretes12/46

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Exemple 5

Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont defectueux. On pige avec remise 7 articles du lot.

Calculer

1.La probabilite d'observer exactement un article defectueux.

2.La probabilite d'observer au moins 4 articles defectueux.

3.La moyenne et la variance du nombre d'articles defectueux.MTH2302D: Lois discretes13/46

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Loi binomiale : calcul avec des logiciels

I

Excel :

p

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 0).

F

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 1).

I R : p

X(x) =dbinom(x,n,p).

F

X(x) =pbinom(x,n,p).MTH2302D: Lois discretes14/46

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Loi binomiale : traces enR

SoitXB(n= 50;p= 0:2).

I

Fonction de massepX(x):

x=seq(0,50,1); px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ); plot ( x, px, type="h", xlab="x", ylab="p(x)", main="fonction de masse de XB(n=50,p=0.2)"). I

Fonction de repartitionFX(x):

x=seq(0,50,0.1);

Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 );

plot ( x, Fx, type="s", xlab="x", ylab="F(x)", main="fonction de repartition de XB(n=50,p=0.2)").MTH2302D: Lois discretes15/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes16/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~B(n=50,p=0.2) x

F(x)MTH2302D: Lois discretes17/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Proportion de succes

SoitXB(n;p)et^p=Xn

laproportion de succesparmi lesn epreuves.

Alors^pest une variable aleatoire et

1.E(^p) =p.

2.V(^p) =p(1p)n

.Exemple 6 Un procede de fabrication produit 5% d'articles non conformes. Un echantillon de 50 unites de cet article est preleve. Quelle est la probabilite qu'il y ait plus de 7% d'articles non conformes dans l'echantillon?

MTH2302D: Lois discretes18/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes19/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique

Contexte

On repete continuellement et de facon independante une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp. SoitXle nombre d'epreuves necessaires pour obtenir un premier succes. AlorsXsuit uneloi geometriquede parametrep, denote

XGeom(p).

On aRX=f1;2;3;:::g.MTH2302D: Lois discretes20/46

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Loi geometrique (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXGeom(p)ou

XG(p)est

p

X(x) = (1p)x1ppourx= 1;2;3;:::.

La fonction de repartition d'une variable aleatoireXGeom(p) est F

X(x) =(1(1p)asix2[a;a+ 1[aveca2Neta1,

0sinon.MTH2302D: Lois discretes21/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

Exemple 7

Montrer quepXest une fonction de masse.Exemple 8

Montrer queFX(x) = 1(1p)xsixest entier.MTH2302D: Lois discretes22/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

SiXGeom(p)alors

1.E(X) =1p

2.V(X) =1pp

2.MTH2302D: Lois discretes23/46

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Loi geometrique : calcul

I

Excel : faire les calculs directement.

I

R (avecRX=f1;2;:::;g) :

p

X(x) =dgeom(x,p).

F

X(x) =pgeom(x,p).MTH2302D: Lois discretes24/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 051015202530

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 fonction de masse de X~G(p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes25/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~G(p=0.2) x

F(x)MTH2302D: Lois discretes26/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 9

On lance un de continuellement jusqu'a l'obtention d'un six. Soit

Xle nombre de lancers necessaires.

Quels sont la moyenne, la variance, et l'ecart-type deX?MTH2302D: Lois discretes27/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

Theoreme

Propriete d'absence de memoire : siXGeom(p)alors pour tous t;s >0

P(X > s+tjX > t) =P(X > s):Exemple 10

Prouver le theoreme.

MTH2302D: Lois discretes28/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 11

On lance un de continuellement jusqu'a l'obtention d'un 6. SoitX le nombre de lancers necessaires.

1.Quelle est la probabilite d'obtenir un premier 6 au deuxieme

lancer?

2.Quelle est la probabilite qu'il faille plus de 10 lancers pour

obtenir un 6?

3.Si aucun 6 n'a ete obtenu lors des 8 premiers lancers, quelle

est la probabilite qu'au moins deux autres lancers soient necessaires?

MTH2302D: Lois discretes29/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes30/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi hypergeometrique

Contexte

On tire sans remisenobjets d'un ensemble deNobjets dontD possedent une caracteristique particuliere (et les autresNDne la possedent pas). SoitXle nombre d'objets de l'echantillon qui possedent la caracteristique. AlorsXsuit uneloi hypergeometriquede parametresn;N;D, denoteXH(N;D;n). On aRX=fmaxf0;nN+Dg;:::;min(n;D)g.MTH2302D: Lois discretes31/46

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Loi hypergeometrique (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXH(N;D;n)est p

X(x) =

D x ND nx N n pourx2RX.MTH2302D: Lois discretes32/46

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Loi hypergeometrique (suite)

SiXH(N;D;n)alors

1.E(X) =nDN

2.V(X) =nDN

1DN NnN1

MTH2302D: Lois discretes33/46

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Loi hypergeometrique : calcul

I

Excel :

p

X(x) =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x,n,D,N, 0).

F

X(x) =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x,n,D,N, 1).

I R : p

X(x) =dhyper(x=x, m=D, n=ND, k=n).

F X(x) =phyper(q=x, m=D, n=ND, k=n).MTH2302D: Lois discretes34/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 12

Une bo^te contient 8 composants parmi lesquels 2 sont defectueux. Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la bo^te. SoitXle nombre de composants defectueux dans l'echantillon. Donner la fonction de masse deX, ainsi que E(X)et V(X).MTH2302D: Lois discretes35/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes36/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Poisson

Une variable aleatoireXsuit uneloi de Poissonde parametre c >0si p

X(x) =eccxx!six= 0;1;2;:::.

Ceci est denoteXPoi(c).

Le parametreccorrespond a la moyenne de la loi de Poisson.MTH2302D: Lois discretes37/46

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Loi de Poisson : calcul

I Livre page 473 (2eme edition) / page 509 (3eme edition) et site web du cours I

Excel :

p

X(x) =LOI.POISSON (x,c, 0).

F

X(x) =LOI.POISSON (x,c, 1).

I R : p

X(x) =dpois (x=x, lambda=c).

F X(x) =ppois (q=x, lambda=c).MTH2302D: Lois discretes38/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 02468

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 fonction de masse de X~Poi(c=2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes39/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 02468

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~Poi(c=2) x

F(x)MTH2302D: Lois discretes40/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 13

Une machine utilisee dans une cha^ne de production tombe en panne en moyenne 2 fois par mois.

SoitXle nombre de pannes par mois.

En supposant queXsuit une loi de Poisson, quelle est la probabilite que dans un mois donne la machine

1.Ne tombe pas en panne?

2.Tombe en panne au moins deux fois?MTH2302D: Lois discretes41/46

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Loi de Poisson

SiXPoi(c), alors

1.E(X) =c:

2.V(X) =c.Exemple 14

Demontrer que E(X) =c.Exemple 15

Trouver la mediane deXPoi(c= 2).MTH2302D: Lois discretes42/46

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Processus de Poisson

Considerons un type d'evenement survenant dans le temps. Le comptage du nombre de realisations de l'evenement est un processus de Poissonsi I Pour deux intervalles de temps disjoints, le nombre de realisations dans l'un et l'autre intervalle sont independants. I Pour tout intervalle de temps de dureet, le nombre de realisations suit une loi de Poisson de parametrec=t, ou >0est le nombre moyen de realisations par unite de temps.MTH2302D: Lois discretes43/46

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Exemples supplementaires

Autres situations ou la v.a. suit une loi de Poisson :

1.Le nombre de voitures arrivant a un feu de circulation en 5

minutes.

2.Le nombre de defauts sur une piece usinee.

3.Le nombre d'erreurs typographiques sur une page d'un livre.

4.Le nombre de clients entrant dans un magasin en une journee.

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